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Theorem dmdbr4 23840
Description: Binary relation expressing the dual modular pair property. This version quantifies an ordering instead of an inference. (Contributed by NM, 6-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dmdbr4  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  MH*  B  <->  A. x  e.  CH  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem dmdbr4
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmdbr2 23837 . 2  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  MH*  B  <->  A. y  e.  CH  ( B  C_  y  ->  (
y  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( y  i^i 
A )  vH  B
) ) ) )
2 chub2 23041 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  B  C_  ( x  vH  B ) )
32ancoms 441 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  B  C_  ( x  vH  B ) )
4 chjcl 22890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( x  vH  B
)  e.  CH )
5 sseq2 3356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( x  vH  B )  ->  ( B  C_  y  <->  B  C_  (
x  vH  B )
) )
6 ineq1 3521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( x  vH  B )  ->  (
y  i^i  ( A  vH  B ) )  =  ( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) ) )
7 ineq1 3521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( x  vH  B )  ->  (
y  i^i  A )  =  ( ( x  vH  B )  i^i 
A ) )
87oveq1d 6125 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( x  vH  B )  ->  (
( y  i^i  A
)  vH  B )  =  ( ( ( x  vH  B )  i^i  A )  vH  B ) )
96, 8sseq12d 3363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( x  vH  B )  ->  (
( y  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( y  i^i  A )  vH  B )  <->  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
) )
105, 9imbi12d 313 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( x  vH  B )  ->  (
( B  C_  y  ->  ( y  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( y  i^i  A )  vH  B ) )  <->  ( B  C_  ( x  vH  B
)  ->  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
) ) )
1110rspcv 3054 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  vH  B )  e.  CH  ->  ( A. y  e.  CH  ( B  C_  y  ->  (
y  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( y  i^i 
A )  vH  B
) )  ->  ( B  C_  ( x  vH  B )  ->  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
) ) ) )
124, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A. y  e. 
CH  ( B  C_  y  ->  ( y  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( y  i^i  A
)  vH  B )
)  ->  ( B  C_  ( x  vH  B
)  ->  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
) ) )
133, 12mpid 40 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A. y  e. 
CH  ( B  C_  y  ->  ( y  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( y  i^i  A
)  vH  B )
)  ->  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
) )
1413ex 425 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CH  ->  ( B  e.  CH  ->  ( A. y  e.  CH  ( B  C_  y  ->  (
y  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( y  i^i 
A )  vH  B
) )  ->  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
) ) ) )
1514com3l 78 . . . . 5  |-  ( B  e.  CH  ->  ( A. y  e.  CH  ( B  C_  y  ->  (
y  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( y  i^i 
A )  vH  B
) )  ->  (
x  e.  CH  ->  ( ( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
) ) ) )
1615ralrimdv 2801 . . . 4  |-  ( B  e.  CH  ->  ( A. y  e.  CH  ( B  C_  y  ->  (
y  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( y  i^i 
A )  vH  B
) )  ->  A. x  e.  CH  ( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
) )
17 chlejb2 23046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( B  C_  x  <->  ( x  vH  B )  =  x ) )
1817biimpa 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  /\  B  C_  x )  ->  ( x  vH  B )  =  x )
1918ineq1d 3527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  /\  B  C_  x )  ->  ( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) )
2018ineq1d 3527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  /\  B  C_  x )  ->  ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  =  ( x  i^i  A ) )
2120oveq1d 6125 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  /\  B  C_  x )  ->  ( ( ( x  vH  B )  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( x  i^i  A
)  vH  B )
)
2219, 21sseq12d 3363 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  /\  B  C_  x )  ->  ( ( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  <->  ( x  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( x  i^i  A
)  vH  B )
) )
2322biimpd 200 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  /\  B  C_  x )  ->  ( ( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  ->  ( x  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( x  i^i  A
)  vH  B )
) )
2423ex 425 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( B  C_  x  ->  ( ( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( x  i^i  A )  vH  B ) ) ) )
2524com23 75 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( B  C_  x  ->  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( x  i^i  A )  vH  B ) ) ) )
2625ralimdva 2790 . . . . 5  |-  ( B  e.  CH  ->  ( A. x  e.  CH  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  ->  A. x  e.  CH  ( B  C_  x  ->  ( x  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( x  i^i  A
)  vH  B )
) ) )
27 sseq2 3356 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( B  C_  x  <->  B  C_  y
) )
28 ineq1 3521 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  i^i  ( A  vH  B ) )  =  ( y  i^i  ( A  vH  B ) ) )
29 ineq1 3521 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  i^i  A )  =  ( y  i^i 
A ) )
3029oveq1d 6125 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  i^i  A
)  vH  B )  =  ( ( y  i^i  A )  vH  B ) )
3128, 30sseq12d 3363 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( x  i^i  A )  vH  B )  <->  ( y  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( y  i^i  A
)  vH  B )
) )
3227, 31imbi12d 313 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( B  C_  x  ->  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( x  i^i  A )  vH  B ) )  <->  ( B  C_  y  ->  ( y  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( y  i^i  A
)  vH  B )
) ) )
3332cbvralv 2938 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  CH  ( B 
C_  x  ->  (
x  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( x  i^i 
A )  vH  B
) )  <->  A. y  e.  CH  ( B  C_  y  ->  ( y  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( y  i^i  A
)  vH  B )
) )
3426, 33syl6ib 219 . . . 4  |-  ( B  e.  CH  ->  ( A. x  e.  CH  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  ->  A. y  e.  CH  ( B  C_  y  ->  ( y  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( y  i^i  A
)  vH  B )
) ) )
3516, 34impbid 185 . . 3  |-  ( B  e.  CH  ->  ( A. y  e.  CH  ( B  C_  y  ->  (
y  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( y  i^i 
A )  vH  B
) )  <->  A. x  e.  CH  ( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
) )
3635adantl 454 . 2  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A. y  e. 
