Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dmrngcmp Unicode version

Theorem dmrngcmp 25854
Description: Domain and range of the domain of the composition. (Contributed by FL, 5-Oct-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
dmrngcmp.1  |-  R  =  ( o_ `  T
)
dmrngcmp.2  |-  M  =  dom  ( dom_ `  T
)
Assertion
Ref Expression
dmrngcmp  |-  ( T  e.  Ded  ->  ( dom  dom  R  =  M  /\  ran  dom  R  =  M ) )

Proof of Theorem dmrngcmp
Dummy variables  x  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dedalg 25846 . . . . . 6  |-  ( T  e.  Ded  ->  T  e.  Alg  )
2 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  dom  ( dom_ `  T )  =  dom  ( dom_ `  T
)
3 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( dom_ `  T )  =  (
dom_ `  T )
4 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( o_
`  T )  =  ( o_ `  T
)
52, 3, 4cmppfa 25835 . . . . . 6  |-  ( T  e.  Alg  ->  ( Fun  ( o_ `  T
)  /\  dom  ( o_
`  T )  C_  ( dom  ( dom_ `  T
)  X.  dom  ( dom_ `  T ) )  /\  ran  ( o_
`  T )  C_  dom  ( dom_ `  T
) ) )
61, 5syl 15 . . . . 5  |-  ( T  e.  Ded  ->  ( Fun  ( o_ `  T
)  /\  dom  ( o_
`  T )  C_  ( dom  ( dom_ `  T
)  X.  dom  ( dom_ `  T ) )  /\  ran  ( o_
`  T )  C_  dom  ( dom_ `  T
) ) )
7 dmss 4894 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( o_ `  T
)  C_  ( dom  ( dom_ `  T )  X.  dom  ( dom_ `  T
) )  ->  dom  dom  ( o_ `  T
)  C_  dom  ( dom  ( dom_ `  T
)  X.  dom  ( dom_ `  T ) ) )
8 dmxpss 5123 . . . . . . . 8  |-  dom  ( dom  ( dom_ `  T
)  X.  dom  ( dom_ `  T ) ) 
C_  dom  ( dom_ `  T )
9 sstr 3200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( dom  dom  ( o_ `  T )  C_  dom  ( dom  ( dom_ `  T
)  X.  dom  ( dom_ `  T ) )  /\  dom  ( dom  ( dom_ `  T
)  X.  dom  ( dom_ `  T ) ) 
C_  dom  ( dom_ `  T ) )  ->  dom  dom  ( o_ `  T )  C_  dom  ( dom_ `  T )
)
10 dmrngcmp.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  R  =  ( o_ `  T
)
1110eqcomi 2300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( o_
`  T )  =  R
1211dmeqi 4896 . . . . . . . . . 10  |-  dom  (
o_ `  T )  =  dom  R
1312dmeqi 4896 . . . . . . . . 9  |-  dom  dom  ( o_ `  T )  =  dom  dom  R
14 dmrngcmp.2 . . . . . . . . . 10  |-  M  =  dom  ( dom_ `  T
)
1514eqcomi 2300 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( dom_ `  T )  =  M
169, 13, 153sstr3g 3231 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  dom  ( o_ `  T )  C_  dom  ( dom  ( dom_ `  T
)  X.  dom  ( dom_ `  T ) )  /\  dom  ( dom  ( dom_ `  T
)  X.  dom  ( dom_ `  T ) ) 
C_  dom  ( dom_ `  T ) )  ->  dom  dom  R  C_  M
)
177, 8, 16sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( o_ `  T
)  C_  ( dom  ( dom_ `  T )  X.  dom  ( dom_ `  T
) )  ->  dom  dom 
R  C_  M )
18173ad2ant2 977 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  ( o_ `  T )  /\  dom  ( o_ `  T ) 
C_  ( dom  ( dom_ `  T )  X. 
dom  ( dom_ `  T
) )  /\  ran  ( o_ `  T ) 
C_  dom  ( dom_ `  T ) )  ->  dom  dom  R  C_  M
)
1918sseld 3192 . . . . 5  |-  ( ( Fun  ( o_ `  T )  /\  dom  ( o_ `  T ) 
C_  ( dom  ( dom_ `  T )  X. 
