MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmiun Structured version   Unicode version

Theorem dmiun 5079
Description: The domain of an indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
dmiun  |-  dom  U_ x  e.  A  B  =  U_ x  e.  A  dom  B

Proof of Theorem dmiun
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexcom4 2976 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  E. z <. y ,  z
>.  e.  B  <->  E. z E. x  e.  A  <. y ,  z >.  e.  B )
2 vex 2960 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
32eldm2 5069 . . . . 5  |-  ( y  e.  dom  B  <->  E. z <. y ,  z >.  e.  B )
43rexbii 2731 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  y  e.  dom  B  <->  E. x  e.  A  E. z <. y ,  z >.  e.  B )
5 eliun 4098 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  U_ x  e.  A  B 
<->  E. x  e.  A  <. y ,  z >.  e.  B )
65exbii 1593 . . . 4  |-  ( E. z <. y ,  z
>.  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. z E. x  e.  A  <. y ,  z >.  e.  B )
71, 4, 63bitr4ri 271 . . 3  |-  ( E. z <. y ,  z
>.  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. x  e.  A  y  e.  dom  B )
82eldm2 5069 . . 3  |-  ( y  e.  dom  U_ x  e.  A  B  <->  E. z <. y ,  z >.  e.  U_ x  e.  A  B )
9 eliun 4098 . . 3  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  dom  B  <->  E. x  e.  A  y  e.  dom  B )
107, 8, 93bitr4i 270 . 2  |-  ( y  e.  dom  U_ x  e.  A  B  <->  y  e.  U_ x  e.  A  dom  B )
1110eqriv 2434 1  |-  dom  U_ x  e.  A  B  =  U_ x  e.  A  dom  B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2707   <.cop 3818   U_ciun 4094   dom cdm 4879
This theorem is referenced by:  dprd2d2  15603
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ral 2711  df-rex 2712  df-rab 2715  df-v 2959  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-iun 4096  df-br 4214  df-dm 4889
  Copyright terms: Public domain W3C validator