MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmrnssfld Structured version   Unicode version

Theorem dmrnssfld 5121
Description: The domain and range of a class are included in its double union. (Contributed by NM, 13-May-2008.)
Assertion
Ref Expression
dmrnssfld  |-  ( dom 
A  u.  ran  A
)  C_  U. U. A

Proof of Theorem dmrnssfld
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2951 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
21eldm2 5060 . . . 4  |-  ( x  e.  dom  A  <->  E. y <. x ,  y >.  e.  A )
31prid1 3904 . . . . . 6  |-  x  e. 
{ x ,  y }
4 vex 2951 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
51, 4uniop 4451 . . . . . . . . 9  |-  U. <. x ,  y >.  =  {
x ,  y }
61, 4uniopel 4452 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  U. <. x ,  y >.  e.  U. A )
75, 6syl5eqelr 2520 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  { x ,  y }  e.  U. A )
8 elssuni 4035 . . . . . . . 8  |-  ( { x ,  y }  e.  U. A  ->  { x ,  y }  C_  U. U. A
)
97, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  { x ,  y }  C_  U.
U. A )
109sseld 3339 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  ( x  e.  { x ,  y }  ->  x  e.  U. U. A ) )
113, 10mpi 17 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  x  e. 
U. U. A )
1211exlimiv 1644 . . . 4  |-  ( E. y <. x ,  y
>.  e.  A  ->  x  e.  U. U. A )
132, 12sylbi 188 . . 3  |-  ( x  e.  dom  A  ->  x  e.  U. U. A
)
1413ssriv 3344 . 2  |-  dom  A  C_ 
U. U. A
154elrn2 5101 . . . 4  |-  ( y  e.  ran  A  <->  E. x <. x ,  y >.  e.  A )
164prid2 3905 . . . . . 6  |-  y  e. 
{ x ,  y }
179sseld 3339 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  ( y  e.  { x ,  y }  ->  y  e.  U. U. A ) )
1816, 17mpi 17 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  y  e. 
U. U. A )
1918exlimiv 1644 . . . 4  |-  ( E. x <. x ,  y
>.  e.  A  ->  y  e.  U. U. A )
2015, 19sylbi 188 . . 3  |-  ( y  e.  ran  A  -> 
y  e.  U. U. A )
2120ssriv 3344 . 2  |-  ran  A  C_ 
U. U. A
2214, 21unssi 3514 1  |-  ( dom 
A  u.  ran  A
)  C_  U. U. A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   E.wex 1550    e. wcel 1725    u. cun 3310    C_ wss 3312   {cpr 3807   <.cop 3809   U.cuni 4007   dom cdm 4870   ran crn 4871
This theorem is referenced by:  dmexg  5122  rnexg  5123  relfld  5387  relcoi2  5389  wundm  8595  wunrn  8596  psdmrn  14631  dirdm  14671  dirge  14674  tailf  26395  filnetlem3  26400
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-cnv 4878  df-dm 4880  df-rn 4881
  Copyright terms: Public domain W3C validator