dom  ( dom_ `  T
) )  /\  ran  ( o_ `  T ) 
C_  dom  ( dom_ `  T ) )  -> 
( x  e.  dom  dom 
R  ->  x  e.  M ) )
206, 19syl 15 . . . 4  |-  ( T  e.  Ded  ->  (
x  e.  dom  dom  R  ->  x  e.  M
) )
21 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( id_ `  T )  =  dom  ( id_ `  T
)
22 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( id_ `  T )  =  ( id_ `  T )
2314, 3, 21, 22doma 25831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  Alg  ->  ( dom_ `  T ) : M --> dom  ( id_ `  T ) )
241, 23syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  Ded  ->  ( dom_ `  T ) : M --> dom  ( id_ `  T ) )
25 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( dom_ `  T
) : M --> dom  ( id_ `  T )  /\  x  e.  M )  ->  ( ( dom_ `  T
) `  x )  e.  dom  ( id_ `  T
) )
2624, 25sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  x  e.  M )  ->  ( ( dom_ `  T
) `  x )  e.  dom  ( id_ `  T
) )
27 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( cod_ `  T )  =  (
cod_ `  T )
2821, 3, 22, 27idosd 25847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  ( ( dom_ `  T
) `  x )  e.  dom  ( id_ `  T
) )  ->  (
( ( dom_ `  T
) `  ( ( id_ `  T ) `  ( ( dom_ `  T
) `  x )
) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  x )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  ( ( id_ `  T ) `  ( ( dom_ `  T
) `  x )
) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  x )
) )
2926, 28syldan 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  x  e.  M )  ->  ( ( ( dom_ `  T ) `  (
( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  T ) `  x ) ) )  =  ( ( dom_ `  T ) `  x
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  ( ( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  T ) `  x ) ) )  =  ( ( dom_ `  T ) `  x
) ) )
3029simprd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  x  e.  M )  ->  ( ( cod_ `  T
) `  ( ( id_ `  T ) `  ( ( dom_ `  T
) `  x )
) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  x )
)
3130eqcomd 2301 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  x  e.  M )  ->  ( ( dom_ `  T
) `  x )  =  ( ( cod_ `  T ) `  (
( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  T ) `  x ) ) ) )
32 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  x  e.  M )  ->  T  e.  Ded )
3323, 25sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  Alg  /\  x  e.  M )  ->  ( ( dom_ `  T
) `  x )  e.  dom  ( id_ `  T
) )
342, 3, 21, 22idmoa 25834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  Alg  /\  ( ( dom_ `  T
) `  x )  e.  dom  ( id_ `  T
) )  ->  (
( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  T ) `  x ) )  e. 
dom  ( dom_ `  T
) )
3533, 34syldan 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  Alg  /\  x  e.  M )  ->  ( ( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  T ) `  x ) )  e. 
dom  ( dom_ `  T
) )
361, 35sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  x  e.  M )  ->  ( ( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  T ) `  x ) )  e. 
dom  ( dom_ `  T
) )
3714eleq2i 2360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  M  <->  x  e.  dom  ( dom_ `  T
) )
3837biimpi 186 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  M  ->  x  e.  dom  ( dom_ `  T
) )
3938adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  x  e.  M )  ->  x  e.  dom  ( dom_ `  T ) )
402, 3, 27, 10cmppfd 25848 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  ( ( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  T ) `  x ) )  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  x  e.  dom  ( dom_ `  T
) )  ->  ( <. x ,  ( ( id_ `  T ) `
 ( ( dom_ `  T ) `  x
) ) >.  e.  dom  R  <-> 
( ( dom_ `  T
) `  x )  =  ( ( cod_ `  T ) `  (
( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  T ) `  x ) ) ) ) )
4132, 36, 39, 40syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  x  e.  M )  ->  ( <. x ,  ( ( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  T ) `  x ) ) >.  e.  dom  R  <->  ( ( dom_ `  T ) `  x )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( ( id_ `  T ) `  ( ( dom_ `  T
) `  x )
) ) ) )
4231, 41mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  x  e.  M )  -> 
<. x ,  ( ( id_ `  T ) `
 ( ( dom_ `  T ) `  x
) ) >.  e.  dom  R )
43 fvex 5555 . . . . . . . 8  |-  ( ( id_ `  T ) `
 ( ( dom_ `  T ) `  x
) )  e.  _V
44 opeq2 3813 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( ( id_ `  T ) `  (
( dom_ `  T ) `  x ) )  ->  <. x ,  a >.  =  <. x ,  ( ( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  T ) `  x ) ) >.
