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Theorem dmrngcmp 25751
Description: Domain and range of the domain of the composition. (Contributed by FL, 5-Oct-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
dmrngcmp.1  |-  R  =  ( o_ `  T
)
dmrngcmp.2  |-  M  =  dom  ( dom_ `  T
)
Assertion
Ref Expression
dmrngcmp  |-  ( T  e.  Ded  ->  ( dom  dom  R  =  M  /\  ran  dom  R  =  M ) )

Proof of Theorem dmrngcmp
Dummy variables  x  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dedalg 25743 . . . . . 6  |-  ( T  e.  Ded  ->  T  e.  Alg  )
2 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  dom  ( dom_ `  T )  =  dom  ( dom_ `  T
)
3 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( dom_ `  T )  =  (
dom_ `  T )
4 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( o_
`  T )  =  ( o_ `  T
)
52, 3, 4cmppfa 25732 . . . . . 6  |-  ( T  e.  Alg  ->  ( Fun  ( o_ `  T
)  /\  dom  ( o_
`  T )  C_  ( dom  ( dom_ `  T
)  X.  dom  ( dom_ `  T ) )  /\  ran  ( o_
`  T )  C_  dom  ( dom_ `  T
) ) )
61, 5syl 15 . . . . 5  |-  ( T  e.  Ded  ->  ( Fun  ( o_ `  T
)  /\  dom  ( o_
`  T )  C_  ( dom  ( dom_ `  T
)  X.  dom  ( dom_ `  T ) )  /\  ran  ( o_
`  T )  C_  dom  ( dom_ `  T
) ) )
7 dmss 4878 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( o_ `  T
)  C_  ( dom  ( dom_ `  T )  X.  dom  ( dom_ `  T
) )  ->  dom  dom  ( o_ `  T
)  C_  dom  ( dom  ( dom_ `  T
)  X.  dom  ( dom_ `  T ) ) )
8 dmxpss 5107 . . . . . . . 8  |-  dom  ( dom  ( dom_ `  T
)  X.  dom  ( dom_ `  T ) ) 
C_  dom  ( dom_ `  T )
9 sstr 3187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( dom  dom  ( o_ `  T )  C_  dom  ( dom  ( dom_ `  T
)  X.  dom  ( dom_ `  T ) )  /\  dom  ( dom  ( dom_ `  T
)  X.  dom  ( dom_ `  T ) ) 
C_  dom  ( dom_ `  T ) )  ->  dom  dom  ( o_ `  T )  C_  dom  ( dom_ `  T )
)
10 dmrngcmp.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  R  =  ( o_ `  T
)
1110eqcomi 2287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( o_
`  T )  =  R
1211dmeqi 4880 . . . . . . . . . 10  |-  dom  (
o_ `  T )  =  dom  R
1312dmeqi 4880 . . . . . . . . 9  |-  dom  dom  ( o_ `  T )  =  dom  dom  R
14 dmrngcmp.2 . . . . . . . . . 10  |-  M  =  dom  ( dom_ `  T
)
1514eqcomi 2287 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( dom_ `  T )  =  M
169, 13, 153sstr3g 3218 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  dom  ( o_ `  T )  C_  dom  ( dom  ( dom_ `  T
)  X.  dom  ( dom_ `  T ) )  /\  dom  ( dom  ( dom_ `  T
)  X.  dom  ( dom_ `  T ) ) 
C_  dom  ( dom_ `  T ) )  ->  dom  dom  R  C_  M
)
177, 8, 16sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( o_ `  T
)  C_  ( dom  ( dom_ `  T )  X.  dom  ( dom_ `  T
) )  ->  dom  dom 
R  C_  M )
18173ad2ant2 977 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  ( o_ `  T )  /\  dom  ( o_ `  T ) 
C_  ( dom  ( dom_ `  T )  X. 
dom  ( dom_ `  T
) )  /\  ran  ( o_ `  T ) 
C_  dom  ( dom_ `  T ) )  ->  dom  dom  R  C_  M
)
1918sseld 3179 . . . . 5  |-  ( ( Fun  ( o_ `  T )  /\  dom  ( o_ `  T ) 
C_  ( dom  ( dom_ `  T )  X. 
