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Theorem dmdprdsplit2lem 15603
Description: Lemma for dmdprdsplit 15605. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdsplit.2  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
dprdsplit.i  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  D
)  =  (/) )
dprdsplit.u  |-  ( ph  ->  I  =  ( C  u.  D ) )
dmdprdsplit.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
dmdprdsplit.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
dmdprdsplit2.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  C ) )
dmdprdsplit2.2  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  D ) )
dmdprdsplit2.3  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  C_  ( Z `  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) ) )
dmdprdsplit2.4  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  =  {  .0.  } )
dmdprdsplit2lem.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
Assertion
Ref Expression
dmdprdsplit2lem  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( Y  e.  I  ->  ( X  =/=  Y  ->  ( S `  X
)  C_  ( Z `  ( S `  Y
) ) ) )  /\  ( ( S `
 X )  i^i  ( K `  U. ( S " ( I 
\  { X }
) ) ) ) 
C_  {  .0.  } ) )

Proof of Theorem dmdprdsplit2lem
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdsplit.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  =  ( C  u.  D ) )
21adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  I  =  ( C  u.  D ) )
32eleq2d 2503 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( Y  e.  I  <->  Y  e.  ( C  u.  D
) ) )
4 elun 3488 . . . 4  |-  ( Y  e.  ( C  u.  D )  <->  ( Y  e.  C  \/  Y  e.  D ) )
53, 4syl6bb 253 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( Y  e.  I  <->  ( Y  e.  C  \/  Y  e.  D ) ) )
6 dmdprdsplit2.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  C ) )
76ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  G dom DProd  ( S  |`  C ) )
8 dprdsplit.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
9 ssun1 3510 . . . . . . . . . . 11  |-  C  C_  ( C  u.  D
)
109, 1syl5sseqr 3397 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  C_  I )
11 fssres 5610 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S : I --> (SubGrp `  G )  /\  C  C_  I )  ->  ( S  |`  C ) : C --> (SubGrp `  G )
)
128, 10, 11syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  |`  C ) : C --> (SubGrp `  G ) )
13 fdm 5595 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  |`  C ) : C --> (SubGrp `  G )  ->  dom  ( S  |`  C )  =  C )
1412, 13syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  ( S  |`  C )  =  C )
1514ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  dom  ( S  |`  C )  =  C )
16 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  X  e.  C
)
17 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  Y  e.  C
)
18 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  X  =/=  Y
)
19 dmdprdsplit.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (Cntz `  G )
207, 15, 16, 17, 18, 19dprdcntz 15566 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( ( S  |`  C ) `  X
)  C_  ( Z `  ( ( S  |`  C ) `  Y
) ) )
21 fvres 5745 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  C  ->  (
( S  |`  C ) `
 X )  =  ( S `  X
) )
2221ad2antlr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( ( S  |`  C ) `  X
)  =  ( S `
 X ) )
23 fvres 5745 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  C  ->  (
( S  |`  C ) `
 Y )  =  ( S `  Y
) )
2423ad2antrl 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( ( S  |`  C ) `  Y
)  =  ( S `
 Y ) )
2524fveq2d 5732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( Z `  ( ( S  |`  C ) `  Y
) )  =  ( Z `  ( S `
 Y ) ) )
2620, 22, 253sstr3d 3390 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( S `  X )  C_  ( Z `  ( S `  Y ) ) )
2726exp32 589 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( Y  e.  C  ->  ( X  =/=  Y  -> 
( S `  X
)  C_  ( Z `  ( S `  Y
) ) ) ) )
2821ad2antlr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( ( S  |`  C ) `  X
)  =  ( S `
 X ) )
296ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  G dom DProd  ( S  |`  C ) )
3014ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  dom  ( S  |`  C )  =  C )
31 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  X  e.  C
)
3229, 30, 31dprdub 15583 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( ( S  |`  C ) `  X
)  C_  ( G DProd  ( S  |`  C )
) )
3328, 32eqsstr3d 3383 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( S `  X )  C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) ) )
34 dmdprdsplit2.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  C_  ( Z `  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) ) )
3534ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) ) 
C_  ( Z `  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
36 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
3736dprdssv 15574 . . . . . . . 8  |-  ( G DProd 
( S  |`  D ) )  C_  ( Base `  G )
38 fvres 5745 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  D  ->  (
