Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  doca3N Unicode version

Theorem doca3N 31243
Description: Double orthocomplement of partial isomorphism A. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
doca2.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
doca2.i  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
doca2.n  |-  ._|_  =  ( ( ocA `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
doca3N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =  X )

Proof of Theorem doca3N
StepHypRef Expression
1 doca2.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 doca2.i . . . 4  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
31, 2diacnvclN 31167 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  ( `' I `  X )  e.  dom  I )
4 doca2.n . . . 4  |-  ._|_  =  ( ( ocA `  K
) `  W )
51, 2, 4doca2N 31242 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( `' I `  X )  e.  dom  I )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (
I `  ( `' I `  X )
) ) )  =  ( I `  ( `' I `  X ) ) )
63, 5syldan 457 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (
I `  ( `' I `  X )
) ) )  =  ( I `  ( `' I `  X ) ) )
71, 2diaf11N 31165 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  I : dom  I -1-1-onto-> ran  I )
8 f1ocnvfv2 5955 . . . . 5  |-  ( ( I : dom  I -1-1-onto-> ran  I  /\  X  e.  ran  I )  ->  (
I `  ( `' I `  X )
)  =  X )
97, 8sylan 458 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (
I `  ( `' I `  X )
)  =  X )
109fveq2d 5673 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (  ._|_  `  ( I `  ( `' I `  X ) ) )  =  ( 
._|_  `  X ) )
1110fveq2d 5673 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (
I `  ( `' I `  X )
) ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )
126, 11, 93eqtr3d 2428 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   `'ccnv 4818   dom cdm 4819   ran crn 4820   -1-1-onto->wf1o 5394   ` cfv 5395   HLchlt 29466   LHypclh 30099   DIsoAcdia 31144   ocAcocaN 31235
This theorem is referenced by:  diarnN  31245
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-undef 6480  df-riota 6486  df-map 6957  df-poset 14331  df-plt 14343  df-lub 14359  df-glb 14360  df-join 14361  df-meet 14362  df-p0 14396  df-p1 14397  df-lat 14403  df-clat 14465  df-oposet 29292  df-cmtN 29293  df-ol 29294  df-oml 29295  df-covers 29382  df-ats 29383  df-atl 29414  df-cvlat 29438  df-hlat 29467  df-llines 29613  df-lplanes 29614  df-lvols 29615  df-lines 29616  df-psubsp 29618  df-pmap 29619  df-padd 29911  df-lhyp 30103  df-laut 30104  df-ldil 30219  df-ltrn 30220  df-trl 30274  df-disoa 31145  df-docaN 31236
  Copyright terms: Public domain W3C validator