Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprdsplit2 Structured version   Unicode version

Theorem dmdprdsplit2 15604
 Description: The direct product splits into the direct product of any partition of the index set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdsplit.2 SubGrp
dprdsplit.i
dprdsplit.u
dmdprdsplit.z Cntz
dmdprdsplit.0
dmdprdsplit2.1 DProd
dmdprdsplit2.2 DProd
dmdprdsplit2.3 DProd DProd
dmdprdsplit2.4 DProd DProd
Assertion
Ref Expression
dmdprdsplit2 DProd

Proof of Theorem dmdprdsplit2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmdprdsplit.z . 2 Cntz
2 dmdprdsplit.0 . 2
3 eqid 2436 . 2 mrClsSubGrp mrClsSubGrp
4 dmdprdsplit2.1 . . 3 DProd
5 dprdgrp 15563 . . 3 DProd
64, 5syl 16 . 2
7 dprdsplit.u . . 3
8 dprdsplit.2 . . . . . . 7 SubGrp
9 ssun1 3510 . . . . . . . 8
109, 7syl5sseqr 3397 . . . . . . 7
11 fssres 5610 . . . . . . 7 SubGrp SubGrp
128, 10, 11syl2anc 643 . . . . . 6 SubGrp
13 fdm 5595 . . . . . 6 SubGrp
1412, 13syl 16 . . . . 5
15 reldmdprd 15558 . . . . . . 7 DProd
1615brrelex2i 4919 . . . . . 6 DProd
17 dmexg 5130 . . . . . 6
184, 16, 173syl 19 . . . . 5
1914, 18eqeltrrd 2511 . . . 4
20 ssun2 3511 . . . . . . . 8
2120, 7syl5sseqr 3397 . . . . . . 7
22 fssres 5610 . . . . . . 7 SubGrp SubGrp
238, 21, 22syl2anc 643 . . . . . 6 SubGrp
24 fdm 5595 . . . . . 6 SubGrp
2523, 24syl 16 . . . . 5
26 dmdprdsplit2.2 . . . . . 6 DProd
2715brrelex2i 4919 . . . . . 6 DProd
28 dmexg 5130 . . . . . 6
2926, 27, 283syl 19 . . . . 5
3025, 29eqeltrrd 2511 . . . 4
31 unexg 4710 . . . 4
3219, 30, 31syl2anc 643 . . 3
337, 32eqeltrd 2510 . 2
347eleq2d 2503 . . . . 5
35 elun 3488 . . . . 5
3634, 35syl6bb 253 . . . 4
37 dprdsplit.i . . . . . . . 8
38 dmdprdsplit2.3 . . . . . . . 8 DProd DProd
39 dmdprdsplit2.4 . . . . . . . 8 DProd DProd
408, 37, 7, 1, 2, 4, 26, 38, 39, 3dmdprdsplit2lem 15603 . . . . . . 7 mrClsSubGrp
41 incom 3533 . . . . . . . . 9
4241, 37syl5eqr 2482 . . . . . . . 8
43 uncom 3491 . . . . . . . . 9
447, 43syl6eq 2484 . . . . . . . 8
45 dprdsubg 15582 . . . . . . . . . 10 DProd DProd SubGrp
464, 45syl 16 . . . . . . . . 9 DProd SubGrp
47 dprdsubg 15582 . . . . . . . . . 10 DProd DProd SubGrp
4826, 47syl 16 . . . . . . . . 9 DProd SubGrp
491, 46, 48, 38cntzrecd 15310 . . . . . . . 8 DProd DProd
50 incom 3533 . . . . . . . . 9 DProd DProd DProd DProd
5150, 39syl5eqr 2482 . . . . . . . 8 DProd DProd
528, 42, 44, 1, 2, 26, 4, 49, 51, 3dmdprdsplit2lem 15603 . . . . . . 7 mrClsSubGrp
5340, 52jaodan 761 . . . . . 6 mrClsSubGrp
5453simpld 446 . . . . 5
5554ex 424 . . . 4
5636, 55sylbid 207 . . 3
57563imp2 1168 . 2
5836biimpa 471 . . 3
5940simprd 450 . . . 4 mrClsSubGrp
6052simprd 450 . . . 4 mrClsSubGrp
6159, 60jaodan 761 . . 3 mrClsSubGrp
6258, 61syldan 457 . 2 mrClsSubGrp
631, 2, 3, 6, 33, 8, 57, 62dmdprdd 15560 1 DProd
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wo 358   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  cvv 2956   cdif 3317   cun 3318   cin 3319   wss 3320  c0 3628  csn 3814  cuni 4015   class class class wbr 4212   cdm 4878   cres 4880  cima 4881  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  c0g 13723  mrClscmrc 13808  cgrp 14685  SubGrpcsubg 14938  Cntzccntz 15114   DProd cdprd 15554 This theorem is referenced by:  dmdprdsplit  15605  pgpfaclem1  15639 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-hash 11619  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-ghm 15004  df-gim 15046  df-cntz 15116  df-oppg 15142  df-lsm 15270  df-cmn 15414  df-dprd 15556
 Copyright terms: Public domain W3C validator