dom  ( dom_ `  T
) )  /\  ran  ( o_ `  T ) 
C_  dom  ( dom_ `  T ) )  -> 
( x  e.  dom  dom 
R  ->  x  e.  M ) )
206, 19syl 15 . . . 4  |-  ( T  e.  Ded  ->  (
x  e.  dom  dom  R  ->  x  e.  M
) )
21 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( id_ `  T )  =  dom  ( id_ `  T
)
22 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( id_ `  T )  =  ( id_ `  T )
2314, 3, 21, 22doma 25728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  Alg  ->  ( dom_ `  T ) : M --> dom  ( id_ `  T ) )
241, 23syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  Ded  ->  ( dom_ `  T ) : M --> dom  ( id_ `  T ) )
25 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( dom_ `  T
) : M --> dom  ( id_ `  T )  /\  x  e.  M )  ->  ( ( dom_ `  T
) `  x )  e.  dom  ( id_ `  T
) )
2624, 25sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  x  e.  M )  ->  ( ( dom_ `  T
) `  x )  e.  dom  ( id_ `  T
) )
27 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( cod_ `  T )  =  (
cod_ `  T )
2821, 3, 22, 27idosd 25744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  ( ( dom_ `  T
) `  x )  e.  dom  ( id_ `  T
) )  ->  (
( ( dom_ `  T
) `  ( ( id_ `  T ) `  ( ( dom_ `  T
) `  x )
) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  x )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  ( ( id_ `  T ) `  ( ( dom_ `  T
) `  x )
) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  x )
) )
2926, 28syldan 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  x  e.  M )  ->  ( ( ( dom_ `  T ) `  (
( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  T ) `  x ) ) )  =  ( ( dom_ `  T ) `  x
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  ( ( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  T ) `  x ) ) )  =  ( ( dom_ `  T ) `  x
) ) )
3029simprd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  x  e.  M )  ->  ( ( cod_ `  T
) `  ( ( id_ `  T ) `  ( ( dom_ `  T
) `  x )
) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  x )
)
3130eqcomd 2288 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  x  e.  M )  ->  ( ( dom_ `  T
) `  x )  =  ( ( cod_ `  T ) `  (
( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  T ) `  x ) ) ) )
32 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  x  e.  M )  ->  T  e.  Ded )
3323, 25sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  Alg  /\  x  e.  M )  ->  ( ( dom_ `  T
) `  x )  e.  dom  ( id_ `  T
) )
342, 3, 21, 22idmoa 25731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  Alg  /\  ( ( dom_ `  T
) `  x )  e.  dom  ( id_ `  T
) )  ->  (
( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  T ) `  x ) )  e. 
dom  ( dom_ `  T
) )
3533, 34syldan 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  Alg  /\  x  e.  M )  ->  ( ( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  T ) `  x ) )  e. 
dom  ( dom_ `  T
) )
361, 35sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  x  e.  M )  ->  ( ( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  T ) `  x ) )  e. 
dom  ( dom_ `  T
) )
3714eleq2i 2347 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  M  <->  x  e.  dom  ( dom_ `  T
) )
3837biimpi 186 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  M  ->  x  e.  dom  ( dom_ `  T
) )
3938adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  x  e.  M )  ->  x  e.  dom  ( dom_ `  T ) )
402, 3, 27, 10cmppfd 25745 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  ( ( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  T ) `  x ) )  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  x  e.  dom  ( dom_ `  T
) )  ->  ( <. x ,  ( ( id_ `  T ) `
 ( ( dom_ `  T ) `  x
) ) >.  e.  dom  R  <-> 
( ( dom_ `  T
) `  x )  =  ( ( cod_ `  T ) `  (
( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  T ) `  x ) ) ) ) )
4132, 36, 39, 40syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  x  e.  M )  ->  ( <. x ,  ( ( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  T ) `  x ) ) >.  e.  dom  R  <->  ( ( dom_ `  T ) `  x )  =  ( ( cod_ `  T
) `  ( ( id_ `  T ) `  ( ( dom_ `  T
) `  x )
) ) ) )
4231, 41mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  x  e.  M )  -> 
<. x ,  ( ( id_ `  T ) `
 ( ( dom_ `  T ) `  x
) ) >.  e.  dom  R )
43 fvex 5539 . . . . . . . 8  |-  ( ( id_ `  T ) `
 ( ( dom_ `  T ) `  x
) )  e.  _V
44 opeq2 3797 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( ( id_ `  T ) `  (
( dom_ `  T ) `  x ) )  ->  <. x ,  a >.  =  <. x ,  ( ( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  T ) `  x ) ) >.