( S  |`  D ) `
 Y )  =  ( S `  Y
) )
3938ad2antrl 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( ( S  |`  D ) `  Y
)  =  ( S `
 Y ) )
40 dmdprdsplit2.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  D ) )
4140ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  G dom DProd  ( S  |`  D ) )
42 ssun2 3511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  C_  ( C  u.  D
)
4342, 1syl5sseqr 3397 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  C_  I )
44 fssres 5610 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S : I --> (SubGrp `  G )  /\  D  C_  I )  ->  ( S  |`  D ) : D --> (SubGrp `  G )
)
458, 43, 44syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  |`  D ) : D --> (SubGrp `  G ) )
46 fdm 5595 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  |`  D ) : D --> (SubGrp `  G )  ->  dom  ( S  |`  D )  =  D )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( S  |`  D )  =  D )
4847ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  dom  ( S  |`  D )  =  D )
49 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  Y  e.  D
)
5041, 48, 49dprdub 15583 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( ( S  |`  D ) `  Y
)  C_  ( G DProd  ( S  |`  D )
) )
5139, 50eqsstr3d 3383 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( S `  Y )  C_  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )
5236, 19cntz2ss 15131 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G DProd  ( S  |`  D ) )  C_  ( Base `  G )  /\  ( S `  Y
)  C_  ( G DProd  ( S  |`  D )
) )  ->  ( Z `  ( G DProd  ( S  |`  D )
) )  C_  ( Z `  ( S `  Y ) ) )
5337, 51, 52sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( Z `  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) 
C_  ( Z `  ( S `  Y ) ) )
5435, 53sstrd 3358 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) ) 
C_  ( Z `  ( S `  Y ) ) )
5533, 54sstrd 3358 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( S `  X )  C_  ( Z `  ( S `  Y ) ) )
5655exp32 589 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( Y  e.  D  ->  ( X  =/=  Y  -> 
( S `  X
)  C_  ( Z `  ( S `  Y
) ) ) ) )
5727, 56jaod 370 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( Y  e.  C  \/  Y  e.  D
)  ->  ( X  =/=  Y  ->  ( S `  X )  C_  ( Z `  ( S `  Y ) ) ) ) )
585, 57sylbid 207 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( Y  e.  I  ->  ( X  =/=  Y  -> 
( S `  X
)  C_  ( Z `  ( S `  Y
) ) ) ) )
59 dprdgrp 15563 . . . . . . . 8  |-  ( G dom DProd  ( S  |`  C )  ->  G  e.  Grp )
606, 59syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
6160adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  G  e.  Grp )
6236subgacs 14975 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  ( Base `  G
) ) )
63 acsmre 13877 . . . . . 6  |-  ( (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  ( Base `  G
) )  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G
) ) )
6461, 62, 633syl 19 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G
) ) )
65 difundir 3594 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  u.  D ) 
\  { X }
)  =  ( ( C  \  { X } )  u.  ( D  \  { X }
) )
662difeq1d 3464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
I  \  { X } )  =  ( ( C  u.  D
)  \  { X } ) )
67 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  X  e.  C )
6867snssd 3943 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  { X }  C_  C )
69 sslin 3567 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { X }  C_  C  ->  ( D  i^i  { X } )  C_  ( D  i^i  C ) )
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( D  i^i  { X }
)  C_  ( D  i^i  C ) )
71 incom 3533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  i^i  D )  =  ( D  i^i  C
)
72 dprdsplit.i . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  D
)  =  (/) )
7372adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( C  i^i  D )  =  (/) )
7471, 73syl5eqr 2482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( D  i^i  C )  =  (/) )
75 sseq0 3659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  i^i  { X } )  C_  ( D  i^i  C )  /\  ( D  i^i  C )  =  (/) )  ->  ( D  i^i  { X }
)  =  (/) )
7670, 74, 75syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( D  i^i  { X }
)  =  (/) )
77 disj3 3672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  i^i  { X } )  =  (/)  <->  D  =  ( D  \  { X } ) )
7876, 77sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  D  =  ( D  \  { X } ) )
7978uneq2d 3501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( C  \  { X } )  u.  D
)  =  ( ( C  \  { X } )  u.  ( D  \  { X }
) ) )
8065, 66, 793eqtr4a 2494 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
I  \  { X } )  =  ( ( C  \  { X } )  u.  D
) )
8180imaeq2d 5203 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( S " ( I  \  { X } ) )  =  ( S "
( ( C  \  { X } )  u.  D ) ) )
82 imaundi 5284 . . . . . . . . 9  |-  ( S
" ( ( C 
\  { X }
)  u.  D ) )  =  ( ( S " ( C 
\  { X }
) )  u.  ( S " D ) )
8381, 82syl6eq 2484 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( S " ( I  \  { X } ) )  =  ( ( S
