MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprdsplitlem Unicode version

Theorem dmdprdsplitlem 15522
Description: Lemma for dmdprdsplit 15532. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dmdprdsplitlem.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
dmdprdsplitlem.w  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }
dmdprdsplitlem.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dmdprdsplitlem.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dmdprdsplitlem.3  |-  ( ph  ->  A  C_  I )
dmdprdsplitlem.4  |-  ( ph  ->  F  e.  W )
dmdprdsplitlem.5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  ( G DProd  ( S  |`  A ) ) )
Assertion
Ref Expression
dmdprdsplitlem  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  ->  ( F `  X )  =  .0.  )
Distinct variable groups:    .0. , h    h, i, A    h, G, i    h, I, i    h, F    S, h, i
Allowed substitution hints:    ph( h, i)    F( i)    W( h, i)    X( h, i)    .0. ( i)

Proof of Theorem dmdprdsplitlem
Dummy variables  f  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmdprdsplitlem.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  ( G DProd  ( S  |`  A ) ) )
2 dmdprdsplitlem.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
3 dmdprdsplitlem.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
42, 3dprdf2 15492 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
5 dmdprdsplitlem.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  I )
6 fssres 5550 . . . . . . 7  |-  ( ( S : I --> (SubGrp `  G )  /\  A  C_  I )  ->  ( S  |`  A ) : A --> (SubGrp `  G )
)
74, 5, 6syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  |`  A ) : A --> (SubGrp `  G ) )
8 fdm 5535 . . . . . 6  |-  ( ( S  |`  A ) : A --> (SubGrp `  G )  ->  dom  ( S  |`  A )  =  A )
9 dmdprdsplitlem.0 . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
10 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  =  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }
119, 10eldprd 15489 . . . . . 6  |-  ( dom  ( S  |`  A )  =  A  ->  (
( G  gsumg  F )  e.  ( G DProd  ( S  |`  A ) )  <->  ( G dom DProd  ( S  |`  A )  /\  E. f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  ( G  gsumg  F )  =  ( G 
gsumg  f ) ) ) )
127, 8, 113syl 19 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  F )  e.  ( G DProd  ( S  |`  A ) )  <-> 
( G dom DProd  ( S  |`  A )  /\  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) ) )
131, 12mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( S  |`  A )  /\  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )
1413simprd 450 . . 3  |-  ( ph  ->  E. f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) )
1514adantr 452 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  ->  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  ( G  gsumg  F )  =  ( G 
gsumg  f ) )
16 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) )
1713simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  A ) )
1817ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  G dom DProd  ( S  |`  A ) )
197, 8syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( S  |`  A )  =  A )
2019ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  dom  ( S  |`  A )  =  A )
21 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } )
22 eqid 2387 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
2310, 18, 20, 21, 22dprdff 15497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  f : A --> ( Base `  G
) )
2423feqmptd 5718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  f  =  ( n  e.  A  |->  ( f `  n ) ) )
255ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  A  C_  I )
26 resmpt 5131 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  I  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) )  |`  A )  =  ( n  e.  A  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) )  |`  A )  =  ( n  e.  A  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) )
28 iftrue 3688 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  A  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  ( f `  n ) )
2928mpteq2ia 4232 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  A  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
)  =  ( n  e.  A  |->  ( f `
 n ) )
3027, 29syl6eq 2435 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) )  |`  A )  =  ( n  e.  A  |->  ( f `  n ) ) )
3124, 30eqtr4d 2422 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  f  =  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
)  |`  A ) )
3231oveq2d 6036 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( G  gsumg  f )  =  ( G  gsumg  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )  |`  A ) ) )
33 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
342ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  G dom DProd  S )
35 dprdgrp 15490 . . . . . . . 8  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
36 grpmnd 14744 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
3734, 35, 363syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  G  e.  Mnd )
38 reldmdprd 15485 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  dom DProd
3938brrelex2i 4859 . . . . . . . . . 10  |-  ( G dom DProd  S  ->  S  e. 
_V )
40 dmexg 5070 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  _V  ->  dom  S  e.  _V )
412, 39, 403syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  S  e.  _V )
423, 41eqeltrrd 2462 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
4342ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  I  e.  _V )
44 dmdprdsplitlem.w . . . . . . . 8  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }
453ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  dom  S  =  I )
4618adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I )  ->  G dom DProd  ( S  |`  A ) )
4720adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I )  ->  dom  ( S  |`  A )  =  A )
48 simplrl 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I )  ->  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } )
4910, 46, 47, 48dprdfcl 15498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  /\  n  e.  A )  ->  (
f `  n )  e.  ( ( S  |`  A ) `  n
) )
50 fvres 5685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  A  ->  (
( S  |`  A ) `
 n )  =  ( S `  n
) )
5150adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  /\  n  e.  A )  ->  (
( S  |`  A ) `
 n )  =  ( S `  n
) )
5249, 51eleqtrd 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  /\  n  e.  A )  ->  (
f `  n )  e.  ( S `  n
) )
534ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
5453ffvelrnda 5809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I )  ->  ( S `  n )  e.  (SubGrp `  G )
)
559subg0cl 14879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S `  n )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  ( S `  n ) )
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I )  ->  .0.  e.  ( S `  n
) )
5756adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  /\  -.  n  e.  A )  ->  .0.  e.  ( S `  n
) )
5852, 57ifclda 3709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I )  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  e.  ( S `  n ) )
5910, 18, 20, 21dprdffi 15499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
60 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( `' f " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  /\  n  e.  A
)  ->  n  e.  A )
61 eldifn 3413 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( I  \ 
( `' f "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  -.  n  e.  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )
6261ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( `' f " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  /\  n  e.  A
)  ->  -.  n  e.  ( `' f "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )
6360, 62eldifd 3274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( `' f " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  /\  n  e.  A
)  ->  n  e.  ( A  \  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )
64 ssid 3310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' f " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) )
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )
6623, 65suppssr 5803 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( A  \  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( f `  n )  =  .0.  )
6766adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( `' f " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  /\  n  e.  ( A  \  ( `' f " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( f `  n )  =  .0.  )
6863, 67syldan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( `' f " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  /\  n  e.  A
)  ->  ( f `  n )  =  .0.  )
6968ifeq1da 3707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  if ( n  e.  A ,  .0.  ,  .0.  ) )
70 ifid 3714 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( n  e.  A ,  .0.  ,  .0.  )  =  .0.
