Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmrecnq Structured version   Unicode version

Theorem dmrecnq 8847
 Description: Domain of reciprocal on positive fractions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dmrecnq

Proof of Theorem dmrecnq
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rq 8796 . . . . . 6
2 cnvimass 5226 . . . . . 6
31, 2eqsstri 3380 . . . . 5
4 mulnqf 8828 . . . . . 6
54fdmi 5598 . . . . 5
63, 5sseqtri 3382 . . . 4
7 dmss 5071 . . . 4
86, 7ax-mp 8 . . 3
9 dmxpid 5091 . . 3
108, 9sseqtri 3382 . 2
11 recclnq 8845 . . . . . . . 8
12 opelxpi 4912 . . . . . . . 8
1311, 12mpdan 651 . . . . . . 7
14 df-ov 6086 . . . . . . . 8
15 recidnq 8844 . . . . . . . 8
1614, 15syl5eqr 2484 . . . . . . 7
17 ffn 5593 . . . . . . . 8
18 fniniseg 5853 . . . . . . . 8
194, 17, 18mp2b 10 . . . . . . 7
2013, 16, 19sylanbrc 647 . . . . . 6
2120, 1syl6eleqr 2529 . . . . 5
22 df-br 4215 . . . . 5
2321, 22sylibr 205 . . . 4
24 vex 2961 . . . . 5
25 fvex 5744 . . . . 5
2624, 25breldm 5076 . . . 4
2723, 26syl 16 . . 3
2827ssriv 3354 . 2
2910, 28eqssi 3366 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wss 3322  csn 3816  cop 3819   class class class wbr 4214   cxp 4878  ccnv 4879   cdm 4880  cima 4883   wfn 5451  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  cnq 8729  c1q 8730   cmq 8733  crq 8734 This theorem is referenced by:  ltrnq  8858  reclem2pr  8927 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-omul 6731  df-er 6907  df-ni 8751  df-mi 8753  df-lti 8754  df-mpq 8788  df-enq 8790  df-nq 8791  df-erq 8792  df-mq 8794  df-1nq 8795  df-rq 8796
 Copyright terms: Public domain W3C validator