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Theorem dmdmd 23651
Description: The dual modular pair property expressed in terms of the modular pair property, that hold in Hilbert lattices. Remark 29.6 of [MaedaMaeda] p. 130. (Contributed by NM, 27-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dmdmd  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  MH*  B  <->  ( _|_ `  A )  MH  ( _|_ `  B
) ) )

Proof of Theorem dmdmd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3312 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( _|_ `  x
)  ->  ( y  C_  ( _|_ `  B
)  <->  ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B ) ) )
2 oveq1 6027 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( _|_ `  x
)  ->  ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) ) )
32ineq1d 3484 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( _|_ `  x
)  ->  ( (
y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )
4 oveq1 6027 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( _|_ `  x
)  ->  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) )  =  ( ( _|_ `  x )  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )
53, 4eqeq12d 2401 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( _|_ `  x
)  ->  ( (
( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  <->  ( (
( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )
61, 5imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( _|_ `  x
)  ->  ( (
y  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )  <-> 
( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) ) )
76rspccv 2992 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  CH  ( y 
C_  ( _|_ `  B
)  ->  ( (
y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )  ->  ( ( _|_ `  x )  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) ) )
8 choccl 22656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CH  ->  ( _|_ `  x )  e. 
CH )
98imim1i 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _|_ `  x
)  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )  ->  ( x  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x )  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( ( _|_ `  x )  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) ) )
109com12 29 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CH  ->  (
( ( _|_ `  x
)  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( _|_ `  x )  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( ( _|_ `  x )  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) ) )
1110adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( ( _|_ `  x )  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( _|_ `  x )  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( ( _|_ `  x )  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) ) )
12 chsscon3 22850 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( B  C_  x  <->  ( _|_ `  x ) 
C_  ( _|_ `  B
) ) )
1312biimpd 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( B  C_  x  ->  ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B ) ) )
1413adantll 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( B  C_  x  ->  ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B ) ) )
15 fveq2 5668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  -> 
( _|_ `  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  =  ( _|_ `  (
( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )
16 choccl 22656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CH  ->  ( _|_ `  A )  e. 
CH )
17 chjcl 22707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( _|_ `  x
)  e.  CH  /\  ( _|_ `  A )  e.  CH )  -> 
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  e. 
CH )
188, 16, 17syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  e. 
CH )
19 chdmm3 22877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  e. 
CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  ( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  =  ( ( _|_ `  (
( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) ) )  vH  B ) )
2018, 19sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  =  ( ( _|_ `  (
( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) ) )  vH  B ) )
21 chdmj4 22882 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) ) )  =  ( x  i^i 
A ) )
2221adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) ) )  =  ( x  i^i 
A ) )
2322oveq1d 6035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  (
( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) ) )  vH  B )  =  ( ( x  i^i 
A )  vH  B
) )
2420, 23eqtrd 2419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  =  ( ( x  i^i 
A )  vH  B
) )
2524anasss 629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  =  ( ( x  i^i 
A )  vH  B
) )
26 choccl 22656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  CH  ->  ( _|_ `  B )  e. 
CH )
27 chincl 22849 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( _|_ `  A
)  e.  CH  /\  ( _|_ `  B )  e.  CH )  -> 
( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) )  e. 
CH )
2816, 26, 27syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) )  e. 
CH )
29 chdmj2 22880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) )  e. 
CH )  ->  ( _|_ `  ( ( _|_ `  x )  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )  =  ( x  i^i  ( _|_ `  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) )
3028, 29sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )  =  ( x  i^i  ( _|_ `  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) )
31 chdmm4 22878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) )  =  ( A  vH  B ) )
3231adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) )  =  ( A  vH  B ) )
3332ineq2d 3485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( x  i^i  ( _|_ `  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) )
3430, 33eqtrd 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B
) ) )
3525, 34eqeq12d 2401 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( ( _|_ `  ( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) ) )  =  ( _|_ `  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )  <-> 
( ( x  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )
3635ancoms 440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  =  ( _|_ `  (
( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )  <-> 
( ( x  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )
3715, 36syl5ib 211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( ( _|_ `  x )  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) )  ->  ( ( x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )
3814, 37imim12d 70 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( ( _|_ `  x )  C_  ( _|_ `  B )  -> 
( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )  ->  ( B  C_  x  ->  ( ( x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
3911, 38syld 42 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( ( _|_ `  x )  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )  ->  ( B  C_  x  ->  ( (
x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
4039ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( x  e.  CH  ->  ( ( ( _|_ `  x )  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )  ->  ( B  C_  x  ->  ( (
x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) ) )
4140com23 74 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( ( _|_ `  x )  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )  ->  ( x  e.  CH  ->  ( B  C_  x  ->  ( (
x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) ) )
427, 41syl5 30 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A. y  e. 