" ( C  \  { X } ) )  u.  ( S " D ) ) )
8483unieqd 4026 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " ( I  \  { X } ) )  =  U. ( ( S " ( C 
\  { X }
) )  u.  ( S " D ) ) )
85 uniun 4034 . . . . . . 7  |-  U. (
( S " ( C  \  { X }
) )  u.  ( S " D ) )  =  ( U. ( S " ( C  \  { X } ) )  u.  U. ( S
" D ) )
8684, 85syl6eq 2484 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " ( I  \  { X } ) )  =  ( U. ( S " ( C  \  { X } ) )  u.  U. ( S
" D ) ) )
87 dmdprdsplit2lem.k . . . . . . . . 9  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
88 difss 3474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C 
\  { X }
)  C_  C
89 imass2 5240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  \  { X } )  C_  C  ->  ( S " ( C  \  { X }
) )  C_  ( S " C ) )
90 uniss 4036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S " ( C 
\  { X }
) )  C_  ( S " C )  ->  U. ( S " ( C  \  { X }
) )  C_  U. ( S " C ) )
9188, 89, 90mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  U. ( S " ( C  \  { X } ) ) 
C_  U. ( S " C )
92 imassrn 5216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S
" C )  C_  ran  S
93 frn 5597 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S : I --> (SubGrp `  G )  ->  ran  S 
C_  (SubGrp `  G )
)
948, 93syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  (SubGrp `  G ) )
9594adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ran  S 
C_  (SubGrp `  G )
)
96 mresspw 13817 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G
) )  ->  (SubGrp `  G )  C_  ~P ( Base `  G )
)
9764, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (SubGrp `  G )  C_  ~P ( Base `  G )
)
9895, 97sstrd 3358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ran  S 
C_  ~P ( Base `  G
) )
9992, 98syl5ss 3359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( S " C )  C_  ~P ( Base `  G
) )
100 sspwuni 4176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S " C ) 
C_  ~P ( Base `  G
)  <->  U. ( S " C )  C_  ( Base `  G ) )
10199, 100sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " C )  C_  ( Base `  G )
)
10291, 101syl5ss 3359 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " ( C  \  { X } ) ) 
C_  ( Base `  G
) )
10364, 87, 102mrcssidd 13850 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " ( C  \  { X } ) ) 
C_  ( K `  U. ( S " ( C  \  { X }
) ) ) )
104 imassrn 5216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S
" D )  C_  ran  S
105104, 98syl5ss 3359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( S " D )  C_  ~P ( Base `  G
) )
106 sspwuni 4176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S " D ) 
C_  ~P ( Base `  G
)  <->  U. ( S " D )  C_  ( Base `  G ) )
107105, 106sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " D )  C_  ( Base `  G )
)
10864, 87, 107mrcssidd 13850 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " D )  C_  ( K `  U. ( S " D ) ) )
10987dprdspan 15585 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G dom DProd  ( S  |`  D )  ->  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  =  ( K `
 U. ran  ( S  |`  D ) ) )
11040, 109syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  =  ( K `  U. ran  ( S  |`  D ) ) )
111 df-ima 4891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S
" D )  =  ran  ( S  |`  D )
112111unieqi 4025 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. ( S " D )  = 
U. ran  ( S  |`  D )
113112fveq2i 5731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K `
 U. ( S
" D ) )  =  ( K `  U. ran  ( S  |`  D ) )
114110, 113syl6eqr 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  =  ( K `  U. ( S " D ) ) )
115114adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  =  ( K `
 U. ( S
" D ) ) )
116108, 115sseqtr4d 3385 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " D )  C_  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )
117 unss12 3519 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. ( S "
( C  \  { X } ) )  C_  ( K `  U. ( S " ( C  \  { X } ) ) )  /\  U. ( S " D )  C_  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  ( U. ( S " ( C  \  { X } ) )  u.  U. ( S
" D ) ) 
C_  ( ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  u.  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) ) )
118103, 116, 117syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( U. ( S " ( C  \  { X }
) )  u.  U. ( S " D ) )  C_  ( ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  u.  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) ) )
11987mrccl 13836 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) )  /\  U. ( S " ( C  \  { X }
) )  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( K `  U. ( S " ( C  \  { X }
) ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
12064, 102, 119syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
121 dprdsubg 15582 . . . . . . . . . 10  |-  ( G dom DProd  ( S  |`  D )  ->  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
12240, 121syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
123122adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
