Theorem dmmulpi 5019

Description: Domain of multiplication on positive integers.

Assertion

Ref	Expression
dmmulpi	|- dom .N = (N. X. N.)

Proof of Theorem dmmulpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmres 3380	. . 3 |- dom ( .o |` (N. X. N.)) = ((N. X. N.) i^i dom .o )
2		fnom 4149	. . . . 5 |- .o Fn (On X. On)
3		fndm 3587	. . . . 5 |- ( .o Fn (On X. On) -> dom .o = (On X. On))
4	2, 3	ax-mp 7	. . . 4 |- dom .o = (On X. On)
5	4	ineq2i 2214	. . 3 |- ((N. X. N.) i^i dom .o ) = ((N. X. N.) i^i (On X. On))
6	1, 5	eqtr 1495	. 2 |- dom ( .o |` (N. X. N.)) = ((N. X. N.) i^i (On X. On))
7		df-mi 5002	. . 3 |- .N = ( .o |` (N. X. N.))
8	7	dmeqi 3312	. 2 |- dom .N = dom ( .o |` (N. X. N.))
9		df-ni 5000	. . . . . . 7 |- N. = (om \ {(/)})
10		difss 2167	. . . . . . 7 |- (om \ {(/)}) (_ om
11	9, 10	eqsstr 2091	. . . . . 6 |- N. (_ om
12		omsson 3136	. . . . . 6 |- om (_ On
13	11, 12	sstri 2073	. . . . 5 |- N. (_ On
14		anidm 432	. . . . 5 |- ((N. (_ On /\ N. (_ On) <-> N. (_ On)
15	13, 14	mpbir 190	. . . 4 |- (N. (_ On /\ N. (_ On)
16		ssxp 3256	. . . 4 |- ((N. (_ On /\ N. (_ On) -> (N. X. N.) (_ (On X. On))
17	15, 16	ax-mp 7	. . 3 |- (N. X. N.) (_ (On X. On)
18		dfss 2054	. . 3 |- ((N. X. N.) (_ (On X. On) <-> (N. X. N.) = ((N. X. N.) i^i (On X. On)))
19	17, 18	mpbi 189	. 2 |- (N. X. N.) = ((N. X. N.) i^i (On X. On))
20	6, 8, 19	3eqtr4 1505	1 |- dom .N = (N. X. N.)

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 956   \ cdif 2044   i^i cin 2046   (_ wss 2047  (/)c0 2280  {csn 2409  Oncon0 2948  omcom 3131   X. cxp 3168  dom cdm 3170   |` cres 3172   Fn wfn 3177   .o comu 4131  N.cnpi 4972   .N cmi 4974

This theorem is referenced by:  mulcompi 5024  mulasspi 5025  distrpi 5026  mulcanpi 5027  ltmpi 5031  ordpipq 5056  ltsopq 5075

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-omul 4136  df-ni 5000  df-mi 5002

Copyright terms: Public domain