Theorem dmo 10709

Description: The domain of a morphism is an object.

Hypotheses

Ref	Expression
dmo.1	|- M = dom (dom` T)
dmo.3	|- O = dom (id` T)
dmo.2	|- D = (dom` T)

Assertion

Ref	Expression
dmo	|- ((T e. Cat /\ F e. M) -> (D` F) e. O)

Proof of Theorem dmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrn 3814	. 2 |- ((D:M-->O /\ F e. M) -> (D` F) e. O)
2		dmo.1	. . . 4 |- M = dom (dom` T)
3		dmo.2	. . . . . 6 |- D = (dom` T)
4	3	eqcomi 1479	. . . . 5 |- (dom` T) = D
5	4	dmeqi 3312	. . . 4 |- dom (dom` T) = dom D
6	2, 5	eqtr 1495	. . 3 |- M = dom D
7		dmo.3	. . 3 |- O = dom (id` T)
8		eqid 1475	. . 3 |- (id` T) = (id` T)
9	6, 3, 7, 8	domc 10698	. 2 |- (T e. Cat -> D:M-->O)
10	1, 9	sylan 448	1 |- ((T e. Cat /\ F e. M) -> (D` F) e. O)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  dom cdm 3170  -->wf 3178  ` cfv 3182  domcdom_ 10644  idcid_ 10646  Catccat 10685

This theorem is referenced by:  imonclem 10741  idfisf 10760

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fo 3196  df-fv 3198  df-opr 3965  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-alg 10648  df-doma 10649  df-coda 10650  df-ida 10651  df-cmpa 10652  df-ded 10668  df-cat 10686

Copyright terms: Public domain