CH  ( B  C_  y  ->  ( y  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( y  i^i  A
)  vH  B )
)  <->  A. x  e.  CH  ( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i  A )  vH  B ) ) )
371, 36bitrd 246 1  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  MH*  B  <->  A. x  e.  CH  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727   A.wral 2711    i^i cin 3305    C_ wss 3306   class class class wbr 4237  (class class class)co 6110   CHcch 22463    vH chj 22467    MH* cdmd 22501
This theorem is referenced by:  dmdi4  23841  dmdbr5  23842  sumdmdi  23954  dmdbr4ati  23955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cc 8346  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099  ax-addf 9100  ax-mulf 9101  ax-hilex 22533  ax-hfvadd 22534  ax-hvcom 22535  ax-hvass 22536  ax-hv0cl 22537  ax-hvaddid 22538  ax-hfvmul 22539  ax-hvmulid 22540  ax-hvmulass 22541  ax-hvdistr1 22542  ax-hvdistr2 22543  ax-hvmul0 22544  ax-hfi 22612  ax-his1 22615  ax-his2 22616  ax-his3 22617  ax-his4 22618  ax-hcompl 22735
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-2o 6754  df-oadd 6757  df-omul 6758  df-er 6934  df-map 7049  df-pm 7050  df-ixp 7093  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-fi 7445  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-acn 7860  df-cda 8079  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-q 10606  df-rp 10644  df-xneg 10741  df-xadd 10742  df-xmul 10743  df-ioo 10951  df-ico 10953  df-icc 10954  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-fl 11233  df-seq 11355  df-exp 11414  df-hash 11650  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-clim 12313  df-rlim 12314  df-sum 12511  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-starv 13575  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-unif 13583  df-hom 13584  df-cco 13585  df-rest 13681  df-topn 13682  df-topgen 13698  df-pt 13699  df-prds 13702  df-xrs 13757  df-0g 13758  df-gsum 13759  df-qtop 13764  df-imas 13765  df-xps 13767  df-mre 13842  df-mrc 13843  df-acs 13845  df-mnd 14721  df-submnd 14770  df-mulg 14846  df-cntz 15147  df-cmn 15445  df-psmet 16725  df-xmet 16726  df-met 16727  df-bl 16728  df-mopn 16729  df-fbas 16730  df-fg 16731  df-cnfld 16735  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-topsp 16998  df-cld 17114  df-ntr 17115  df-cls 17116  df-nei 17193  df-cn 17322  df-cnp 17323  df-lm 17324  df-haus 17410  df-tx 17625  df-hmeo 17818  df-fil 17909  df-fm 18001  df-flim 18002  df-flf 18003  df-xms 18381  df-ms 18382  df-tms 18383  df-cfil 19239  df-cau 19240  df-cmet 19241  df-grpo 21810  df-gid 21811  df-ginv 21812  df-gdiv 21813  df-ablo 21901  df-subgo 21921  df-vc 22056  df-nv 22102  df-va 22105  df-ba 22106  df-sm 22107  df-0v 22108  df-vs 22109  df-nmcv 22110  df-ims 22111  df-dip 22228  df-ssp 22252  df-ph 22345  df-cbn 22396  df-hnorm 22502  df-hba 22503  df-hvsub 22505  df-hlim 22506  df-hcau 22507  df-sh 22740  df-ch 22755  df-oc 22785  df-ch0 22786  df-shs 22841  df-chj 22843  df-dmd 23815
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