)
4544eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( ( id_ `  T ) `  (
( dom_ `  T ) `  x ) )  -> 
( <. x ,  a
>.  e.  dom  R  <->  <. x ,  ( ( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  T ) `  x ) ) >.  e.  dom  R ) )
4643, 45spcev 2888 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  ( ( id_ `  T ) `
 ( ( dom_ `  T ) `  x
) ) >.  e.  dom  R  ->  E. a <. x ,  a >.  e.  dom  R )
4742, 46syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  x  e.  M )  ->  E. a <. x ,  a >.  e.  dom  R )
48 vex 2804 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
4948eldm2 4893 . . . . . 6  |-  ( x  e.  dom  dom  R  <->  E. a <. x ,  a
>.  e.  dom  R )
5047, 49sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  x  e.  M )  ->  x  e.  dom  dom  R )
5150ex 423 . . . 4  |-  ( T  e.  Ded  ->  (
x  e.  M  ->  x  e.  dom  dom  R
) )
5220, 51impbid 183 . . 3  |-  ( T  e.  Ded  ->  (
x  e.  dom  dom  R  <-> 
x  e.  M ) )
5352eqrdv 2294 . 2  |-  ( T  e.  Ded  ->  dom  dom 
R  =  M )
54 rnss 4923 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( o_ `  T
)  C_  ( dom  ( dom_ `  T )  X.  dom  ( dom_ `  T
) )  ->  ran  dom  ( o_ `  T
)  C_  ran  ( dom  ( dom_ `  T
)  X.  dom  ( dom_ `  T ) ) )
55 rnxpss 5124 . . . . . . . 8  |-  ran  ( dom  ( dom_ `  T
)  X.  dom  ( dom_ `  T ) ) 
C_  dom  ( dom_ `  T )
56 sstr 3200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ran  dom  ( o_ `  T )  C_  ran  ( dom  ( dom_ `  T
)  X.  dom  ( dom_ `  T ) )  /\  ran  ( dom  ( dom_ `  T
)  X.  dom  ( dom_ `  T ) ) 
C_  dom  ( dom_ `  T ) )  ->  ran  dom  ( o_ `  T )  C_  dom  ( dom_ `  T )
)
5712rneqi 4921 . . . . . . . . 9  |-  ran  dom  ( o_ `  T )  =  ran  dom  R
5856, 57, 153sstr3g 3231 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  dom  ( o_ `  T )  C_  ran  ( dom  ( dom_ `  T
)  X.  dom  ( dom_ `  T ) )  /\  ran  ( dom  ( dom_ `  T
)  X.  dom  ( dom_ `  T ) ) 
C_  dom  ( dom_ `  T ) )  ->  ran  dom  R  C_  M
)
5954, 55, 58sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( o_ `  T
)  C_  ( dom  ( dom_ `  T )  X.  dom  ( dom_ `  T
) )  ->  ran  dom 
R  C_  M )
60593ad2ant2 977 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  ( o_ `  T )  /\  dom  ( o_ `  T ) 
C_  ( dom  ( dom_ `  T )  X. 
dom  ( dom_ `  T
) )  /\  ran  ( o_ `  T ) 
C_  dom  ( dom_ `  T ) )  ->  ran  dom  R  C_  M
)
6160sseld 3192 . . . . 5  |-  ( ( Fun  ( o_ `  T )  /\  dom  ( o_ `  T ) 
C_  ( dom  ( dom_ `  T )  X. 
dom  ( dom_ `  T
) )  /\  ran  ( o_ `  T ) 
C_  dom  ( dom_ `  T ) )  -> 
( x  e.  ran  dom 
R  ->  x  e.  M ) )
626, 61syl 15 . . . 4  |-  ( T  e.  Ded  ->  (
x  e.  ran  dom  R  ->  x  e.  M
) )
6314, 3, 21, 22, 27coda 25832 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  Alg  ->  ( cod_ `  T ) : M --> dom  ( id_ `  T ) )
641, 63syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  Ded  ->  ( cod_ `  T ) : M --> dom  ( id_ `  T ) )
65 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( cod_ `  T
) : M --> dom  ( id_ `  T )  /\  x  e.  M )  ->  ( ( cod_ `  T
) `  x )  e.  dom  ( id_ `  T
) )
6664, 65sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  x  e.  M )  ->  ( ( cod_ `  T
) `  x )  e.  dom  ( id_ `  T
) )
6721, 3, 22, 27idosd 25847 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  ( ( cod_ `  T
) `  x )  e.  dom  ( id_ `  T
) )  ->  (
( ( dom_ `  T
) `  ( ( id_ `  T ) `  ( ( cod_ `  T
) `  x )
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  x )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  ( ( id_ `  T ) `  ( ( cod_ `  T
) `  x )
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  x )
) )
6867simpld 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  ( ( cod_ `  T
) `  x )  e.  dom  ( id_ `  T
) )  ->  (
( dom_ `  T ) `  ( ( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  x ) ) )  =  ( ( cod_ `  T ) `  x
) )
6966, 68syldan 456 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  x  e.  M )  ->  ( ( dom_ `  T
) `  ( ( id_ `  T ) `  ( ( cod_ `  T
) `  x )
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  x )
)
7063, 65sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  Alg  /\  x  e.  M )  ->  ( ( cod_ `  T
) `  x )  e.  dom  ( id_ `  T
) )
712, 3, 21, 22idmoa 25834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  Alg  /\  ( ( cod_ `  T
) `  x )  e.  dom  ( id_ `  T
) )  ->  (
( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  x ) )  e. 
