MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmmptg Structured version   Unicode version

Theorem dmmptg 5369
Description: The domain of the mapping operation is the stated domain, if the function value is always a set. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
dmmptg  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  A )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)

Proof of Theorem dmmptg
StepHypRef Expression
1 elex 2966 . . . 4  |-  ( B  e.  V  ->  B  e.  _V )
21ralimi 2783 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  A. x  e.  A  B  e.  _V )
3 rabid2 2887 . . 3  |-  ( A  =  { x  e.  A  |  B  e. 
_V }  <->  A. x  e.  A  B  e.  _V )
42, 3sylibr 205 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  A  =  { x  e.  A  |  B  e.  _V } )
5 eqid 2438 . . 3  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
65dmmpt 5367 . 2  |-  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  { x  e.  A  |  B  e.  _V }
74, 6syl6reqr 2489 1  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   {crab 2711   _Vcvv 2958    e. cmpt 4268   dom cdm 4880
This theorem is referenced by:  iinon  6604  onoviun  6607  noinfep  7616  cantnfdm  7621  axcc2lem  8318  o1lo1  12333  o1lo12  12334  lo1mptrcl  12417  o1mptrcl  12418  o1add2  12419  o1mul2  12420  o1sub2  12421  lo1add  12422  lo1mul  12423  o1dif  12425  rlimneg  12442  lo1le  12447  rlimno1  12449  o1fsum  12594  divsfval  13774  iscnp2  17305  ptcnplem  17655  xkoinjcn  17721  fbasrn  17918  prdsdsf  18399  ressprdsds  18403  mbfmptcl  19531  mbfdm2  19532  dvmptcl  19847  dvmptadd  19848  dvmptmul  19849  dvmptres2  19850  dvmptcmul  19852  dvmptcj  19856  dvmptco  19860  rolle  19876  dvlip  19879  dvlipcn  19880  dvle  19893  dvivthlem1  19894  dvivth  19896  dvfsumle  19907  dvfsumge  19908  dvmptrecl  19910  dvfsumlem2  19913  pserdv  20347  logtayl  20553  rlimcxp  20814  o1cxp  20815  measdivcstOLD  24580  probfinmeasbOLD  24688  probmeasb  24690  dstrvprob  24731  cvmsss2  24963  sdclem2  26448  dmmzp  26792  stoweidlem27  27754
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pr 4405
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893
  Copyright terms: Public domain W3C validator