MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmrnssfld Unicode version

Theorem dmrnssfld 5071
Description: The domain and range of a class are included in its double union. (Contributed by NM, 13-May-2008.)
Assertion
Ref Expression
dmrnssfld  |-  ( dom 
A  u.  ran  A
)  C_  U. U. A

Proof of Theorem dmrnssfld
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2904 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
21eldm2 5010 . . . 4  |-  ( x  e.  dom  A  <->  E. y <. x ,  y >.  e.  A )
31prid1 3857 . . . . . 6  |-  x  e. 
{ x ,  y }
4 vex 2904 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
51, 4uniop 4402 . . . . . . . . 9  |-  U. <. x ,  y >.  =  {
x ,  y }
61, 4uniopel 4403 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  U. <. x ,  y >.  e.  U. A )
75, 6syl5eqelr 2474 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  { x ,  y }  e.  U. A )
8 elssuni 3987 . . . . . . . 8  |-  ( { x ,  y }  e.  U. A  ->  { x ,  y }  C_  U. U. A
)
97, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  { x ,  y }  C_  U.
U. A )
109sseld 3292 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  ( x  e.  { x ,  y }  ->  x  e.  U. U. A ) )
113, 10mpi 17 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  x  e. 
U. U. A )
1211exlimiv 1641 . . . 4  |-  ( E. y <. x ,  y
>.  e.  A  ->  x  e.  U. U. A )
132, 12sylbi 188 . . 3  |-  ( x  e.  dom  A  ->  x  e.  U. U. A
)
1413ssriv 3297 . 2  |-  dom  A  C_ 
U. U. A
154elrn2 5051 . . . 4  |-  ( y  e.  ran  A  <->  E. x <. x ,  y >.  e.  A )
164prid2 3858 . . . . . 6  |-  y  e. 
{ x ,  y }
179sseld 3292 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  ( y  e.  { x ,  y }  ->  y  e.  U. U. A ) )
1816, 17mpi 17 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  y  e. 
U. U. A )
1918exlimiv 1641 . . . 4  |-  ( E. x <. x ,  y
>.  e.  A  ->  y  e.  U. U. A )
2015, 19sylbi 188 . . 3  |-  ( y  e.  ran  A  -> 
y  e.  U. U. A )
2120ssriv 3297 . 2  |-  ran  A  C_ 
U. U. A
2214, 21unssi 3467 1  |-  ( dom 
A  u.  ran  A
)  C_  U. U. A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   E.wex 1547    e. wcel 1717    u. cun 3263    C_ wss 3265   {cpr 3760   <.cop 3762   U.cuni 3959   dom cdm 4820   ran crn 4821
This theorem is referenced by:  dmexg  5072  rnexg  5073  relfld  5337  relcoi2  5339  wundm  8538  wunrn  8539  psdmrn  14568  dirdm  14608  dirge  14611  tailf  26097  filnetlem3  26102
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pr 4346
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-opab 4210  df-cnv 4828  df-dm 4830  df-rn 4831
  Copyright terms: Public domain W3C validator