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Theorem dmdprdsplit2lem 15296
Description: Lemma for dmdprdsplit 15298. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdsplit.2  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
dprdsplit.i  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  D
)  =  (/) )
dprdsplit.u  |-  ( ph  ->  I  =  ( C  u.  D ) )
dmdprdsplit.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
dmdprdsplit.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
dmdprdsplit2.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  C ) )
dmdprdsplit2.2  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  D ) )
dmdprdsplit2.3  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  C_  ( Z `  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) ) )
dmdprdsplit2.4  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  =  {  .0.  } )
dmdprdsplit2lem.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
Assertion
Ref Expression
dmdprdsplit2lem  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( Y  e.  I  ->  ( X  =/=  Y  ->  ( S `  X
)  C_  ( Z `  ( S `  Y
) ) ) )  /\  ( ( S `
 X )  i^i  ( K `  U. ( S " ( I 
\  { X }
) ) ) ) 
C_  {  .0.  } ) )

Proof of Theorem dmdprdsplit2lem
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdsplit.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  =  ( C  u.  D ) )
21adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  I  =  ( C  u.  D ) )
32eleq2d 2363 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( Y  e.  I  <->  Y  e.  ( C  u.  D
) ) )
4 elun 3329 . . . 4  |-  ( Y  e.  ( C  u.  D )  <->  ( Y  e.  C  \/  Y  e.  D ) )
53, 4syl6bb 252 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( Y  e.  I  <->  ( Y  e.  C  \/  Y  e.  D ) ) )
6 dmdprdsplit2.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  C ) )
76ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  G dom DProd  ( S  |`  C ) )
8 dprdsplit.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
9 ssun1 3351 . . . . . . . . . . 11  |-  C  C_  ( C  u.  D
)
109, 1syl5sseqr 3240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  C_  I )
11 fssres 5424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S : I --> (SubGrp `  G )  /\  C  C_  I )  ->  ( S  |`  C ) : C --> (SubGrp `  G )
)
128, 10, 11syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  |`  C ) : C --> (SubGrp `  G ) )
13 fdm 5409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  |`  C ) : C --> (SubGrp `  G )  ->  dom  ( S  |`  C )  =  C )
1412, 13syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  ( S  |`  C )  =  C )
1514ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  dom  ( S  |`  C )  =  C )
16 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  X  e.  C
)
17 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  Y  e.  C
)
18 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  X  =/=  Y
)
19 dmdprdsplit.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (Cntz `  G )
207, 15, 16, 17, 18, 19dprdcntz 15259 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( ( S  |`  C ) `  X
)  C_  ( Z `  ( ( S  |`  C ) `  Y
) ) )
21 fvres 5558 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  C  ->  (
( S  |`  C ) `
 X )  =  ( S `  X
) )
2221ad2antlr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( ( S  |`  C ) `  X
)  =  ( S `
 X ) )
23 fvres 5558 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  C  ->  (
( S  |`  C ) `
 Y )  =  ( S `  Y
) )
2423ad2antrl 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( ( S  |`  C ) `  Y
)  =  ( S `
 Y ) )
2524fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( Z `  ( ( S  |`  C ) `  Y
) )  =  ( Z `  ( S `
 Y ) ) )
2620, 22, 253sstr3d 3233 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( S `  X )  C_  ( Z `  ( S `  Y ) ) )
2726exp32 588 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( Y  e.  C  ->  ( X  =/=  Y  -> 
( S `  X
)  C_  ( Z `  ( S `  Y
) ) ) ) )
2821ad2antlr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( ( S  |`  C ) `  X
)  =  ( S `
 X ) )
296ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  G dom DProd  ( S  |`  C ) )
3014ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  dom  ( S  |`  C )  =  C )
31 simplr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  X  e.  C
)
3229, 30, 31dprdub 15276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( ( S  |`  C ) `  X
)  C_  ( G DProd  ( S  |`  C )
) )
3328, 32eqsstr3d 3226 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( S `  X )  C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) ) )
34 dmdprdsplit2.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  C_  ( Z `  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) ) )
3534ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) ) 
C_  ( Z `  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
36 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
3736dprdssv 15267 . . . . . . . 8  |-  ( G DProd 
( S  |`  D ) )  C_  ( Base `  G )
38 fvres 5558 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  D  ->  (
( S  |`  D ) `
 Y )  =  ( S `  Y
) )
3938ad2antrl 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( ( S  |`  D ) `  Y
