Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dmoprabss6 Unicode version

Theorem dmoprabss6 25138
Description: The domain of an operation class abstraction. (A version of dmoprabss 5945 adapted to partial operations.) (Contributed by FL, 18-Apr-2010.)
Hypothesis
Ref Expression
dmoprabss5.1  |-  B  e.  C
Assertion
Ref Expression
dmoprabss6  |-  ( Rel 
A  ->  dom  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  (
<. x ,  y >.  e.  A  /\  z  =  B ) }  =  A )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    z, B
Allowed substitution hints:    B( x, y)    C( x, y, z)

Proof of Theorem dmoprabss6
StepHypRef Expression
1 dmoprab 5944 . 2  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( <. x ,  y
>.  e.  A  /\  z  =  B ) }  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z
( <. x ,  y
>.  e.  A  /\  z  =  B ) }
2 19.42v 1858 . . . . 5  |-  ( E. z ( <. x ,  y >.  e.  A  /\  z  =  B
)  <->  ( <. x ,  y >.  e.  A  /\  E. z  z  =  B ) )
32opabbii 4099 . . . 4  |-  { <. x ,  y >.  |  E. z ( <. x ,  y >.  e.  A  /\  z  =  B
) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( <. x ,  y >.  e.  A  /\  E. z  z  =  B ) }
4 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  A  /\  E. z 
z  =  B )  ->  <. x ,  y
>.  e.  A )
5 dmoprabss5.1 . . . . . . . . 9  |-  B  e.  C
65elexi 2810 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
_V
76isseti 2807 . . . . . . 7  |-  E. z 
z  =  B
87jctr 526 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  ( <.
x ,  y >.  e.  A  /\  E. z 
z  =  B ) )
94, 8impbii 180 . . . . 5  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  A  /\  E. z 
z  =  B )  <->  <. x ,  y >.  e.  A )
109opabbii 4099 . . . 4  |-  { <. x ,  y >.  |  (
<. x ,  y >.  e.  A  /\  E. z 
z  =  B ) }  =  { <. x ,  y >.  |  <. x ,  y >.  e.  A }
113, 10eqtri 2316 . . 3  |-  { <. x ,  y >.  |  E. z ( <. x ,  y >.  e.  A  /\  z  =  B
) }  =  { <. x ,  y >.  |  <. x ,  y
>.  e.  A }
12 opabid2 4831 . . 3  |-  ( Rel 
A  ->  { <. x ,  y >.  |  <. x ,  y >.  e.  A }  =  A )
1311, 12syl5eq 2340 . 2  |-  ( Rel 
A  ->  { <. x ,  y >.  |  E. z ( <. x ,  y >.  e.  A  /\  z  =  B
) }  =  A )
141, 13syl5eq 2340 1  |-  ( Rel 
A  ->  dom  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  (
<. x ,  y >.  e.  A  /\  z  =  B ) }  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   <.cop 3656   {copab 4092   dom cdm 4705   Rel wrel 4710   {coprab 5875
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040  df-opab 4094  df-xp 4711  df-rel 4712  df-dm 4715  df-oprab 5878
  Copyright terms: Public domain W3C validator