Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprdsplitlem Unicode version

Theorem dmdprdsplitlem 15288
 Description: Lemma for dmdprdsplit 15298. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dmdprdsplitlem.0
dmdprdsplitlem.w
dmdprdsplitlem.1 DProd
dmdprdsplitlem.2
dmdprdsplitlem.3
dmdprdsplitlem.4
dmdprdsplitlem.5 g DProd
Assertion
Ref Expression
dmdprdsplitlem
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem dmdprdsplitlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmdprdsplitlem.5 . . . . 5 g DProd
2 dmdprdsplitlem.1 . . . . . . . 8 DProd
3 dmdprdsplitlem.2 . . . . . . . 8
42, 3dprdf2 15258 . . . . . . 7 SubGrp
5 dmdprdsplitlem.3 . . . . . . 7
6 fssres 5424 . . . . . . 7 SubGrp SubGrp
74, 5, 6syl2anc 642 . . . . . 6 SubGrp
8 fdm 5409 . . . . . 6 SubGrp
9 dmdprdsplitlem.0 . . . . . . 7
10 eqid 2296 . . . . . . 7
119, 10eldprd 15255 . . . . . 6 g DProd DProd g g
127, 8, 113syl 18 . . . . 5 g DProd DProd g g
131, 12mpbid 201 . . . 4 DProd g g
1413simprd 449 . . 3 g g
1514adantr 451 . 2 g g
16 simprr 733 . . . . . . . 8 g g g g
1713simpld 445 . . . . . . . . . . . . 13 DProd
1817ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12 g g DProd
197, 8syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
2019ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12 g g
21 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12 g g
22 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12
2310, 18, 20, 21, 22dprdff 15263 . . . . . . . . . . 11 g g
2423feqmptd 5591 . . . . . . . . . 10 g g
255ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12 g g
26 resmpt 5016 . . . . . . . . . . . 12
2725, 26syl 15 . . . . . . . . . . 11 g g
28 iftrue 3584 . . . . . . . . . . . 12
2928mpteq2ia 4118 . . . . . . . . . . 11
3027, 29syl6eq 2344 . . . . . . . . . 10 g g
3124, 30eqtr4d 2331 . . . . . . . . 9 g g
3231oveq2d 5890 . . . . . . . 8 g g g g
33 eqid 2296 . . . . . . . . 9 Cntz Cntz
342ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10 g g DProd
35 dprdgrp 15256 . . . . . . . . . 10 DProd
36 grpmnd 14510 . . . . . . . . . 10
3734, 35, 363syl 18 . . . . . . . . 9 g g
38 reldmdprd 15251 . . . . . . . . . . . . 13 DProd
3938brrelex2i 4746 . . . . . . . . . . . 12 DProd
40 dmexg 4955 . . . . . . . . . . . 12
412, 39, 403syl 18 . . . . . . . . . . 11
423, 41eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . 10
4342ad2antrr 706 . . . . . . . . 9 g g
44 dmdprdsplitlem.w . . . . . . . . . 10
453ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10 g g
4618adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14 g g DProd
4720adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14 g g
48 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . 14 g g
4910, 46, 47, 48dprdfcl 15264 . . . . . . . . . . . . 13 g g
50 fvres 5558 . . . . . . . . . . . . . 14
5150adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13 g g
5249, 51eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . 12 g g
534ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15 g g SubGrp
54 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp SubGrp
5553, 54sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14 g g SubGrp
569subg0cl 14645 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp
5755, 56syl 15 . . . . . . . . . . . . 13 g g
5857adantr 451 . . . . . . . . . . . 12 g g
5952, 58ifclda 3605 . . . . . . . . . . 11 g g
6010, 18, 20, 21dprdffi 15265 . . . . . . . . . . . 12 g g
61 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 g g
62 eldifn 3312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6362ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 g g
64 eldif 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6561, 63, 64sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16 g g
66 ssid 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6766a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 g g
6823, 67suppssr 5675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 g g
6968adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 g g
7065, 69syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . 15 g g
7170ifeq1da 3603 . . . . . . . . . . . . . 14 g g
72 ifid 3610 . . . . . . . . . . . . . 14
7371, 72syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . 13 g g
7473suppss2 6089 . . . . . . . . . . . 12 g g
75 ssfi 7099 . . . . . . . . . . . 12
7660, 74, 75syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11 g g
7744, 34, 45, 59, 76dprdwd 15262 . . . . . . . . . 10 g g
7844, 34, 45, 77, 22dprdff 15263 . . . . . . . . 9 g g
7944, 34, 45, 77, 33dprdfcntz 15266 . . . . . . . . 9 g g Cntz
80 eldifn 3312 . . . . . . . . . . . 12
8180adantl 452 . . . . . . . . . . 11 g g
82 iffalse 3585 . . . . . . . . . . 11
8381, 82syl 15 . . . . . . . . . 10 g g
8483suppss2 6089 . . . . . . . . 9 g g
8522, 9, 33, 37, 43, 78, 79, 84, 76gsumzres 15210 . . . . . . . 8 g g g g
8616, 32, 853eqtrd 2332 . . . . . . 7 g g g g
87 dmdprdsplitlem.4 . . . . . . . . 9
8887ad2antrr 706 . . . . . . . 8 g g
899, 44, 34, 45, 88, 77dprdf11 15274 . . . . . . 7 g g g g
9086, 89mpbid 201 . . . . . 6 g g
9190fveq1d 5543 . . . . 5 g g
92 eldifi 3311 . . . . . . 7
9392ad2antlr 707 . . . . . 6 g g
94 eleq1 2356 . . . . . . . 8
95 fveq2 5541 . . . . . . . 8
96 eqidd 2297 . . . . . . . 8
9794, 95, 96ifbieq12d 3600 . . . . . . 7
98 eqid 2296 . . . . . . 7
99 fvex 5555 . . . . . . . 8
100 fvex 5555 . . . . . . . . 9
1019, 100eqeltri 2366 . . . . . . . 8
10299, 101ifex 3636 . . . . . . 7
10397, 98, 102fvmpt3i 5621 . . . . . 6
10493, 103syl 15 . . . . 5 g g
105 eldifn 3312 . . . . . . 7
106105ad2antlr 707 . . . . . 6 g g
107 iffalse 3585 . . . . . 6
108106, 107syl 15 . . . . 5 g g
10991, 104, 1083eqtrd 2332 . . . 4 g g
110109expr 598 . . 3 g g
111110rexlimdva 2680 . 2 g g
11215, 111mpd 14 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  wrex 2557  crab 2560  cvv 2801   cdif 3162   wss 3165  cif 3578  csn 3653   class class class wbr 4039   cmpt 4093  ccnv 4704   cdm 4705   cres 4707  cima 4708  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cixp 6833  cfn 6879  cbs 13164  c0g 13416   g cgsu 13417  cmnd 14377  cgrp 14378  SubGrpcsubg 14631  Cntzccntz 14807   DProd cdprd 15247 This theorem is referenced by:  dprddisj2  15290 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-gim 14739  df-cntz 14809  df-oppg 14835  df-cmn 15107  df-dprd 15249
 Copyright terms: Public domain W3C validator