MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmsnopss Unicode version

Theorem dmsnopss 5145
Description: The domain of a singleton of an ordered pair is a subset of the singleton of the first member (with no sethood assumptions on  B). (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
dmsnopss  |-  dom  { <. A ,  B >. } 
C_  { A }

Proof of Theorem dmsnopss
StepHypRef Expression
1 dmsnopg 5144 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  dom  {
<. A ,  B >. }  =  { A }
)
2 eqimss 3230 . . 3  |-  ( dom 
{ <. A ,  B >. }  =  { A }  ->  dom  { <. A ,  B >. }  C_  { A } )
31, 2syl 15 . 2  |-  ( B  e.  _V  ->  dom  {
<. A ,  B >. } 
C_  { A }
)
4 opprc2 3819 . . . . . 6  |-  ( -.  B  e.  _V  ->  <. A ,  B >.  =  (/) )
54sneqd 3653 . . . . 5  |-  ( -.  B  e.  _V  ->  {
<. A ,  B >. }  =  { (/) } )
65dmeqd 4881 . . . 4  |-  ( -.  B  e.  _V  ->  dom 
{ <. A ,  B >. }  =  dom  { (/)
} )
7 dmsn0 5140 . . . 4  |-  dom  { (/)
}  =  (/)
86, 7syl6eq 2331 . . 3  |-  ( -.  B  e.  _V  ->  dom 
{ <. A ,  B >. }  =  (/) )
9 0ss 3483 . . . 4  |-  (/)  C_  { A }
109a1i 10 . . 3  |-  ( -.  B  e.  _V  ->  (/)  C_ 
{ A } )
118, 10eqsstrd 3212 . 2  |-  ( -.  B  e.  _V  ->  dom 
{ <. A ,  B >. }  C_  { A } )
123, 11pm2.61i 156 1  |-  dom  { <. A ,  B >. } 
C_  { A }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   <.cop 3643   dom cdm 4689
This theorem is referenced by:  setsres  13174  setscom  13176  setsid  13187  strlemor1  13235  strle1  13239  ex-res  20828  fvsnn  25114  funsnfsup  26762  mapfzcons1  26794
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-xp 4695  df-dm 4699
  Copyright terms: Public domain W3C validator