)
4544eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( ( id_ `  T ) `  (
( dom_ `  T ) `  x ) )  -> 
( <. x ,  a
>.  e.  dom  R  <->  <. x ,  ( ( id_ `  T
) `  ( ( dom_ `  T ) `  x ) ) >.  e.  dom  R ) )
4643, 45spcev 2875 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  ( ( id_ `  T ) `
 ( ( dom_ `  T ) `  x
) ) >.  e.  dom  R  ->  E. a <. x ,  a >.  e.  dom  R )
4742, 46syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  x  e.  M )  ->  E. a <. x ,  a >.  e.  dom  R )
48 vex 2791 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
4948eldm2 4877 . . . . . 6  |-  ( x  e.  dom  dom  R  <->  E. a <. x ,  a
>.  e.  dom  R )
5047, 49sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  x  e.  M )  ->  x  e.  dom  dom  R )
5150ex 423 . . . 4  |-  ( T  e.  Ded  ->  (
x  e.  M  ->  x  e.  dom  dom  R
) )
5220, 51impbid 183 . . 3  |-  ( T  e.  Ded  ->  (
x  e.  dom  dom  R  <-> 
x  e.  M ) )
5352eqrdv 2281 . 2  |-  ( T  e.  Ded  ->  dom  dom 
R  =  M )
54 rnss 4907 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( o_ `  T
)  C_  ( dom  ( dom_ `  T )  X.  dom  ( dom_ `  T
) )  ->  ran  dom  ( o_ `  T
)  C_  ran  ( dom  ( dom_ `  T
)  X.  dom  ( dom_ `  T ) ) )
55 rnxpss 5108 . . . . . . . 8  |-  ran  ( dom  ( dom_ `  T
)  X.  dom  ( dom_ `  T ) ) 
C_  dom  ( dom_ `  T )
56 sstr 3187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ran  dom  ( o_ `  T )  C_  ran  ( dom  ( dom_ `  T
)  X.  dom  ( dom_ `  T ) )  /\  ran  ( dom  ( dom_ `  T
)  X.  dom  ( dom_ `  T ) ) 
C_  dom  ( dom_ `  T ) )  ->  ran  dom  ( o_ `  T )  C_  dom  ( dom_ `  T )
)
5712rneqi 4905 . . . . . . . . 9  |-  ran  dom  ( o_ `  T )  =  ran  dom  R
5856, 57, 153sstr3g 3218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  dom  ( o_ `  T )  C_  ran  ( dom  ( dom_ `  T
)  X.  dom  ( dom_ `  T ) )  /\  ran  ( dom  ( dom_ `  T
)  X.  dom  ( dom_ `  T ) ) 
C_  dom  ( dom_ `  T ) )  ->  ran  dom  R  C_  M
)
5954, 55, 58sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( o_ `  T
)  C_  ( dom  ( dom_ `  T )  X.  dom  ( dom_ `  T
) )  ->  ran  dom 
R  C_  M )
60593ad2ant2 977 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  ( o_ `  T )  /\  dom  ( o_ `  T ) 
C_  ( dom  ( dom_ `  T )  X. 
dom  ( dom_ `  T
) )  /\  ran  ( o_ `  T ) 
C_  dom  ( dom_ `  T ) )  ->  ran  dom  R  C_  M
)
6160sseld 3179 . . . . 5  |-  ( ( Fun  ( o_ `  T )  /\  dom  ( o_ `  T ) 
C_  ( dom  ( dom_ `  T )  X. 
