MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmuni Unicode version

Theorem dmuni 4888
Description: The domain of a union. Part of Exercise 8 of [Enderton] p. 41. (Contributed by NM, 3-Feb-2004.)
Assertion
Ref Expression
dmuni  |-  dom  U. A  =  U_ x  e.  A  dom  x
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem dmuni
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 excom 1786 . . . . 5  |-  ( E. z E. x (
<. y ,  z >.  e.  x  /\  x  e.  A )  <->  E. x E. z ( <. y ,  z >.  e.  x  /\  x  e.  A
) )
2 ancom 437 . . . . . . 7  |-  ( ( E. z <. y ,  z >.  e.  x  /\  x  e.  A
)  <->  ( x  e.  A  /\  E. z <. y ,  z >.  e.  x ) )
3 19.41v 1842 . . . . . . 7  |-  ( E. z ( <. y ,  z >.  e.  x  /\  x  e.  A
)  <->  ( E. z <. y ,  z >.  e.  x  /\  x  e.  A ) )
4 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
54eldm2 4877 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  dom  x  <->  E. z <. y ,  z >.  e.  x )
65anbi2i 675 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  dom  x )  <-> 
( x  e.  A  /\  E. z <. y ,  z >.  e.  x
) )
72, 3, 63bitr4i 268 . . . . . 6  |-  ( E. z ( <. y ,  z >.  e.  x  /\  x  e.  A
)  <->  ( x  e.  A  /\  y  e. 
dom  x ) )
87exbii 1569 . . . . 5  |-  ( E. x E. z (
<. y ,  z >.  e.  x  /\  x  e.  A )  <->  E. x
( x  e.  A  /\  y  e.  dom  x ) )
91, 8bitri 240 . . . 4  |-  ( E. z E. x (
<. y ,  z >.  e.  x  /\  x  e.  A )  <->  E. x
( x  e.  A  /\  y  e.  dom  x ) )
10 eluni 3830 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  U. A  <->  E. x
( <. y ,  z
>.  e.  x  /\  x  e.  A ) )
1110exbii 1569 . . . 4  |-  ( E. z <. y ,  z
>.  e.  U. A  <->  E. z E. x ( <. y ,  z >.  e.  x  /\  x  e.  A
) )
12 df-rex 2549 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  y  e.  dom  x  <->  E. x
( x  e.  A  /\  y  e.  dom  x ) )
139, 11, 123bitr4i 268 . . 3  |-  ( E. z <. y ,  z
>.  e.  U. A  <->  E. x  e.  A  y  e.  dom  x )
144eldm2 4877 . . 3  |-  ( y  e.  dom  U. A  <->  E. z <. y ,  z
>.  e.  U. A )
15 eliun 3909 . . 3  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  dom  x  <->  E. x  e.  A  y  e.  dom  x )
1613, 14, 153bitr4i 268 . 2  |-  ( y  e.  dom  U. A  <->  y  e.  U_ x  e.  A  dom  x )
1716eqriv 2280 1  |-  dom  U. A  =  U_ x  e.  A  dom  x
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   <.cop 3643   U.cuni 3827   U_ciun 3905   dom cdm 4689
This theorem is referenced by:  tfrlem8  6400  axdc3lem2  8077  wfrlem7  24262  wfrlem9  24264  frrlem5d  24288  frrlem5e  24289  frrlem7  24291  nofulllem5  24360  bnj1400  28868
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-dm 4699
  Copyright terms: Public domain W3C validator