)  =  ( S `
 Y ) )
40 dmdprdsplit2.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  D ) )
4140ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  G dom DProd  ( S  |`  D ) )
42 ssun2 3352 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  C_  ( C  u.  D
)
4342, 1syl5sseqr 3240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  C_  I )
44 fssres 5424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S : I --> (SubGrp `  G )  /\  D  C_  I )  ->  ( S  |`  D ) : D --> (SubGrp `  G )
)
458, 43, 44syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  |`  D ) : D --> (SubGrp `  G ) )
46 fdm 5409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  |`  D ) : D --> (SubGrp `  G )  ->  dom  ( S  |`  D )  =  D )
4745, 46syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( S  |`  D )  =  D )
4847ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  dom  ( S  |`  D )  =  D )
49 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  Y  e.  D
)
5041, 48, 49dprdub 15276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( ( S  |`  D ) `  Y
)  C_  ( G DProd  ( S  |`  D )
) )
5139, 50eqsstr3d 3226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( S `  Y )  C_  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )
5236, 19cntz2ss 14824 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G DProd  ( S  |`  D ) )  C_  ( Base `  G )  /\  ( S `  Y
)  C_  ( G DProd  ( S  |`  D )
) )  ->  ( Z `  ( G DProd  ( S  |`  D )
) )  C_  ( Z `  ( S `  Y ) ) )
5337, 51, 52sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( Z `  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) 
C_  ( Z `  ( S `  Y ) ) )
5435, 53sstrd 3202 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) ) 
C_  ( Z `  ( S `  Y ) ) )
5533, 54sstrd 3202 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( S `  X )  C_  ( Z `  ( S `  Y ) ) )
5655exp32 588 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( Y  e.  D  ->  ( X  =/=  Y  -> 
( S `  X
)  C_  ( Z `  ( S `  Y
) ) ) ) )
5727, 56jaod 369 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( Y  e.  C  \/  Y  e.  D
)  ->  ( X  =/=  Y  ->  ( S `  X )  C_  ( Z `  ( S `  Y ) ) ) ) )
585, 57sylbid 206 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( Y  e.  I  ->  ( X  =/=  Y  -> 
( S `  X
)  C_  ( Z `  ( S `  Y
) ) ) ) )
59 dprdgrp 15256 . . . . . . . 8  |-  ( G dom DProd  ( S  |`  C )  ->  G  e.  Grp )
606, 59syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
6160adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  G  e.  Grp )
6236subgacs 14668 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  ( Base `  G
) ) )
63 acsmre 13570 . . . . . 6  |-  ( (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  ( Base `  G
) )  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G
) ) )
6461, 62, 633syl 18 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G
) ) )
65 difundir 3435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  u.  D ) 
\  { X }
)  =  ( ( C  \  { X } )  u.  ( D  \  { X }
) )
662difeq1d 3306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
I  \  { X } )  =  ( ( C  u.  D
)  \  { X } ) )
67 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  X  e.  C )
6867snssd 3776 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  { X }  C_  C )
69 sslin 3408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { X }  C_  C  ->  ( D  i^i  { X } )  C_  ( D  i^i  C ) )
7068, 69syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( D  i^i  { X }
)  C_  ( D  i^i  C ) )
71 incom 3374 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  i^i  D )  =  ( D  i^i  C
)
72 dprdsplit.i . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  D
)  =  (/) )
7372adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( C  i^i  D )  =  (/) )
7471, 73syl5eqr 2342 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( D  i^i  C )  =  (/) )
75 sseq0 3499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  i^i  { X } )  C_  ( D  i^i  C )  /\  ( D  i^i  C )  =  (/) )  ->  ( D  i^i  { X }
)  =  (/) )
7670, 74, 75syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( D  i^i  { X }
)  =  (/) )
77 disj3 3512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  i^i  { X } )  =  (/)  <->  D  =  ( D  \  { X } ) )
7876, 77sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  D  =  ( D  \  { X } ) )
7978uneq2d 3342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( C  \  { X } )  u.  D
)  =  ( ( C  \  { X } )  u.  ( D  \  { X }
) ) )
8065, 66, 793eqtr4a 2354 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
I  \  { X } )  =  ( ( C  \  { X } )  u.  D
) )
8180imaeq2d 5028 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( S " ( I  \  { X } ) )  =  ( S "
( ( C  \  { X } )  u.  D ) ) )
82 imaundi 5109 . . . . . . . . 9  |-  ( S
" ( ( C 
\  { X }
)  u.  D ) )  =  ( ( S " ( C 
\  { X }
) )  u.  ( S " D ) )
8381, 82syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( S " ( I  \  { X } ) )  =  ( ( S
" ( C  \  { X } ) )  u.  ( S " D ) ) )
8483unieqd 3854 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " ( I  \  { X } ) )  =  U. ( ( S " ( C 
\  { X }
