MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmtpos Unicode version

Theorem dmtpos 6428
Description: The domain of tpos  F when  dom  F is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dmtpos  |-  ( Rel 
dom  F  ->  dom tpos  F  =  `' dom  F )

Proof of Theorem dmtpos
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nelxp 4847 . . . . 5  |-  -.  (/)  e.  ( _V  X.  _V )
2 ssel 3286 . . . . 5  |-  ( dom 
F  C_  ( _V  X.  _V )  ->  ( (/) 
e.  dom  F  ->  (/)  e.  ( _V  X.  _V ) ) )
31, 2mtoi 171 . . . 4  |-  ( dom 
F  C_  ( _V  X.  _V )  ->  -.  (/) 
e.  dom  F )
4 df-rel 4826 . . . 4  |-  ( Rel 
dom  F  <->  dom  F  C_  ( _V  X.  _V ) )
5 reldmtpos 6424 . . . 4  |-  ( Rel 
dom tpos  F  <->  -.  (/)  e.  dom  F )
63, 4, 53imtr4i 258 . . 3  |-  ( Rel 
dom  F  ->  Rel  dom tpos  F )
7 relcnv 5183 . . 3  |-  Rel  `' dom  F
86, 7jctir 525 . 2  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( Rel 
dom tpos  F  /\  Rel  `' dom  F ) )
9 vex 2903 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
10 brtpos 6425 . . . . . 6  |-  ( z  e.  _V  ->  ( <. x ,  y >.tpos  F z  <->  <. y ,  x >. F z ) )
119, 10mp1i 12 . . . . 5  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( <.
x ,  y >.tpos  F z  <->  <. y ,  x >. F z ) )
1211exbidv 1633 . . . 4  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( E. z <. x ,  y
>.tpos  F z  <->  E. z <. y ,  x >. F z ) )
13 opex 4369 . . . . 5  |-  <. x ,  y >.  e.  _V
1413eldm 5008 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  dom tpos  F  <->  E. z <. x ,  y >.tpos  F z )
15 vex 2903 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
16 vex 2903 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
1715, 16opelcnv 4995 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' dom  F  <->  <. y ,  x >.  e.  dom  F )
18 opex 4369 . . . . . 6  |-  <. y ,  x >.  e.  _V
1918eldm 5008 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  x >.  e. 
dom  F  <->  E. z <. y ,  x >. F z )
2017, 19bitri 241 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' dom  F  <->  E. z <. y ,  x >. F z )
2112, 14, 203bitr4g 280 . . 3  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( <.
x ,  y >.  e.  dom tpos  F  <->  <. x ,  y
>.  e.  `' dom  F
) )
2221eqrelrdv2 4916 . 2  |-  ( ( ( Rel  dom tpos  F  /\  Rel  `' dom  F )  /\  Rel  dom  F )  ->  dom tpos  F  =  `' dom  F )
238, 22mpancom 651 1  |-  ( Rel 
dom  F  ->  dom tpos  F  =  `' dom  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2900    C_ wss 3264   (/)c0 3572   <.cop 3761   class class class wbr 4154    X. cxp 4817   `'ccnv 4818   dom cdm 4819   Rel wrel 4824  tpos ctpos 6415
This theorem is referenced by:  rntpos  6429  dftpos2  6433  dftpos3  6434  tposfn2  6438
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-fv 5403  df-tpos 6416
  Copyright terms: Public domain W3C validator