MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmplp Structured version   Unicode version

Theorem dmplp 8891
Description: Domain of addition on positive reals. (Contributed by NM, 18-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dmplp  |-  dom  +P.  =  ( P.  X.  P. )

Proof of Theorem dmplp
Dummy variables  x  y  z  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-plp 8862 . 2  |-  +P.  =  ( x  e.  P. ,  y  e.  P.  |->  { z  |  E. u  e.  x  E. v  e.  y  z  =  ( u  +Q  v ) } )
2 addclnq 8824 . 2  |-  ( ( u  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  ->  ( u  +Q  v
)  e.  Q. )
31, 2genpdm 8881 1  |-  dom  +P.  =  ( P.  X.  P. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1653    X. cxp 4878   dom cdm 4880    +Q cplq 8732   P.cnp 8736    +P. cpp 8738
This theorem is referenced by:  addcompr  8900  addasspr  8901  distrpr  8907  ltaddpr2  8914  ltapr  8924  addcanpr  8925  ltsrpr  8954  ltsosr  8971  mappsrpr  8985
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-omul 6731  df-er 6907  df-ni 8751  df-pli 8752  df-mi 8753  df-lti 8754  df-plpq 8787  df-enq 8790  df-nq 8791  df-erq 8792  df-plq 8793  df-1nq 8795  df-np 8860  df-plp 8862
  Copyright terms: Public domain W3C validator