MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmpropg Unicode version

Theorem dmpropg 5283
Description: The domain of an unordered pair of ordered pairs. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
dmpropg  |-  ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W )  ->  dom  { <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. }  =  { A ,  C }
)

Proof of Theorem dmpropg
StepHypRef Expression
1 dmsnopg 5281 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  dom  {
<. A ,  B >. }  =  { A }
)
2 dmsnopg 5281 . . 3  |-  ( D  e.  W  ->  dom  {
<. C ,  D >. }  =  { C }
)
3 uneq12 3439 . . 3  |-  ( ( dom  { <. A ,  B >. }  =  { A }  /\  dom  { <. C ,  D >. }  =  { C }
)  ->  ( dom  {
<. A ,  B >. }  u.  dom  { <. C ,  D >. } )  =  ( { A }  u.  { C } ) )
41, 2, 3syl2an 464 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W )  ->  ( dom  { <. A ,  B >. }  u.  dom  { <. C ,  D >. } )  =  ( { A }  u.  { C } ) )
5 df-pr 3764 . . . 4  |-  { <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. }  =  ( { <. A ,  B >. }  u.  { <. C ,  D >. } )
65dmeqi 5011 . . 3  |-  dom  { <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. }  =  dom  ( {
<. A ,  B >. }  u.  { <. C ,  D >. } )
7 dmun 5016 . . 3  |-  dom  ( { <. A ,  B >. }  u.  { <. C ,  D >. } )  =  ( dom  { <. A ,  B >. }  u.  dom  { <. C ,  D >. } )
86, 7eqtri 2407 . 2  |-  dom  { <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. }  =  ( dom  { <. A ,  B >. }  u.  dom  { <. C ,  D >. } )
9 df-pr 3764 . 2  |-  { A ,  C }  =  ( { A }  u.  { C } )
104, 8, 93eqtr4g 2444 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W )  ->  dom  { <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. }  =  { A ,  C }
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    u. cun 3261   {csn 3757   {cpr 3758   <.cop 3760   dom cdm 4818
This theorem is referenced by:  dmprop  5285  funtpg  5441  fnprg  5445  s4dom  11793
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pr 4344
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-rab 2658  df-v 2901  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-br 4154  df-dm 4828
  Copyright terms: Public domain W3C validator