MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmrnssfld Unicode version

Theorem dmrnssfld 4938
Description: The domain and range of a class are included in its double union. (Contributed by NM, 13-May-2008.)
Assertion
Ref Expression
dmrnssfld  |-  ( dom 
A  u.  ran  A
)  C_  U. U. A

Proof of Theorem dmrnssfld
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2791 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
21eldm2 4877 . . . 4  |-  ( x  e.  dom  A  <->  E. y <. x ,  y >.  e.  A )
31prid1 3734 . . . . . 6  |-  x  e. 
{ x ,  y }
4 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
51, 4uniop 4269 . . . . . . . . 9  |-  U. <. x ,  y >.  =  {
x ,  y }
61, 4uniopel 4270 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  U. <. x ,  y >.  e.  U. A )
75, 6syl5eqelr 2368 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  { x ,  y }  e.  U. A )
8 elssuni 3855 . . . . . . . 8  |-  ( { x ,  y }  e.  U. A  ->  { x ,  y }  C_  U. U. A
)
97, 8syl 15 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  { x ,  y }  C_  U.
U. A )
109sseld 3179 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  ( x  e.  { x ,  y }  ->  x  e.  U. U. A ) )
113, 10mpi 16 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  x  e. 
U. U. A )
1211exlimiv 1666 . . . 4  |-  ( E. y <. x ,  y
>.  e.  A  ->  x  e.  U. U. A )
132, 12sylbi 187 . . 3  |-  ( x  e.  dom  A  ->  x  e.  U. U. A
)
1413ssriv 3184 . 2  |-  dom  A  C_ 
U. U. A
154elrn2 4918 . . . 4  |-  ( y  e.  ran  A  <->  E. x <. x ,  y >.  e.  A )
164prid2 3735 . . . . . 6  |-  y  e. 
{ x ,  y }
179sseld 3179 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  ( y  e.  { x ,  y }  ->  y  e.  U. U. A ) )
1816, 17mpi 16 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  y  e. 
U. U. A )
1918exlimiv 1666 . . . 4  |-  ( E. x <. x ,  y
>.  e.  A  ->  y  e.  U. U. A )
2015, 19sylbi 187 . . 3  |-  ( y  e.  ran  A  -> 
y  e.  U. U. A )
2120ssriv 3184 . 2  |-  ran  A  C_ 
U. U. A
2214, 21unssi 3350 1  |-  ( dom 
A  u.  ran  A
)  C_  U. U. A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   E.wex 1528    e. wcel 1684    u. cun 3150    C_ wss 3152   {cpr 3641   <.cop 3643   U.cuni 3827   dom cdm 4689   ran crn 4690
This theorem is referenced by:  dmexg  4939  rnexg  4940  relfld  5198  relcoi2  5200  wundm  8350  wunrn  8351  psdmrn  14316  dirdm  14356  dirge  14359  ducidu  25055  tailf  26324  filnetlem3  26329
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-cnv 4697  df-dm 4699  df-rn 4700
  Copyright terms: Public domain W3C validator