MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmtpop Unicode version

Theorem dmtpop 5313
Description: The domain of an unordered triple of ordered pairs. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
dmsnop.1  |-  B  e. 
_V
dmprop.1  |-  D  e. 
_V
dmtpop.1  |-  F  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
dmtpop  |-  dom  { <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. , 
<. E ,  F >. }  =  { A ,  C ,  E }

Proof of Theorem dmtpop
StepHypRef Expression
1 df-tp 3790 . . . 4  |-  { <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. ,  <. E ,  F >. }  =  ( { <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. }  u.  { <. E ,  F >. } )
21dmeqi 5038 . . 3  |-  dom  { <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. , 
<. E ,  F >. }  =  dom  ( {
<. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. }  u.  { <. E ,  F >. } )
3 dmun 5043 . . 3  |-  dom  ( { <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. }  u.  { <. E ,  F >. } )  =  ( dom  { <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. }  u.  dom  { <. E ,  F >. } )
4 dmsnop.1 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
5 dmprop.1 . . . . 5  |-  D  e. 
_V
64, 5dmprop 5312 . . . 4  |-  dom  { <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. }  =  { A ,  C }
7 dmtpop.1 . . . . 5  |-  F  e. 
_V
87dmsnop 5311 . . . 4  |-  dom  { <. E ,  F >. }  =  { E }
96, 8uneq12i 3467 . . 3  |-  ( dom 
{ <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. }  u.  dom  { <. E ,  F >. } )  =  ( { A ,  C }  u.  { E } )
102, 3, 93eqtri 2436 . 2  |-  dom  { <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. , 
<. E ,  F >. }  =  ( { A ,  C }  u.  { E } )
11 df-tp 3790 . 2  |-  { A ,  C ,  E }  =  ( { A ,  C }  u.  { E } )
1210, 11eqtr4i 2435 1  |-  dom  { <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. , 
<. E ,  F >. }  =  { A ,  C ,  E }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2924    u. cun 3286   {csn 3782   {cpr 3783   {ctp 3784   <.cop 3785   dom cdm 4845
This theorem is referenced by:  fntp  5474
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pr 4371
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-rab 2683  df-v 2926  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-br 4181  df-dm 4855
  Copyright terms: Public domain W3C validator