) )  u.  ( S " D ) ) )
85 uniun 3862 . . . . . . 7  |-  U. (
( S " ( C  \  { X }
) )  u.  ( S " D ) )  =  ( U. ( S " ( C  \  { X } ) )  u.  U. ( S
" D ) )
8684, 85syl6eq 2344 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " ( I  \  { X } ) )  =  ( U. ( S " ( C  \  { X } ) )  u.  U. ( S
" D ) ) )
87 difss 3316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C 
\  { X }
)  C_  C
88 imass2 5065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  \  { X } )  C_  C  ->  ( S " ( C  \  { X }
) )  C_  ( S " C ) )
89 uniss 3864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S " ( C 
\  { X }
) )  C_  ( S " C )  ->  U. ( S " ( C  \  { X }
) )  C_  U. ( S " C ) )
9087, 88, 89mp2b 9 . . . . . . . . . 10  |-  U. ( S " ( C  \  { X } ) ) 
C_  U. ( S " C )
91 imassrn 5041 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S
" C )  C_  ran  S
92 frn 5411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S : I --> (SubGrp `  G )  ->  ran  S 
C_  (SubGrp `  G )
)
938, 92syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  (SubGrp `  G ) )
9493adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ran  S 
C_  (SubGrp `  G )
)
95 mresspw 13510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G
) )  ->  (SubGrp `  G )  C_  ~P ( Base `  G )
)
9664, 95syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (SubGrp `  G )  C_  ~P ( Base `  G )
)
9794, 96sstrd 3202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ran  S 
C_  ~P ( Base `  G
) )
9891, 97syl5ss 3203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( S " C )  C_  ~P ( Base `  G
) )
99 sspwuni 4003 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S " C ) 
C_  ~P ( Base `  G
)  <->  U. ( S " C )  C_  ( Base `  G ) )
10098, 99sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " C )  C_  ( Base `  G )
)
10190, 100syl5ss 3203 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " ( C  \  { X } ) ) 
C_  ( Base `  G
) )
102 dmdprdsplit2lem.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
103102mrcssid 13535 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) )  /\  U. ( S " ( C  \  { X }
) )  C_  ( Base `  G ) )  ->  U. ( S "
( C  \  { X } ) )  C_  ( K `  U. ( S " ( C  \  { X } ) ) ) )
10464, 101, 103syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " ( C  \  { X } ) ) 
C_  ( K `  U. ( S " ( C  \  { X }
) ) ) )
105 imassrn 5041 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S
" D )  C_  ran  S
106105, 97syl5ss 3203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( S " D )  C_  ~P ( Base `  G
) )
107 sspwuni 4003 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S " D ) 
C_  ~P ( Base `  G
)  <->  U. ( S " D )  C_  ( Base `  G ) )
108106, 107sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " D )  C_  ( Base `  G )
)
109102mrcssid 13535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) )  /\  U. ( S " D
)  C_  ( Base `  G ) )  ->  U. ( S " D
)  C_  ( K `  U. ( S " D ) ) )
11064, 108, 109syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " D )  C_  ( K `  U. ( S " D ) ) )
111102dprdspan 15278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G dom DProd  ( S  |`  D )  ->  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  =  ( K `
 U. ran  ( S  |`  D ) ) )
11240, 111syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  =  ( K `  U. ran  ( S  |`  D ) ) )
113 df-ima 4718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S
" D )  =  ran  ( S  |`  D )
114113unieqi 3853 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. ( S " D )  = 
U. ran  ( S  |`  D )
115114fveq2i 5544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K `
 U. ( S
" D ) )  =  ( K `  U. ran  ( S  |`  D ) )
116112, 115syl6eqr 2346 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  =  ( K `  U. ( S " D ) ) )
117116adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  =  ( K `
 U. ( S
" D ) ) )
118110, 117sseqtr4d 3228 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " D )  C_  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )
119 unss12 3360 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. ( S "
( C  \  { X } ) )  C_  ( K `  U. ( S " ( C  \  { X } ) ) )  /\  U. ( S " D )  C_  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  ( U. ( S " ( C  \  { X } ) )  u.  U. ( S
" D ) ) 
C_  ( ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  u.  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) ) )
120104, 118, 119syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( U. ( S " ( C  \  { X }
) )  u.  U. ( S " D ) )  C_  ( ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  u.  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) ) )
121102mrccl 13529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) )  /\  U. ( S " ( C  \  { X }
) )  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( K `  U. ( S " ( C  \  { X }
) ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
12264, 101, 121syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
123 dprdsubg 15275 . . . . . . . . . 10  |-  ( G dom DProd  ( S  |`  D )  ->  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
12440, 123syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
