Theorem dmrecpq 5074

Description: Domain of reciprocal on positive fractions.

Assertion

Ref	Expression
dmrecpq	|- dom *Q = Q.

Proof of Theorem dmrecpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rq 5041	. . 3 |- *Q = {<.x, y>. | (x e. Q. /\ (x .Q y) = 1Q)}
2	1	dmeqi 3312	. 2 |- dom *Q = dom {<.x, y>. | (x e. Q. /\ (x .Q y) = 1Q)}
3		recidpq 5071	. . . . 5 |- (x e. Q. -> (x .Q (*Q` x)) = 1Q)
4		fvex 3732	. . . . . 6 |- (*Q` x) e. V
5		opreq2 3969	. . . . . . 7 |- (y = (*Q` x) -> (x .Q y) = (x .Q (*Q` x)))
6	5	eqeq1d 1483	. . . . . 6 |- (y = (*Q` x) -> ((x .Q y) = 1Q <-> (x .Q (*Q` x)) = 1Q))
7	4, 6	cla4ev 1869	. . . . 5 |- ((x .Q (*Q` x)) = 1Q -> E.y(x .Q y) = 1Q)
8	3, 7	syl 10	. . . 4 |- (x e. Q. -> E.y(x .Q y) = 1Q)
9	8	rgen 1698	. . 3 |- A.x e. Q. E.y(x .Q y) = 1Q
10		dmopab3 3322	. . 3 |- (A.x e. Q. E.y(x .Q y) = 1Q <-> dom {<.x, y>. | (x e. Q. /\ (x .Q y) = 1Q)} = Q.)
11	9, 10	mpbi 189	. 2 |- dom {<.x, y>. | (x e. Q. /\ (x .Q y) = 1Q)} = Q.
12	2, 11	eqtr 1495	1 |- dom *Q = Q.

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  A.wral 1645  {copab 2666  dom cdm 3170  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  Q.cnq 4979  1Qc1q 4980   .Q cmq 4982  *Qcrq 4983

This theorem is referenced by:  reclem1pr 5156  reclem2pr 5157

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-mi 5002  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-mq 5040  df-rq 5041  df-1q 5043

Copyright terms: Public domain