7169, 70syl6eq 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  .0.  )
7271suppss2 6239 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  ( `' f
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )
73 ssfi 7265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' f "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin  /\  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )  -> 
( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
7459, 72, 73syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
7544, 34, 45, 58, 74dprdwd 15496 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )  e.  W
)
7644, 34, 45, 75, 22dprdff 15497 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) : I --> ( Base `  G
) )
7744, 34, 45, 75, 33dprdfcntz 15500 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ran  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) )  C_  ( (Cntz `  G ) `  ran  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) ) )
78 eldifn 3413 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( I  \  A )  ->  -.  n  e.  A )
7978adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  A
) )  ->  -.  n  e.  A )
80 iffalse 3689 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  n  e.  A  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  .0.  )
8179, 80syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  A
) )  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  .0.  )
8281suppss2 6239 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  A )
8322, 9, 33, 37, 43, 76, 77, 82, 74gsumzres 15444 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )  |`  A ) )  =  ( G  gsumg  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) ) )
8416, 32, 833eqtrd 2423 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) ) )
85 dmdprdsplitlem.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  W )
8685ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  F  e.  W )
879, 44, 34, 45, 86, 75dprdf11 15508 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) )  <-> 
F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
) ) )
8884, 87mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) )
8988fveq1d 5670 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( F `  X )  =  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
) `  X )
)
90 eldifi 3412 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( I  \  A )  ->  X  e.  I )
9190ad2antlr 708 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  X  e.  I )
92 eleq1 2447 . . . . . 6  |-  ( n  =  X  ->  (
n  e.  A  <->  X  e.  A ) )
93 fveq2 5668 . . . . . 6  |-  ( n  =  X  ->  (
f `  n )  =  ( f `  X ) )
94 eqidd 2388 . . . . . 6  |-  ( n  =  X  ->  .0.  =  .0.  )
9592, 93, 94ifbieq12d 3704 . . . . 5  |-  ( n  =  X  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  if ( X  e.  A , 
( f `  X
) ,  .0.  )
)
96 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
)  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
)
97 fvex 5682 . . . . . 6  |-  ( f `
 n )  e. 
_V
98 fvex 5682 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
999, 98eqeltri 2457 . . . . . 6  |-  .0.  e.  _V
10097, 99ifex 3740 . . . . 5  |-  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )  e.  _V
10195, 96, 100fvmpt3i 5748 . . . 4  |-  ( X  e.  I  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) `  X )  =  if ( X  e.  A ,  ( f `  X ) ,  .0.  ) )
10291, 101syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) `  X )  =  if ( X  e.  A ,  ( f `  X ) ,  .0.  ) )
103 eldifn 3413 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( I  \  A )  ->  -.  X  e.  A )
104103ad2antlr 708 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  -.  X  e.  A )
105 iffalse 3689 . . . 4  |-  ( -.  X  e.  A  ->  if ( X  e.  A ,  ( f `  X ) ,  .0.  )  =  .0.  )
106104, 105syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  if ( X  e.  A ,  ( f `  X ) ,  .0.  )  =  .0.  )
10789, 102, 1063eqtrd 2423 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( F `  X )  =  .0.  )
10815, 107rexlimddv 2777 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  ->  ( F `  X )  =  .0.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2650   {crab 2653   _Vcvv 2899    \ cdif 3260    C_ wss 3263   ifcif 3682   {csn 3757   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   `'ccnv 4817   dom cdm 4818    |` cres 4820   "cima 4821   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   X_cixp 6999   Fincfn 7045   Basecbs 13396   0gc0g 13650    gsumg cgsu 13651   Mndcmnd 14611   Grpcgrp 14612  SubGrpcsubg 14865  Cntzccntz 15041   DProd cdprd 15481
This theorem is referenced by:  dprddisj2  15524
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-tpos 6415  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-ixp 7000  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-oi 7412  df-card 7759  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-seq 11251  df-hash 11546  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-mnd 14617  df-mhm 14665  df-submnd 14666  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-sbg 14741  df-mulg 14742  df-subg 14868  df-ghm 14931  df-gim 14973  df-cntz 15043  df-oppg 15069  df-cmn 15341  df-dprd 15483
  Copyright terms: Public domain W3C validator