125124adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
126 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( LSSum `  G )  =  (
LSSum `  G )
127126lsmunss 14985 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  u.  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) )  C_  (
( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
128122, 125, 127syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) )  u.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) 
C_  ( ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ( LSSum `  G
) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
129120, 128sstrd 3202 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( U. ( S " ( C  \  { X }
) )  u.  U. ( S " D ) )  C_  ( ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ( LSSum `  G
) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
13086, 129eqsstrd 3225 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " ( I  \  { X } ) ) 
C_  ( ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ( LSSum `  G
) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
13190a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " ( C  \  { X } ) ) 
C_  U. ( S " C ) )
132102mrcss 13534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) )  /\  U. ( S " ( C  \  { X }
) )  C_  U. ( S " C )  /\  U. ( S " C
)  C_  ( Base `  G ) )  -> 
( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) )  C_  ( K `  U. ( S " C ) ) )
13364, 131, 100, 132syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  C_  ( K `  U. ( S " C ) ) )
134102dprdspan 15278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G dom DProd  ( S  |`  C )  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  =  ( K `
 U. ran  ( S  |`  C ) ) )
1356, 134syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  =  ( K `  U. ran  ( S  |`  C ) ) )
136 df-ima 4718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S
" C )  =  ran  ( S  |`  C )
137136unieqi 3853 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ( S " C )  = 
U. ran  ( S  |`  C )
138137fveq2i 5544 . . . . . . . . . 10  |-  ( K `
 U. ( S
" C ) )  =  ( K `  U. ran  ( S  |`  C ) )
139135, 138syl6eqr 2346 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  =  ( K `  U. ( S " C ) ) )
140139adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  =  ( K `
 U. ( S
" C ) ) )
141133, 140sseqtr4d 3228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  C_  ( G DProd  ( S  |`  C )
) )
14234adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
143141, 142sstrd 3202 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
144126, 19lsmsubg 14981 . . . . . 6  |-  ( ( ( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) )  C_  ( Z `  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) ) )  -> 
( ( K `  U. ( S " ( C  \  { X }
) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  e.  (SubGrp `  G
) )
145122, 125, 143, 144syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  e.  (SubGrp `  G
) )
146102mrcsscl 13538 . . . . 5  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) )  /\  U. ( S " (
I  \  { X } ) )  C_  ( ( K `  U. ( S " ( C  \  { X }
) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  /\  ( ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ( LSSum `  G
) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( K `  U. ( S " ( I 
\  { X }
) ) )  C_  ( ( K `  U. ( S " ( C  \  { X }
) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
14764, 130, 145, 146syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( K `  U. ( S
" ( I  \  { X } ) ) )  C_  ( ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ( LSSum `  G
) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
148 sslin 3408 . . . 4  |-  ( ( K `  U. ( S " ( I  \  { X } ) ) )  C_  ( ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ( LSSum `  G
) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  ( ( S `  X )  i^i  ( K `  U. ( S " ( I 
\  { X }
) ) ) ) 
C_  ( ( S `
 X )  i^i  ( ( K `  U. ( S " ( C  \  { X }
) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) ) )
149147, 148syl 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( S `  X
)  i^i  ( K `  U. ( S "
( I  \  { X } ) ) ) )  C_  ( ( S `  X )  i^i  ( ( K `  U. ( S " ( C  \  { X }
) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) ) )
15010sselda 3193 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  X  e.  I )
151 ffvelrn 5679 . . . . . 6  |-  ( ( S : I --> (SubGrp `  G )  /\  X  e.  I )  ->  ( S `  X )  e.  (SubGrp `  G )
)
1528, 151sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  I )  ->  ( S `  X )  e.  (SubGrp `  G )
)
153150, 152syldan 456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( S `  X )  e.  (SubGrp `  G )
)
154 dmdprdsplit.0 . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
15521adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( S  |`  C ) `
 X )  =  ( S `  X
) )
1566adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  G dom DProd  ( S  |`  C ) )
15714adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  dom  ( S  |`  C )  =  C )
158156, 157, 67dprdub 15276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( S  |`  C ) `