dom  ( dom_ `  T
) )
7270, 71syldan 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  Alg  /\  x  e.  M )  ->  ( ( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  x ) )  e. 
dom  ( dom_ `  T
) )
731, 72sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  x  e.  M )  ->  ( ( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  x ) )  e. 
dom  ( dom_ `  T
) )
742, 3, 27, 10cmppfd 25848 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  x  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  x ) )  e. 
dom  ( dom_ `  T
) )  ->  ( <. ( ( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  x ) ) ,  x >.  e.  dom  R  <-> 
( ( dom_ `  T
) `  ( ( id_ `  T ) `  ( ( cod_ `  T
) `  x )
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  x )
) )
7532, 39, 73, 74syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  x  e.  M )  ->  ( <. ( ( id_ `  T ) `  (
( cod_ `  T ) `  x ) ) ,  x >.  e.  dom  R  <-> 
( ( dom_ `  T
) `  ( ( id_ `  T ) `  ( ( cod_ `  T
) `  x )
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  x )
) )
7669, 75mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  x  e.  M )  -> 
<. ( ( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  x ) ) ,  x >.  e.  dom  R )
77 fvex 5555 . . . . . . . 8  |-  ( ( id_ `  T ) `
 ( ( cod_ `  T ) `  x
) )  e.  _V
78 opeq1 3812 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( ( id_ `  T ) `  (
( cod_ `  T ) `  x ) )  ->  <. a ,  x >.  = 
<. ( ( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  x ) ) ,  x >. )
7978eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( ( id_ `  T ) `  (
( cod_ `  T ) `  x ) )  -> 
( <. a ,  x >.  e.  dom  R  <->  <. ( ( id_ `  T ) `
 ( ( cod_ `  T ) `  x
) ) ,  x >.  e.  dom  R ) )
8077, 79spcev 2888 . . . . . . 7  |-  ( <.
( ( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  x ) ) ,  x >.  e.  dom  R  ->  E. a <. a ,  x >.  e.  dom  R )
8176, 80syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  x  e.  M )  ->  E. a <. a ,  x >.  e.  dom  R )
8248elrn2 4934 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ran  dom  R  <->  E. a <. a ,  x >.  e.  dom  R )
8381, 82sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  x  e.  M )  ->  x  e.  ran  dom  R )
8483ex 423 . . . 4  |-  ( T  e.  Ded  ->  (
x  e.  M  ->  x  e.  ran  dom  R
) )
8562, 84impbid 183 . . 3  |-  ( T  e.  Ded  ->  (
x  e.  ran  dom  R  <-> 
x  e.  M ) )
8685eqrdv 2294 . 2  |-  ( T  e.  Ded  ->  ran  dom 
R  =  M )
8753, 86jca 518 1  |-  ( T  e.  Ded  ->  ( dom  dom  R  =  M  /\  ran  dom  R  =  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165   <.cop 3656    X. cxp 4703   dom cdm 4705   ran crn 4706   Fun wfun 5265   -->wf 5267   ` cfv 5271    Alg calg 25814   dom_cdom_ 25815   cod_ccod_ 25816   id_cid_ 25817   o_co_ 25818   Dedcded 25837
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fo 5277  df-fv 5279  df-ov 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-alg 25819  df-dom_ 25820  df-cod_ 25821  df-id_ 25822  df-cmpa 25823  df-ded 25838
  Copyright terms: Public domain W3C validator