CH  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )  ->  ( x  e.  CH  ->  ( B  C_  x  ->  ( (
x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) ) )
4342ralrimdv 2738 . . 3  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A. y  e. 
CH  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )  ->  A. x  e.  CH  ( B  C_  x  ->  ( ( x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
44 sseq2 3313 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( _|_ `  y
)  ->  ( B  C_  x  <->  B  C_  ( _|_ `  y ) ) )
45 ineq1 3478 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( _|_ `  y
)  ->  ( x  i^i  A )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  A )
)
4645oveq1d 6035 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( _|_ `  y
)  ->  ( (
x  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B ) )
47 ineq1 3478 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( _|_ `  y
)  ->  ( x  i^i  ( A  vH  B
) )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )
4846, 47eqeq12d 2401 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( _|_ `  y
)  ->  ( (
( x  i^i  A
)  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B
) )  <->  ( (
( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )
4944, 48imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( _|_ `  y
)  ->  ( ( B  C_  x  ->  (
( x  i^i  A
)  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B
) ) )  <->  ( B  C_  ( _|_ `  y
)  ->  ( (
( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
5049rspccv 2992 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  CH  ( B 
C_  x  ->  (
( x  i^i  A
)  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B
) ) )  -> 
( ( _|_ `  y
)  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
51 choccl 22656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CH  ->  ( _|_ `  y )  e. 
CH )
5251imim1i 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _|_ `  y
)  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )  ->  ( y  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y
)  ->  ( (
( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
5352com12 29 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  CH  ->  (
( ( _|_ `  y
)  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y
)  ->  ( (
( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
5453adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( ( ( _|_ `  y )  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  -> 
( ( ( _|_ `  y )  i^i  A
)  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y )  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y
)  ->  ( (
( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
55 chsscon2 22852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CH  /\  y  e.  CH )  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  <->  y  C_  ( _|_ `  B ) ) )
5655biimprd 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CH  /\  y  e.  CH )  ->  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  B  C_  ( _|_ `  y
) ) )
5756adantll 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  B  C_  ( _|_ `  y
) ) )
58 fveq2 5668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) )  -> 
( _|_ `  (
( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B ) )  =  ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )
59 chincl 22849 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( _|_ `  y
)  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  e.  CH )
6051, 59sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  e.  CH )
61 chdmj1 22879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  e.  CH  /\  B  e. 
CH )  ->  ( _|_ `  ( ( ( _|_ `  y )  i^i  A )  vH  B ) )  =  ( ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  A )
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) )
6260, 61sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B ) )  =  ( ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  A )
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) )
63 chdmm2 22876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  A )
)  =  ( y  vH  ( _|_ `  A
) ) )
6463adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  A )
)  =  ( y  vH  ( _|_ `  A
) ) )
6564ineq1d 3484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  A )
)  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( ( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B ) ) )
6662, 65eqtrd 2419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B ) )  =  ( ( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B ) ) )
6766anasss 629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( ( ( _|_ `  y )  i^i  A
)  vH  B )
)  =  ( ( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )
68 chjcl 22707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  vH  B
)  e.  CH )
69 chdmm2 22876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CH  /\  ( A  vH  B )  e.  CH )  -> 
( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )  =  ( y  vH  ( _|_ `  ( A  vH  B ) ) ) )
7068, 69sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )  =  ( y  vH  ( _|_ `  ( A  vH  B ) ) ) )
71 chdmj1 22879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  ( A  vH  B ) )  =  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B ) ) )
7271adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( A  vH  B
) )  =  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) )
7372oveq2d 6036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( y  vH  ( _|_ `  ( A  vH  B ) ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )
7470, 73eqtrd 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )
7567, 74eqeq12d 2401 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( ( _|_ `  ( ( ( _|_ `  y )  i^i  A )  vH  B ) )  =  ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )  <-> 
( ( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) )
7675ancoms 440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  (
( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B ) )  =  ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )  <-> 
( ( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) )
7758, 76syl5ib 211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( ( ( ( _|_ `  y )  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) )  -> 
( ( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) )
7857, 77imim12d 70 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( ( B  C_  ( _|_ `  y )  ->  ( ( ( _|_ `  y )  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )  ->  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) ) )
7954, 78syld 42 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( ( ( _|_ `  y )  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  -> 
( ( ( _|_ `  y )  i^i  A
)  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y )  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )  ->  (
y  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) ) )
8079ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( y  e.  CH  ->  ( ( ( _|_ `  y )  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  -> 
( ( ( _|_ `  y )  i^i  A
)  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y )  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )  ->  (
y  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) ) ) )
8180com23 74 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( ( _|_ `  y )  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  -> 
( ( ( _|_ `  y )  i^i  A
)  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y )  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )  ->  (
y  e.  CH  ->  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) ) ) )
8250, 81syl5 30 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A. x  e. 