 X )  C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) ) )
159155, 158eqsstr3d 3226 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( S `  X )  C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) ) )
160 dprdsubg 15275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G dom DProd  ( S  |`  C )  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
1616, 160syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
162161adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
163126lsmlub 14990 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S `  X
)  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( ( ( S `
 X )  C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( K `  U. ( S " ( C  \  { X } ) ) )  C_  ( G DProd  ( S  |`  C )
) )  <->  ( ( S `  X )
( LSSum `  G )
( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) ) ) 
C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) ) ) )
164153, 122, 162, 163syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( ( S `  X )  C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  C_  ( G DProd  ( S  |`  C )
) )  <->  ( ( S `  X )
( LSSum `  G )
( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) ) ) 
C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) ) ) )
165159, 141, 164mpbi2and 887 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( S `  X
) ( LSSum `  G
) ( K `  U. ( S " ( C  \  { X }
) ) ) ) 
C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) ) )
166 ssrin 3407 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S `  X
) ( LSSum `  G
) ( K `  U. ( S " ( C  \  { X }
) ) ) ) 
C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  ->  ( ( ( S `  X ) ( LSSum `  G )
( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  C_  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) ) )
167165, 166syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( ( S `  X ) ( LSSum `  G ) ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  C_  (
( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
168 dmdprdsplit2.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  =  {  .0.  } )
169168adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  =  {  .0.  }
)
170167, 169sseqtrd 3227 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( ( S `  X ) ( LSSum `  G ) ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  C_  {  .0.  } )
171126lsmub1 14983 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S `  X
)  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( S `  X
)  C_  ( ( S `  X )
( LSSum `  G )
( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) ) ) )
172153, 122, 171syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( S `  X )  C_  ( ( S `  X ) ( LSSum `  G ) ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ) )
173154subg0cl 14645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S `  X )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  ( S `  X ) )
174153, 173syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  .0.  e.  ( S `  X
) )
175172, 174sseldd 3194 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  .0.  e.  ( ( S `  X ) ( LSSum `  G ) ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ) )
176154subg0cl 14645 . . . . . . . 8  |-  ( ( G DProd  ( S  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G )  ->  .0.  e.  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) )
177125, 176syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  .0.  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )
178 elin 3371 . . . . . . 7  |-  (  .0. 
e.  ( ( ( S `  X ) ( LSSum `  G )
( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  <->  (  .0.  e.  ( ( S `  X ) ( LSSum `  G ) ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) )  /\  .0.  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
179175, 177, 178sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  .0.  e.  ( ( ( S `
 X ) (
LSSum `  G ) ( K `  U. ( S " ( C  \  { X } ) ) ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
180179snssd 3776 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  {  .0.  } 
C_  ( ( ( S `  X ) ( LSSum `  G )
( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
181170, 180eqssd 3209 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( ( S `  X ) ( LSSum `  G ) ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  =  {  .0.  } )
182 resima2 5004 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  \  { X } )  C_  C  ->  ( ( S  |`  C ) " ( C  \  { X }
) )  =  ( S " ( C 
\  { X }
) ) )
18387, 182mp1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( S  |`  C )
" ( C  \  { X } ) )  =  ( S "
( C  \  { X } ) ) )
184183unieqd 3854 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. (
( S  |`  C )
" ( C  \  { X } ) )  =  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )
185184fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( K `  U. ( ( S  |`  C ) " ( C  \  { X } ) ) )  =  ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) )
186155, 185ineq12d 3384 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( ( S  |`  C ) `  X
)  i^i  ( K `  U. ( ( S  |`  C ) " ( C  \  { X }
) ) ) )  =  ( ( S `