124 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( LSSum `  G )  =  (
LSSum `  G )
125124lsmunss 15292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  u.  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) )  C_  (
( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
126120, 123, 125syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) )  u.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) 
C_  ( ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ( LSSum `  G
) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
127118, 126sstrd 3358 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( U. ( S " ( C  \  { X }
) )  u.  U. ( S " D ) )  C_  ( ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ( LSSum `  G
) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
12886, 127eqsstrd 3382 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " ( I  \  { X } ) ) 
C_  ( ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ( LSSum `  G
) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
12991a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " ( C  \  { X } ) ) 
C_  U. ( S " C ) )
13064, 87, 129, 101mrcssd 13849 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  C_  ( K `  U. ( S " C ) ) )
13187dprdspan 15585 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G dom DProd  ( S  |`  C )  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  =  ( K `
 U. ran  ( S  |`  C ) ) )
1326, 131syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  =  ( K `  U. ran  ( S  |`  C ) ) )
133 df-ima 4891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S
" C )  =  ran  ( S  |`  C )
134133unieqi 4025 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ( S " C )  = 
U. ran  ( S  |`  C )
135134fveq2i 5731 . . . . . . . . . 10  |-  ( K `
 U. ( S
" C ) )  =  ( K `  U. ran  ( S  |`  C ) )
136132, 135syl6eqr 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  =  ( K `  U. ( S " C ) ) )
137136adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  =  ( K `
 U. ( S
" C ) ) )
138130, 137sseqtr4d 3385 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  C_  ( G DProd  ( S  |`  C )
) )
13934adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
140138, 139sstrd 3358 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
141124, 19lsmsubg 15288 . . . . . 6  |-  ( ( ( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) )  C_  ( Z `  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) ) )  -> 
( ( K `  U. ( S " ( C  \  { X }
) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  e.  (SubGrp `  G
) )
142120, 123, 140, 141syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  e.  (SubGrp `  G
) )
14387mrcsscl 13845 . . . . 5  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) )  /\  U. ( S " (
I  \  { X } ) )  C_  ( ( K `  U. ( S " ( C  \  { X }
) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  /\  ( ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ( LSSum `  G
) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( K `  U. ( S " ( I 
\  { X }
) ) )  C_  ( ( K `  U. ( S " ( C  \  { X }
) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
14464, 128, 142, 143syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( K `  U. ( S
" ( I  \  { X } ) ) )  C_  ( ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ( LSSum `  G
) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
145 sslin 3567 . . . 4  |-  ( ( K `  U. ( S " ( I  \  { X } ) ) )  C_  ( ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ( LSSum `  G
) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  ( ( S `  X )  i^i  ( K `  U. ( S " ( I 
\  { X }
) ) ) ) 
C_  ( ( S `
 X )  i^i  ( ( K `  U. ( S " ( C  \  { X }
) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) ) )
146144, 145syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( S `  X
)  i^i  ( K `  U. ( S "
( I  \  { X } ) ) ) )  C_  ( ( S `  X )  i^i  ( ( K `  U. ( S " ( C  \  { X }
) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) ) )
14710sselda 3348 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  X  e.  I )
1488ffvelrnda 5870 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  I )  ->  ( S `  X )  e.  (SubGrp `  G )
)
149147, 148syldan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( S `  X )  e.  (SubGrp `  G )
)
150 dmdprdsplit.0 . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
15121adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( S  |`  C ) `
 X )  =  ( S `  X
) )
1526adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  G dom DProd  ( S  |`  C ) )
15314adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  dom  ( S  |`  C )  =  C )
154152, 153, 67dprdub 15583 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( S  |`  C ) `
 X )  C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) ) )
155151, 154eqsstr3d 3383 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( S `  X )  C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) ) )
156 dprdsubg 15582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G dom DProd  ( S  |`  C )  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
