MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmmptg Unicode version

Theorem dmmptg 5170
Description: The domain of the mapping operation is the stated domain, if the function value is always a set. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
dmmptg  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  A )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)

Proof of Theorem dmmptg
StepHypRef Expression
1 elex 2796 . . . 4  |-  ( B  e.  V  ->  B  e.  _V )
21ralimi 2618 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  A. x  e.  A  B  e.  _V )
3 rabid2 2717 . . 3  |-  ( A  =  { x  e.  A  |  B  e. 
_V }  <->  A. x  e.  A  B  e.  _V )
42, 3sylibr 203 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  A  =  { x  e.  A  |  B  e.  _V } )
5 eqid 2283 . . 3  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
65dmmpt 5168 . 2  |-  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  { x  e.  A  |  B  e.  _V }
74, 6syl6reqr 2334 1  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788    e. cmpt 4077   dom cdm 4689
This theorem is referenced by:  iinon  6357  onoviun  6360  noinfep  7360  cantnfdm  7365  axcc2lem  8062  o1lo1  12011  o1lo12  12012  lo1mptrcl  12095  o1mptrcl  12096  o1add2  12097  o1mul2  12098  o1sub2  12099  lo1add  12100  lo1mul  12101  o1dif  12103  rlimneg  12120  lo1le  12125  rlimno1  12127  o1fsum  12271  divsfval  13449  iscnp2  16969  ptcnplem  17315  xkoinjcn  17381  fbasrn  17579  prdsdsf  17931  ressprdsds  17935  mbfmptcl  18992  mbfdm2  18993  dvmptcl  19308  dvmptadd  19309  dvmptmul  19310  dvmptres2  19311  dvmptcmul  19313  dvmptcj  19317  dvmptco  19321  rolle  19337  dvlip  19340  dvlipcn  19341  dvle  19354  dvivthlem1  19355  dvivth  19357  dvfsumle  19368  dvfsumge  19369  dvmptrecl  19371  dvfsumlem2  19374  pserdv  19805  logtayl  20007  rlimcxp  20268  o1cxp  20269  xppreima2  23212  measdivcstOLD  23551  measdivcst  23552  probfinmeasbOLD  23631  probmeasb  23633  dstrvprob  23672  cvmsss2  23805  smbkle  26043  pgapspf  26052  pgapspf2  26053  sdclem2  26452  dmmzp  26811  stoweidlem27  27776
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702
  Copyright terms: Public domain W3C validator