MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmiun Unicode version

Theorem dmiun 4903
Description: The domain of an indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
dmiun  |-  dom  U_ x  e.  A  B  =  U_ x  e.  A  dom  B

Proof of Theorem dmiun
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexcom4 2820 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  E. z <. y ,  z
>.  e.  B  <->  E. z E. x  e.  A  <. y ,  z >.  e.  B )
2 vex 2804 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
32eldm2 4893 . . . . 5  |-  ( y  e.  dom  B  <->  E. z <. y ,  z >.  e.  B )
43rexbii 2581 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  y  e.  dom  B  <->  E. x  e.  A  E. z <. y ,  z >.  e.  B )
5 eliun 3925 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  U_ x  e.  A  B 
<->  E. x  e.  A  <. y ,  z >.  e.  B )
65exbii 1572 . . . 4  |-  ( E. z <. y ,  z
>.  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. z E. x  e.  A  <. y ,  z >.  e.  B )
71, 4, 63bitr4ri 269 . . 3  |-  ( E. z <. y ,  z
>.  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. x  e.  A  y  e.  dom  B )
82eldm2 4893 . . 3  |-  ( y  e.  dom  U_ x  e.  A  B  <->  E. z <. y ,  z >.  e.  U_ x  e.  A  B )
9 eliun 3925 . . 3  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  dom  B  <->  E. x  e.  A  y  e.  dom  B )
107, 8, 93bitr4i 268 . 2  |-  ( y  e.  dom  U_ x  e.  A  B  <->  y  e.  U_ x  e.  A  dom  B )
1110eqriv 2293 1  |-  dom  U_ x  e.  A  B  =  U_ x  e.  A  dom  B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   <.cop 3656   U_ciun 3921   dom cdm 4705
This theorem is referenced by:  dprd2d2  15295
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-iun 3923  df-br 4040  df-dm 4715
  Copyright terms: Public domain W3C validator