1576, 156syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
158157adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
159124lsmlub 15297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S `  X
)  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( ( ( S `
 X )  C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( K `  U. ( S " ( C  \  { X } ) ) )  C_  ( G DProd  ( S  |`  C )
) )  <->  ( ( S `  X )
( LSSum `  G )
( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) ) ) 
C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) ) ) )
160149, 120, 158, 159syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( ( S `  X )  C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  C_  ( G DProd  ( S  |`  C )
) )  <->  ( ( S `  X )
( LSSum `  G )
( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) ) ) 
C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) ) ) )
161155, 138, 160mpbi2and 888 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( S `  X
) ( LSSum `  G
) ( K `  U. ( S " ( C  \  { X }
) ) ) ) 
C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) ) )
162 ssrin 3566 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S `  X
) ( LSSum `  G
) ( K `  U. ( S " ( C  \  { X }
) ) ) ) 
C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  ->  ( ( ( S `  X ) ( LSSum `  G )
( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  C_  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) ) )
163161, 162syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( ( S `  X ) ( LSSum `  G ) ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  C_  (
( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
164 dmdprdsplit2.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  =  {  .0.  } )
165164adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  =  {  .0.  }
)
166163, 165sseqtrd 3384 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( ( S `  X ) ( LSSum `  G ) ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  C_  {  .0.  } )
167124lsmub1 15290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S `  X
)  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( S `  X
)  C_  ( ( S `  X )
( LSSum `  G )
( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) ) ) )
168149, 120, 167syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( S `  X )  C_  ( ( S `  X ) ( LSSum `  G ) ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ) )
169150subg0cl 14952 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S `  X )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  ( S `  X ) )
170149, 169syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  .0.  e.  ( S `  X
) )
171168, 170sseldd 3349 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  .0.  e.  ( ( S `  X ) ( LSSum `  G ) ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ) )
172150subg0cl 14952 . . . . . . . 8  |-  ( ( G DProd  ( S  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G )  ->  .0.  e.  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) )
173123, 172syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  .0.  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )
174 elin 3530 . . . . . . 7  |-  (  .0. 
e.  ( ( ( S `  X ) ( LSSum `  G )
( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  <->  (  .0.  e.  ( ( S `  X ) ( LSSum `  G ) ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) )  /\  .0.  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
175171, 173, 174sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  .0.  e.  ( ( ( S `
 X ) (
LSSum `  G ) ( K `  U. ( S " ( C  \  { X } ) ) ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
176175snssd 3943 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  {  .0.  } 
C_  ( ( ( S `  X ) ( LSSum `  G )
( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
177166, 176eqssd 3365 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( ( S `  X ) ( LSSum `  G ) ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  =  {  .0.  } )
178 resima2 5179 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  \  { X } )  C_  C  ->  ( ( S  |`  C ) " ( C  \  { X }
) )  =  ( S " ( C 
\  { X }
) ) )
17988, 178mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( S  |`  C )
" ( C  \  { X } ) )  =  ( S "
( C  \  { X } ) ) )
180179unieqd 4026 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. (
( S  |`  C )
" ( C  \  { X } ) )  =  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )
181180fveq2d 5732 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( K `  U. ( ( S  |`  C ) " ( C  \  { X } ) ) )  =  ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) )
182151, 181ineq12d 3543 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( ( S  |`  C ) `  X
)  i^i  ( K `  U. ( ( S  |`  C ) " ( C  \  { X }
) ) ) )  =  ( ( S `
 X )  i^i  ( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) ) ) )
183152, 153, 67, 150, 87dprddisj 15567 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( ( S  |`  C ) `  X
)  i^i  ( K `  U. ( ( S  |`  C ) " ( C  \  { X }
) ) ) )  =  {  .0.  }
)
