Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dmoprabss6 Unicode version

Theorem dmoprabss6 25035
Description: The domain of an operation class abstraction. (A version of dmoprabss 5929 adapted to partial operations.) (Contributed by FL, 18-Apr-2010.)
Hypothesis
Ref Expression
dmoprabss5.1  |-  B  e.  C
Assertion
Ref Expression
dmoprabss6  |-  ( Rel 
A  ->  dom  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  (
<. x ,  y >.  e.  A  /\  z  =  B ) }  =  A )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    z, B
Allowed substitution hints:    B( x, y)    C( x, y, z)

Proof of Theorem dmoprabss6
StepHypRef Expression
1 dmoprab 5928 . 2  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( <. x ,  y
>.  e.  A  /\  z  =  B ) }  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z
( <. x ,  y
>.  e.  A  /\  z  =  B ) }
2 19.42v 1846 . . . . 5  |-  ( E. z ( <. x ,  y >.  e.  A  /\  z  =  B
)  <->  ( <. x ,  y >.  e.  A  /\  E. z  z  =  B ) )
32opabbii 4083 . . . 4  |-  { <. x ,  y >.  |  E. z ( <. x ,  y >.  e.  A  /\  z  =  B
) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( <. x ,  y >.  e.  A  /\  E. z  z  =  B ) }
4 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  A  /\  E. z 
z  =  B )  ->  <. x ,  y
>.  e.  A )
5 dmoprabss5.1 . . . . . . . . 9  |-  B  e.  C
65elexi 2797 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
_V
76isseti 2794 . . . . . . 7  |-  E. z 
z  =  B
87jctr 526 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  ( <.
x ,  y >.  e.  A  /\  E. z 
z  =  B ) )
94, 8impbii 180 . . . . 5  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  A  /\  E. z 
z  =  B )  <->  <. x ,  y >.  e.  A )
109opabbii 4083 . . . 4  |-  { <. x ,  y >.  |  (
<. x ,  y >.  e.  A  /\  E. z 
z  =  B ) }  =  { <. x ,  y >.  |  <. x ,  y >.  e.  A }
113, 10eqtri 2303 . . 3  |-  { <. x ,  y >.  |  E. z ( <. x ,  y >.  e.  A  /\  z  =  B
) }  =  { <. x ,  y >.  |  <. x ,  y
>.  e.  A }
12 opabid2 4815 . . 3  |-  ( Rel 
A  ->  { <. x ,  y >.  |  <. x ,  y >.  e.  A }  =  A )
1311, 12syl5eq 2327 . 2  |-  ( Rel 
A  ->  { <. x ,  y >.  |  E. z ( <. x ,  y >.  e.  A  /\  z  =  B
) }  =  A )
141, 13syl5eq 2327 1  |-  ( Rel 
A  ->  dom  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  (
<. x ,  y >.  e.  A  /\  z  =  B ) }  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   <.cop 3643   {copab 4076   dom cdm 4689   Rel wrel 4694   {coprab 5859
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-xp 4695  df-rel 4696  df-dm 4699  df-oprab 5862
  Copyright terms: Public domain W3C validator