Theorem dmsnsn0 3325

Description: The domain of the singleton of the singleton of the empty set is empty.

Assertion

Ref	Expression
dmsnsn0	|- dom {{(/)}} = (/)

Proof of Theorem dmsnsn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1813	. . . . . . . . 9 |- y e. V
2	1	olci 271	. . . . . . . 8 |- (x e. V \/ y e. V)
3		oran 312	. . . . . . . 8 |- ((x e. V \/ y e. V) <-> -. (-. x e. V /\ -. y e. V))
4	2, 3	mpbi 189	. . . . . . 7 |- -. (-. x e. V /\ -. y e. V)
5		opprc3 2797	. . . . . . 7 |- ((-. x e. V /\ -. y e. V) <-> <.x, y>. = {(/)})
6	4, 5	mtbi 191	. . . . . 6 |- -. <.x, y>. = {(/)}
7		opex 2782	. . . . . . 7 |- <.x, y>. e. V
8	7	elsnc 2431	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. {{(/)}} <-> <.x, y>. = {(/)})
9	6, 8	mtbir 192	. . . . 5 |- -. <.x, y>. e. {{(/)}}
10	9	nex 1101	. . . 4 |- -. E.y<.x, y>. e. {{(/)}}
11		eqid 1475	. . . . 5 |- x = x
12	11	negbi 87	. . . 4 |- -. -. x = x
13	10, 12	2false 719	. . 3 |- (E.y<.x, y>. e. {{(/)}} <-> -. x = x)
14	13	abbii 1575	. 2 |- {x | E.y<.x, y>. e. {{(/)}}} = {x | -. x = x}
15		dfdm3 3302	. 2 |- dom {{(/)}} = {x | E.y<.x, y>. e. {{(/)}}}
16		dfnul2 2282	. 2 |- (/) = {x | -. x = x}
17	14, 15, 16	3eqtr4 1505	1 |- dom {{(/)}} = (/)

Syntax hints:  -. wn 2   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463  Vcvv 1811  (/)c0 2280  {csn 2409  <.cop 2411  dom cdm 3170

This theorem is referenced by:  dmsnop 3328

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-dm 3188

Copyright terms: Public domain