184182, 183eqtr3d 2470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( S `  X
)  i^i  ( K `  U. ( S "
( C  \  { X } ) ) ) )  =  {  .0.  } )
1858adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
186 ffun 5593 . . . . . . . 8  |-  ( S : I --> (SubGrp `  G )  ->  Fun  S )
187 funiunfv 5995 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
S  ->  U_ y  e.  ( C  \  { X } ) ( S `
 y )  = 
U. ( S "
( C  \  { X } ) ) )
188185, 186, 1873syl 19 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U_ y  e.  ( C  \  { X } ) ( S `
 y )  = 
U. ( S "
( C  \  { X } ) ) )
1896ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  ->  G dom DProd  ( S  |`  C ) )
19014ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  ->  dom  ( S  |`  C )  =  C )
191 eldifi 3469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( C  \  { X } )  -> 
y  e.  C )
192191adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  -> 
y  e.  C )
193 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  ->  X  e.  C )
194 eldifsni 3928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( C  \  { X } )  -> 
y  =/=  X )
195194adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  -> 
y  =/=  X )
196189, 190, 192, 193, 195, 19dprdcntz 15566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  -> 
( ( S  |`  C ) `  y
)  C_  ( Z `  ( ( S  |`  C ) `  X
) ) )
197 fvres 5745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  C  ->  (
( S  |`  C ) `
 y )  =  ( S `  y
) )
198192, 197syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  -> 
( ( S  |`  C ) `  y
)  =  ( S `
 y ) )
19921ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  -> 
( ( S  |`  C ) `  X
)  =  ( S `
 X ) )
200199fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  -> 
( Z `  (
( S  |`  C ) `
 X ) )  =  ( Z `  ( S `  X ) ) )
201196, 198, 2003sstr3d 3390 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  -> 
( S `  y
)  C_  ( Z `  ( S `  X
) ) )
202201ralrimiva 2789 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  A. y  e.  ( C  \  { X } ) ( S `
 y )  C_  ( Z `  ( S `
 X ) ) )
203 iunss 4132 . . . . . . . 8  |-  ( U_ y  e.  ( C  \  { X } ) ( S `  y
)  C_  ( Z `  ( S `  X
) )  <->  A. y  e.  ( C  \  { X } ) ( S `
 y )  C_  ( Z `  ( S `
 X ) ) )
204202, 203sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U_ y  e.  ( C  \  { X } ) ( S `
 y )  C_  ( Z `  ( S `
 X ) ) )
205188, 204eqsstr3d 3383 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " ( C  \  { X } ) ) 
C_  ( Z `  ( S `  X ) ) )
20636subgss 14945 . . . . . . . 8  |-  ( ( S `  X )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( S `  X )  C_  ( Base `  G ) )
207149, 206syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( S `  X )  C_  ( Base `  G
) )
20836, 19cntzsubg 15135 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S `  X ) 
C_  ( Base `  G
) )  ->  ( Z `  ( S `  X ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
20961, 207, 208syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( Z `  ( S `  X ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
21087mrcsscl 13845 . . . . . 6  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) )  /\  U. ( S " ( C  \  { X }
) )  C_  ( Z `  ( S `  X ) )  /\  ( Z `  ( S `
 X ) )  e.  (SubGrp `  G
) )  ->  ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  C_  ( Z `  ( S `  X
) ) )
21164, 205, 209, 210syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  C_  ( Z `  ( S `  X
) ) )
21219, 120, 149, 211cntzrecd 15310 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( S `  X )  C_  ( Z `  ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ) )
213124, 149, 120, 123, 150, 177, 184, 19, 212lsmdisj3 15315 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( S `  X
)  i^i  ( ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ( LSSum `  G
) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  =  {  .0.  } )
214146, 213sseqtrd 3384 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( S `  X
)  i^i  ( K `  U. ( S "
( I  \  { X } ) ) ) )  C_  {  .0.  } )
21558, 214jca 519 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( Y  e.  I  ->  ( X  =/=  Y  ->  ( S `  X
)  C_  ( Z `  ( S `  Y
) ) ) )  /\  ( ( S `
 X )  i^i  ( K `  U. ( S " ( I 
\  { X }
) ) ) ) 
C_  {  .0.  } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705    \ cdif 3317    u. cun 3318    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ~Pcpw 3799   {csn 3814   U.cuni 4015   U_ciun 4093   class class class wbr 4212   dom cdm 4878   ran crn 4879    |` cres 4880   "cima 4881   Fun wfun 5448   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   0gc0g 13723  Moorecmre 13807  mrClscmrc 13808  ACScacs 13810   Grpcgrp 14685  SubGrpcsubg 14938  Cntzccntz 15114   LSSumclsm 15268   DProd cdprd 15554
This theorem is referenced by:  dmdprdsplit2  15604
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-hash 11619  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-ghm 15004  df-gim 15046  df-cntz 15116  df-oppg 15142  df-lsm 15270  df-cmn 15414  df-dprd 15556
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