dom  ( dom_ `  T
) )  /\  ran  ( o_ `  T ) 
C_  dom  ( dom_ `  T ) )  -> 
( x  e.  ran  dom 
R  ->  x  e.  M ) )
626, 61syl 15 . . . 4  |-  ( T  e.  Ded  ->  (
x  e.  ran  dom  R  ->  x  e.  M
) )
6314, 3, 21, 22, 27coda 25729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  Alg  ->  ( cod_ `  T ) : M --> dom  ( id_ `  T ) )
641, 63syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  Ded  ->  ( cod_ `  T ) : M --> dom  ( id_ `  T ) )
65 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( cod_ `  T
) : M --> dom  ( id_ `  T )  /\  x  e.  M )  ->  ( ( cod_ `  T
) `  x )  e.  dom  ( id_ `  T
) )
6664, 65sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  x  e.  M )  ->  ( ( cod_ `  T
) `  x )  e.  dom  ( id_ `  T
) )
6721, 3, 22, 27idosd 25744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  ( ( cod_ `  T
) `  x )  e.  dom  ( id_ `  T
) )  ->  (
( ( dom_ `  T
) `  ( ( id_ `  T ) `  ( ( cod_ `  T
) `  x )
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  x )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  ( ( id_ `  T ) `  ( ( cod_ `  T
) `  x )
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  x )
) )
6867simpld 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  ( ( cod_ `  T
) `  x )  e.  dom  ( id_ `  T
) )  ->  (
( dom_ `  T ) `  ( ( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  x ) ) )  =  ( ( cod_ `  T ) `  x
) )
6966, 68syldan 456 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  x  e.  M )  ->  ( ( dom_ `  T
) `  ( ( id_ `  T ) `  ( ( cod_ `  T
) `  x )
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  x )
)
7063, 65sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  Alg  /\  x  e.  M )  ->  ( ( cod_ `  T
) `  x )  e.  dom  ( id_ `  T
) )
712, 3, 21, 22idmoa 25731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  Alg  /\  ( ( cod_ `  T
) `  x )  e.  dom  ( id_ `  T
) )  ->  (
( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  x ) )  e. 
dom  ( dom_ `  T
) )
7270, 71syldan 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  Alg  /\  x  e.  M )  ->  ( ( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  x ) )  e. 
dom  ( dom_ `  T
) )
731, 72sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  x  e.  M )  ->  ( ( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  x ) )  e. 
dom  ( dom_ `  T
) )
742, 3, 27, 10cmppfd 25745 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  x  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  x ) )  e. 
dom  ( dom_ `  T
) )  ->  ( <. ( ( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  x ) ) ,  x >.  e.  dom  R  <-> 
( ( dom_ `  T
) `  ( ( id_ `  T ) `  ( ( cod_ `  T
) `  x )
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  x )
) )
7532, 39, 73, 74syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  x  e.  M )  ->  ( <. ( ( id_ `  T ) `  (
( cod_ `  T ) `  x ) ) ,  x >.  e.  dom  R  <-> 
( ( dom_ `  T
) `  ( ( id_ `  T ) `  ( ( cod_ `  T
) `  x )
) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  x )
) )
7669, 75mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  x  e.  M )  -> 
<. ( ( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  x ) ) ,  x >.  e.  dom  R )
77 fvex 5539 . . . . . . . 8  |-  ( ( id_ `  T ) `
 ( ( cod_ `  T ) `  x
) )  e.  _V
78 opeq1 3796 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( ( id_ `  T ) `  (
( cod_ `  T ) `  x ) )  ->  <. a ,  x >.  = 
<. ( ( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  x ) ) ,  x >. )
7978eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( ( id_ `  T ) `  (
( cod_ `  T ) `  x ) )  -> 
( <. a ,  x >.  e.  dom  R  <->  <. ( ( id_ `  T ) `
 ( ( cod_ `  T ) `  x
) ) ,  x >.  e.  dom  R ) )
8077, 79spcev 2875 . . . . . . 7  |-  ( <.
( ( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  x ) ) ,  x >.  e.  dom  R  ->  E. a <. a ,  x >.  e.  dom  R )
8176, 80syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  x  e.  M )  ->  E. a <. a ,  x >.  e.  dom  R )
8248elrn2 4918 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ran  dom  R  <->  E. a <. a ,  x >.  e.  dom  R )
8381, 82sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  x  e.  M )  ->  x  e.  ran  dom  R )
8483ex 423 . . . 4  |-  ( T  e.  Ded  ->  (
x  e.  M  ->  x  e.  ran  dom  R
) )
8562, 84impbid 183 . . 3  |-  ( T  e.  Ded  ->  (
x  e.  ran  dom  R  <-> 
x  e.  M ) )
8685eqrdv 2281 . 2  |-  ( T  e.  Ded  ->  ran  dom 
R  =  M )
8753, 86jca 518 1  |-  ( T  e.  Ded  ->  ( dom  dom  R  =  M  /\  ran  dom  R  =  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   <.cop 3643    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ran crn 4690   Fun wfun 5249   -->wf 5251   ` cfv 5255    Alg calg 25711   dom_cdom_ 25712   cod_ccod_ 25713   id_cid_ 25714   o_co_ 25715   Dedcded 25734
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fo 5261  df-fv 5263  df-ov 5861  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-alg 25716  df-dom_ 25717  df-cod_ 25718  df-id_ 25719  df-cmpa 25720  df-ded 25735
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