MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmmptg Unicode version

Theorem dmmptg 5186
Description: The domain of the mapping operation is the stated domain, if the function value is always a set. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
dmmptg  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  A )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)

Proof of Theorem dmmptg
StepHypRef Expression
1 elex 2809 . . . 4  |-  ( B  e.  V  ->  B  e.  _V )
21ralimi 2631 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  A. x  e.  A  B  e.  _V )
3 rabid2 2730 . . 3  |-  ( A  =  { x  e.  A  |  B  e. 
_V }  <->  A. x  e.  A  B  e.  _V )
42, 3sylibr 203 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  A  =  { x  e.  A  |  B  e.  _V } )
5 eqid 2296 . . 3  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
65dmmpt 5184 . 2  |-  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  { x  e.  A  |  B  e.  _V }
74, 6syl6reqr 2347 1  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560   _Vcvv 2801    e. cmpt 4093   dom cdm 4705
This theorem is referenced by:  iinon  6373  onoviun  6376  noinfep  7376  cantnfdm  7381  axcc2lem  8078  o1lo1  12027  o1lo12  12028  lo1mptrcl  12111  o1mptrcl  12112  o1add2  12113  o1mul2  12114  o1sub2  12115  lo1add  12116  lo1mul  12117  o1dif  12119  rlimneg  12136  lo1le  12141  rlimno1  12143  o1fsum  12287  divsfval  13465  iscnp2  16985  ptcnplem  17331  xkoinjcn  17397  fbasrn  17595  prdsdsf  17947  ressprdsds  17951  mbfmptcl  19008  mbfdm2  19009  dvmptcl  19324  dvmptadd  19325  dvmptmul  19326  dvmptres2  19327  dvmptcmul  19329  dvmptcj  19333  dvmptco  19337  rolle  19353  dvlip  19356  dvlipcn  19357  dvle  19370  dvivthlem1  19371  dvivth  19373  dvfsumle  19384  dvfsumge  19385  dvmptrecl  19387  dvfsumlem2  19390  pserdv  19821  logtayl  20023  rlimcxp  20284  o1cxp  20285  xppreima2  23227  measdivcstOLD  23566  measdivcst  23567  probfinmeasbOLD  23646  probmeasb  23648  dstrvprob  23687  cvmsss2  23820  smbkle  26146  pgapspf  26155  pgapspf2  26156  sdclem2  26555  dmmzp  26914  stoweidlem27  27879
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718
  Copyright terms: Public domain W3C validator