Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  doca3N Structured version   Unicode version

Theorem doca3N 31862
Description: Double orthocomplement of partial isomorphism A. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
doca2.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
doca2.i  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
doca2.n  |-  ._|_  =  ( ( ocA `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
doca3N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =  X )

Proof of Theorem doca3N
StepHypRef Expression
1 doca2.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 doca2.i . . . 4  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
31, 2diacnvclN 31786 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  ( `' I `  X )  e.  dom  I )
4 doca2.n . . . 4  |-  ._|_  =  ( ( ocA `  K
) `  W )
51, 2, 4doca2N 31861 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( `' I `  X )  e.  dom  I )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (
I `  ( `' I `  X )
) ) )  =  ( I `  ( `' I `  X ) ) )
63, 5syldan 457 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (
I `  ( `' I `  X )
) ) )  =  ( I `  ( `' I `  X ) ) )
71, 2diaf11N 31784 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  I : dom  I -1-1-onto-> ran  I )
8 f1ocnvfv2 6007 . . . . 5  |-  ( ( I : dom  I -1-1-onto-> ran  I  /\  X  e.  ran  I )  ->  (
I `  ( `' I `  X )
)  =  X )
97, 8sylan 458 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (
I `  ( `' I `  X )
)  =  X )
109fveq2d 5724 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (  ._|_  `  ( I `  ( `' I `  X ) ) )  =  ( 
._|_  `  X ) )
1110fveq2d 5724 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (
I `  ( `' I `  X )
) ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )
126, 11, 93eqtr3d 2475 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   `'ccnv 4869   dom cdm 4870   ran crn 4871   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446   HLchlt 30085   LHypclh 30718   DIsoAcdia 31763   ocAcocaN 31854
This theorem is referenced by:  diarnN  31864
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-map 7012  df-poset 14395  df-plt 14407  df-lub 14423  df-glb 14424  df-join 14425  df-meet 14426  df-p0 14460  df-p1 14461  df-lat 14467  df-clat 14529  df-oposet 29911  df-cmtN 29912  df-ol 29913  df-oml 29914  df-covers 30001  df-ats 30002  df-atl 30033  df-cvlat 30057  df-hlat 30086  df-llines 30232  df-lplanes 30233  df-lvols 30234  df-lines 30235  df-psubsp 30237  df-pmap 30238  df-padd 30530  df-lhyp 30722  df-laut 30723  df-ldil 30838  df-ltrn 30839  df-trl 30893  df-disoa 31764  df-docaN 31855
  Copyright terms: Public domain W3C validator