MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmfi Unicode version

Theorem dmfi 7226
Description: The domain of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
dmfi  |-  ( A  e.  Fin  ->  dom  A  e.  Fin )

Proof of Theorem dmfi
StepHypRef Expression
1 fidomdm 7225 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  dom  A  ~<_  A )
2 domfi 7169 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  dom  A  ~<_  A )  ->  dom  A  e.  Fin )
31, 2mpdan 649 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  dom  A  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1710   class class class wbr 4102   dom cdm 4768    ~<_ cdom 6946   Fincfn 6948
This theorem is referenced by:  rnfi  7228  hashfun  11479  gsum2d  15316  tsmsxp  17933  usgrafilem2  27572  nbusgrafi  27604  cusgrasizeindslem3  27630  cusgrasizeinds  27631  vdusgraval  27797  vdusgra0nedg  27799  hashnbgravd  27801  vdn0frgrav2  27840  vdn1frgrav2  27842  vdfrgragt2  27844
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-1o 6563  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-fin 6952
  Copyright terms: Public domain W3C validator