MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmtpop Unicode version

Theorem dmtpop 5149
Description: The domain of an unordered triple of ordered pairs. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
dmsnop.1  |-  B  e. 
_V
dmprop.1  |-  D  e. 
_V
dmtpop.1  |-  F  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
dmtpop  |-  dom  { <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. , 
<. E ,  F >. }  =  { A ,  C ,  E }

Proof of Theorem dmtpop
StepHypRef Expression
1 df-tp 3648 . . . 4  |-  { <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. ,  <. E ,  F >. }  =  ( { <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. }  u.  { <. E ,  F >. } )
21dmeqi 4880 . . 3  |-  dom  { <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. , 
<. E ,  F >. }  =  dom  ( {
<. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. }  u.  { <. E ,  F >. } )
3 dmun 4885 . . 3  |-  dom  ( { <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. }  u.  { <. E ,  F >. } )  =  ( dom  { <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. }  u.  dom  { <. E ,  F >. } )
4 dmsnop.1 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
5 dmprop.1 . . . . 5  |-  D  e. 
_V
64, 5dmprop 5148 . . . 4  |-  dom  { <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. }  =  { A ,  C }
7 dmtpop.1 . . . . 5  |-  F  e. 
_V
87dmsnop 5147 . . . 4  |-  dom  { <. E ,  F >. }  =  { E }
96, 8uneq12i 3327 . . 3  |-  ( dom 
{ <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. }  u.  dom  { <. E ,  F >. } )  =  ( { A ,  C }  u.  { E } )
102, 3, 93eqtri 2307 . 2  |-  dom  { <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. , 
<. E ,  F >. }  =  ( { A ,  C }  u.  { E } )
11 df-tp 3648 . 2  |-  { A ,  C ,  E }  =  ( { A ,  C }  u.  { E } )
1210, 11eqtr4i 2306 1  |-  dom  { <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. , 
<. E ,  F >. }  =  { A ,  C ,  E }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    u. cun 3150   {csn 3640   {cpr 3641   {ctp 3642   <.cop 3643   dom cdm 4689
This theorem is referenced by:  fntp  5306
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-br 4024  df-dm 4699
  Copyright terms: Public domain W3C validator