 X )  i^i  ( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) ) ) )
187156, 157, 67, 154, 102dprddisj 15260 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( ( S  |`  C ) `  X
)  i^i  ( K `  U. ( ( S  |`  C ) " ( C  \  { X }
) ) ) )  =  {  .0.  }
)
188186, 187eqtr3d 2330 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( S `  X
)  i^i  ( K `  U. ( S "
( C  \  { X } ) ) ) )  =  {  .0.  } )
1898adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
190 ffun 5407 . . . . . . . 8  |-  ( S : I --> (SubGrp `  G )  ->  Fun  S )
191 funiunfv 5790 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
S  ->  U_ y  e.  ( C  \  { X } ) ( S `
 y )  = 
U. ( S "
( C  \  { X } ) ) )
192189, 190, 1913syl 18 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U_ y  e.  ( C  \  { X } ) ( S `
 y )  = 
U. ( S "
( C  \  { X } ) ) )
1936ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  ->  G dom DProd  ( S  |`  C ) )
19414ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  ->  dom  ( S  |`  C )  =  C )
195 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( C  \  { X } )  -> 
y  e.  C )
196195adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  -> 
y  e.  C )
197 simplr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  ->  X  e.  C )
198 eldifsni 3763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( C  \  { X } )  -> 
y  =/=  X )
199198adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  -> 
y  =/=  X )
200193, 194, 196, 197, 199, 19dprdcntz 15259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  -> 
( ( S  |`  C ) `  y
)  C_  ( Z `  ( ( S  |`  C ) `  X
) ) )
201 fvres 5558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  C  ->  (
( S  |`  C ) `
 y )  =  ( S `  y
) )
202196, 201syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  -> 
( ( S  |`  C ) `  y
)  =  ( S `
 y ) )
20321ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  -> 
( ( S  |`  C ) `  X
)  =  ( S `
 X ) )
204203fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  -> 
( Z `  (
( S  |`  C ) `
 X ) )  =  ( Z `  ( S `  X ) ) )
205200, 202, 2043sstr3d 3233 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  -> 
( S `  y
)  C_  ( Z `  ( S `  X
) ) )
206205ralrimiva 2639 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  A. y  e.  ( C  \  { X } ) ( S `
 y )  C_  ( Z `  ( S `
 X ) ) )
207 iunss 3959 . . . . . . . 8  |-  ( U_ y  e.  ( C  \  { X } ) ( S `  y
)  C_  ( Z `  ( S `  X
) )  <->  A. y  e.  ( C  \  { X } ) ( S `
 y )  C_  ( Z `  ( S `
 X ) ) )
208206, 207sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U_ y  e.  ( C  \  { X } ) ( S `
 y )  C_  ( Z `  ( S `
 X ) ) )
209192, 208eqsstr3d 3226 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " ( C  \  { X } ) ) 
C_  ( Z `  ( S `  X ) ) )
21036subgss 14638 . . . . . . . 8  |-  ( ( S `  X )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( S `  X )  C_  ( Base `  G ) )
211153, 210syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( S `  X )  C_  ( Base `  G
) )
21236, 19cntzsubg 14828 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S `  X ) 
C_  ( Base `  G
) )  ->  ( Z `  ( S `  X ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
21361, 211, 212syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( Z `  ( S `  X ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
214102mrcsscl 13538 . . . . . 6  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) )  /\  U. ( S " ( C  \  { X }
) )  C_  ( Z `  ( S `  X ) )  /\  ( Z `  ( S `
 X ) )  e.  (SubGrp `  G
) )  ->  ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  C_  ( Z `  ( S `  X
) ) )
21564, 209, 213, 214syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  C_  ( Z `  ( S `  X
) ) )
21619, 122, 153, 215cntzrecd 15003 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( S `  X )  C_  ( Z `  ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ) )
217126, 153, 122, 125, 154, 181, 188, 19, 216lsmdisj3 15008 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( S `  X
)  i^i  ( ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ( LSSum `  G
) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  =  {  .0.  } )
218149, 217sseqtrd 3227 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( S `  X
)  i^i  ( K `  U. ( S "
( I  \  { X } ) ) ) )  C_  {  .0.  } )
21958, 218jca 518 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( Y  e.  I  ->  ( X  =/=  Y  ->  ( S `  X
)  C_  ( Z `  ( S `  Y
) ) ) )  /\  ( ( S `
 X )  i^i  ( K `  U. ( S " ( I 
\  { X }
) ) ) ) 
C_  {  .0.  } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   U.cuni 3843   U_ciun 3921   class class class wbr 4039   dom cdm 4705   ran crn 4706    |` cres 4707   "cima 4708   Fun wfun 5265   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   0gc0g 13416  Moorecmre 13500  mrClscmrc 13501  ACScacs 13503   Grpcgrp 14378  SubGrpcsubg 14631  Cntzccntz 14807   LSSumclsm 14961   DProd cdprd 15247
This theorem is referenced by:  dmdprdsplit2  15297
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-gim 14739  df-cntz 14809  df-oppg 14835  df-lsm 14963  df-cmn 15107  df-dprd 15249
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