Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnnumch1 Structured version   Unicode version

Theorem dnnumch1 27133
 Description: Define an enumeration of a set from a choice function; second part, it restricts to a bijection. EDITORIAL: overlaps dfac8a 7916 (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dnnumch.f recs
dnnumch.a
dnnumch.g
Assertion
Ref Expression
dnnumch1
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   (,,)

Proof of Theorem dnnumch1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dnnumch.a . 2
2 recsval 6665 . . . . . . 7 recs recs
3 dnnumch.f . . . . . . . 8 recs
43fveq1i 5732 . . . . . . 7 recs
53tfr1 6661 . . . . . . . . . . 11
6 fnfun 5545 . . . . . . . . . . 11
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
8 vex 2961 . . . . . . . . . 10
9 resfunexg 5960 . . . . . . . . . 10
107, 8, 9mp2an 655 . . . . . . . . 9
11 rneq 5098 . . . . . . . . . . . . 13
12 df-ima 4894 . . . . . . . . . . . . 13
1311, 12syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . 12
1413difeq2d 3467 . . . . . . . . . . 11
1514fveq2d 5735 . . . . . . . . . 10
16 rneq 5098 . . . . . . . . . . . . 13
1716difeq2d 3467 . . . . . . . . . . . 12
1817fveq2d 5735 . . . . . . . . . . 11
1918cbvmptv 4303 . . . . . . . . . 10
20 fvex 5745 . . . . . . . . . 10
2115, 19, 20fvmpt 5809 . . . . . . . . 9
2210, 21ax-mp 5 . . . . . . . 8
233reseq1i 5145 . . . . . . . . 9 recs
2423fveq2i 5734 . . . . . . . 8 recs
2522, 24eqtr3i 2460 . . . . . . 7 recs
262, 4, 253eqtr4g 2495 . . . . . 6
2726ad2antlr 709 . . . . 5
28 difss 3476 . . . . . . . . 9
29 elpw2g 4366 . . . . . . . . . 10
301, 29syl 16 . . . . . . . . 9
3128, 30mpbiri 226 . . . . . . . 8
32 dnnumch.g . . . . . . . 8
33 neeq1 2611 . . . . . . . . . 10
34 fveq2 5731 . . . . . . . . . . 11
35 id 21 . . . . . . . . . . 11
3634, 35eleq12d 2506 . . . . . . . . . 10
3733, 36imbi12d 313 . . . . . . . . 9
3837rspcva 3052 . . . . . . . 8
3931, 32, 38syl2anc 644 . . . . . . 7
4039adantr 453 . . . . . 6
4140imp 420 . . . . 5
4227, 41eqeltrd 2512 . . . 4
4342ex 425 . . 3
4443ralrimiva 2791 . 2
455tz7.49c 6706 . 2
461, 44, 45syl2anc 644 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  wrex 2708  cvv 2958   cdif 3319   wss 3322  c0 3630  cpw 3801   cmpt 4269  con0 4584   crn 4882   cres 4883  cima 4884   wfun 5451   wfn 5452  wf1o 5456  cfv 5457  recscrecs 6635 This theorem is referenced by:  dnnumch2  27134 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-suc 4590  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-recs 6636
 Copyright terms: Public domain W3C validator