MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dm0rn0 Unicode version

Theorem dm0rn0 4895
Description: An empty domain implies an empty range. (Contributed by NM, 21-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
dm0rn0  |-  ( dom 
A  =  (/)  <->  ran  A  =  (/) )

Proof of Theorem dm0rn0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alnex 1530 . . . . . 6  |-  ( A. x  -.  E. y  x A y  <->  -.  E. x E. y  x A
y )
2 excom 1786 . . . . . 6  |-  ( E. x E. y  x A y  <->  E. y E. x  x A
y )
31, 2xchbinx 301 . . . . 5  |-  ( A. x  -.  E. y  x A y  <->  -.  E. y E. x  x A
y )
4 alnex 1530 . . . . 5  |-  ( A. y  -.  E. x  x A y  <->  -.  E. y E. x  x A
y )
53, 4bitr4i 243 . . . 4  |-  ( A. x  -.  E. y  x A y  <->  A. y  -.  E. x  x A y )
6 noel 3459 . . . . . 6  |-  -.  x  e.  (/)
76nbn 336 . . . . 5  |-  ( -. 
E. y  x A y  <->  ( E. y  x A y  <->  x  e.  (/) ) )
87albii 1553 . . . 4  |-  ( A. x  -.  E. y  x A y  <->  A. x
( E. y  x A y  <->  x  e.  (/) ) )
9 noel 3459 . . . . . 6  |-  -.  y  e.  (/)
109nbn 336 . . . . 5  |-  ( -. 
E. x  x A y  <->  ( E. x  x A y  <->  y  e.  (/) ) )
1110albii 1553 . . . 4  |-  ( A. y  -.  E. x  x A y  <->  A. y
( E. x  x A y  <->  y  e.  (/) ) )
125, 8, 113bitr3i 266 . . 3  |-  ( A. x ( E. y  x A y  <->  x  e.  (/) )  <->  A. y ( E. x  x A y  <-> 
y  e.  (/) ) )
13 abeq1 2389 . . 3  |-  ( { x  |  E. y  x A y }  =  (/)  <->  A. x ( E. y  x A y  <->  x  e.  (/) ) )
14 abeq1 2389 . . 3  |-  ( { y  |  E. x  x A y }  =  (/)  <->  A. y ( E. x  x A y  <->  y  e.  (/) ) )
1512, 13, 143bitr4i 268 . 2  |-  ( { x  |  E. y  x A y }  =  (/)  <->  { y  |  E. x  x A y }  =  (/) )
16 df-dm 4699 . . 3  |-  dom  A  =  { x  |  E. y  x A y }
1716eqeq1i 2290 . 2  |-  ( dom 
A  =  (/)  <->  { x  |  E. y  x A y }  =  (/) )
18 dfrn2 4868 . . 3  |-  ran  A  =  { y  |  E. x  x A y }
1918eqeq1i 2290 . 2  |-  ( ran 
A  =  (/)  <->  { y  |  E. x  x A y }  =  (/) )
2015, 17, 193bitr4i 268 1  |-  ( dom 
A  =  (/)  <->  ran  A  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   ran crn 4690
This theorem is referenced by:  rn0  4936  relrn0  4937  imadisj  5032  ndmima  5050  rnsnn0  5139  f00  5426  2nd0  6127  iinon  6357  onoviun  6360  onnseq  6361  map0b  6806  fodomfib  7136  intrnfi  7170  wdomtr  7289  noinfep  7360  noinfepOLD  7361  wemapwe  7400  fin23lem31  7969  fin23lem40  7977  isf34lem7  8005  isf34lem6  8006  ttukeylem6  8141  fodomb  8151  rpnnen1lem4  10345  rpnnen1lem5  10346  fseqsupcl  11039  fseqsupubi  11040  ruclem11  12518  prmreclem6  12968  0ram  13067  0ram2  13068  0ramcl  13070  gsumval2  14460  ghmrn  14696  gexex  15145  gsumval3  15191  iinopn  16648  hauscmplem  17133  fbasrn  17579  alexsublem  17738  evth  18457  minveclem1  18788  minveclem3b  18792  ovollb2  18848  ovolunlem1a  18855  ovolunlem1  18856  ovoliunlem1  18861  ovoliun2  18865  ioombl1lem4  18918  uniioombllem1  18936  uniioombllem2  18938  uniioombllem6  18943  mbfsup  19019  mbfinf  19020  mbflimsup  19021  itg1climres  19069  itg2monolem1  19105  itg2mono  19108  itg2i1fseq2  19111  itg2cnlem1  19116  minvecolem1  21453  rge0scvg  23373  esumpcvgval  23446  cvmsss2  23805  isbnd3  26508  totbndbnd  26513  stoweidlem35  27784
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-cnv 4697  df-dm 4699  df-rn 4700
  Copyright terms: Public domain W3C validator