CH  ( B  C_  x  ->  ( ( x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) )  ->  ( y  e.  CH  ->  ( y  C_  ( _|_ `  B
)  ->  ( (
y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) ) ) )
8382ralrimdv 2738 . . 3  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A. x  e. 
CH  ( B  C_  x  ->  ( ( x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) )  ->  A. y  e.  CH  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) ) )
8443, 83impbid 184 . 2  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A. y  e. 
CH  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )  <->  A. x  e.  CH  ( B  C_  x  -> 
( ( x  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
85 mdbr 23645 . . 3  |-  ( ( ( _|_ `  A
)  e.  CH  /\  ( _|_ `  B )  e.  CH )  -> 
( ( _|_ `  A
)  MH  ( _|_ `  B )  <->  A. y  e.  CH  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) ) )
8616, 26, 85syl2an 464 . 2  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  A
)  MH  ( _|_ `  B )  <->  A. y  e.  CH  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) ) )
87 dmdbr 23650 . 2  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  MH*  B  <->  A. x  e.  CH  ( B  C_  x  ->  (
( x  i^i  A
)  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B
) ) ) ) )
8884, 86, 873bitr4rd 278 1  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  MH*  B  <->  ( _|_ `  A )  MH  ( _|_ `  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649    i^i cin 3262    C_ wss 3263   class class class wbr 4153   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   CHcch 22280   _|_cort 22281    vH chj 22284    MH cmd 22317    MH* cdmd 22318
This theorem is referenced by:  mddmd  23652  ssdmd1  23664  mdsldmd1i  23682  cvdmd  23688  dmdsym  23764  cmdmdi  23768
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cc 8248  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002  ax-mulf 9003  ax-hilex 22350  ax-hfvadd 22351  ax-hvcom 22352  ax-hvass 22353  ax-hv0cl 22354  ax-hvaddid 22355  ax-hfvmul 22356  ax-hvmulid 22357  ax-hvmulass 22358  ax-hvdistr1 22359  ax-hvdistr2 22360  ax-hvmul0 22361  ax-hfi 22429  ax-his1 22432  ax-his2 22433  ax-his3 22434  ax-his4 22435  ax-hcompl 22552
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-ixp 7000  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-fi 7351  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-acn 7762  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-ioo 10852  df-ico 10854  df-icc 10855  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-seq 11251  df-exp 11310  df-hash 11546  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-clim 12209  df-rlim 12210  df-sum 12407  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-starv 13471  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-unif 13479  df-hom 13480  df-cco 13481  df-rest 13577  df-topn 13578  df-topgen 13594  df-pt 13595  df-prds 13598  df-xrs 13653  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-qtop 13660  df-imas 13661  df-xps 13663  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-mnd 14617  df-submnd 14666  df-mulg 14742  df-cntz 15043  df-cmn 15341  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-fbas 16623  df-fg 16624  df-cnfld 16627  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-topsp 16890  df-cld 17006  df-ntr 17007  df-cls 17008  df-nei 17085  df-cn 17213  df-cnp 17214  df-lm 17215  df-haus 17301  df-tx 17515  df-hmeo 17708  df-fil 17799  df-fm 17891  df-flim 17892  df-flf 17893  df-xms 18259  df-ms 18260  df-tms 18261  df-cfil 19079  df-cau 19080  df-cmet 19081  df-grpo 21627  df-gid 21628  df-ginv 21629  df-gdiv 21630  df-ablo 21718  df-subgo 21738  df-vc 21873  df-nv 21919  df-va 21922  df-ba 21923  df-sm 21924  df-0v 21925  df-vs 21926  df-nmcv 21927  df-ims 21928  df-dip 22045  df-ssp 22069  df-ph 22162  df-cbn 22213  df-hnorm 22319  df-hba 22320  df-hvsub 22322  df-hlim 22323  df-hcau 22324  df-sh 22557  df-ch 22572  df-oc 22602  df-ch0 22603  df-shs 22658  df-chj 22660  df-md 23631  df-dmd 23632
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