Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  doch2val2 Structured version   Unicode version

Theorem doch2val2 32100
Description: Double orthocomplement for  DVecH vector space. (Contributed by NM, 26-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
doch2val2.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
doch2val2.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
doch2val2.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
doch2val2.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
doch2val2.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
doch2val2.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
doch2val2.x  |-  ( ph  ->  X  C_  V )
Assertion
Ref Expression
doch2val2  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  = 
|^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z } )
Distinct variable groups:    z, H    z, I    z, K    z, V    z, W    z, X
Allowed substitution hints:    ph( z)    U( z)   
._|_ ( z)

Proof of Theorem doch2val2
StepHypRef Expression
1 doch2val2.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 doch2val2.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  C_  V )
3 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( oc
`  K )  =  ( oc `  K
)
4 doch2val2.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 doch2val2.i . . . . 5  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
6 doch2val2.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
7 doch2val2.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
8 doch2val2.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
93, 4, 5, 6, 7, 8dochval2 32088 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  X )  =  ( I `  ( ( oc `  K ) `
 ( `' I `  |^| { z  e. 
ran  I  |  X  C_  z } ) ) ) )
101, 2, 9syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  X )  =  ( I `  ( ( oc `  K ) `  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
) ) ) )
1110fveq2d 5725 . 2  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  (  ._|_  `  ( I `
 ( ( oc
`  K ) `  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
) ) ) ) )
121simpld 446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  HL )
13 hlop 30098 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
1412, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  OP )
15 ssrab2 3421 . . . . . . 7  |-  { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }  C_ 
ran  I
1615a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }  C_  ran  I )
174, 5, 6, 7dih1rn 32023 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  V  e.  ran  I
)
181, 17syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  V  e.  ran  I
)
19 sseq2 3363 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  V  ->  ( X  C_  z  <->  X  C_  V
) )
2019elrab 3085 . . . . . . . 8  |-  ( V  e.  { z  e. 
ran  I  |  X  C_  z }  <->  ( V  e.  ran  I  /\  X  C_  V ) )
2118, 2, 20sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  e.  { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
)
22 ne0i 3627 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  { z  e. 
ran  I  |  X  C_  z }  ->  { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }  =/=  (/) )
2321, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }  =/=  (/) )
244, 5dihintcl 32080 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }  C_ 
ran  I  /\  {
z  e.  ran  I  |  X  C_  z }  =/=  (/) ) )  ->  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }  e.  ran  I )
251, 16, 23, 24syl12anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  |^| { z  e. 
ran  I  |  X  C_  z }  e.  ran  I )
26 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2726, 4, 5dihcnvcl 32007 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  |^| { z  e. 
ran  I  |  X  C_  z }  e.  ran  I )  ->  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
)  e.  ( Base `  K ) )
281, 25, 27syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z } )  e.  (
Base `  K )
)
2926, 3opoccl 29930 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
)  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( oc `  K ) `  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
) )  e.  (
Base `  K )
)
3014, 28, 29syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( oc `  K ) `  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
) )  e.  (
Base `  K )
)
3126, 3, 4, 5, 8dochvalr2 32098 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( oc
`  K ) `  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
) )  e.  (
Base `  K )
)  ->  (  ._|_  `  ( I `  (
( oc `  K
) `  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
) ) ) )  =  ( I `  ( ( oc `  K ) `  (
( oc `  K
) `  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
) ) ) ) )
321, 30, 31syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  ( I `
 ( ( oc
`  K ) `  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
) ) ) )  =  ( I `  ( ( oc `  K ) `  (
( oc `  K
) `  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
) ) ) ) )
3326, 3opococ 29931 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
)  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( oc `  K ) `  (
( oc `  K
) `  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
) ) )  =  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z } ) )
3414, 28, 33syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( oc `  K ) `  (
( oc `  K
) `  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
) ) )  =  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z } ) )
3534fveq2d 5725 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  (
( oc `  K
) `  ( ( oc `  K ) `  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
) ) ) )  =  ( I `  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
) ) )
364, 5dihcnvid2 32009 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  |^| { z  e. 
ran  I  |  X  C_  z }  e.  ran  I )  ->  (
I `  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
) )  =  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z } )
371, 25, 36syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
) )  =  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z } )
3835, 37eqtrd 2468 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  (
( oc `  K
) `  ( ( oc `  K ) `  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
) ) ) )  =  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
)
3911, 32, 383eqtrd 2472 1  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  = 
|^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   {crab 2702    C_ wss 3313   (/)c0 3621   |^|cint 4043   `'ccnv 4870   ran crn 4872   ` cfv 5447   Basecbs 13462   occoc 13530   OPcops 29908   HLchlt 30086   LHypclh 30719   DVecHcdvh 31814   DIsoHcdih 31964   ocHcoch 32083
This theorem is referenced by:  dochspss  32114
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-iin 4089  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-tpos 6472  df-undef 6536  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-oadd 6721  df-er 6898  df-map 7013  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-4 10053  df-5 10054  df-6 10055  df-n0 10215  df-z 10276  df-uz 10482  df-fz 11037  df-struct 13464  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-sets 13468  df-ress 13469  df-plusg 13535  df-mulr 13536  df-sca 13538  df-vsca 13539  df-0g 13720  df-poset 14396  df-plt 14408  df-lub 14424  df-glb 14425  df-join 14426  df-meet 14427  df-p0 14461  df-p1 14462  df-lat 14468  df-clat 14530  df-mnd 14683  df-submnd 14732  df-grp 14805  df-minusg 14806  df-sbg 14807  df-subg 14934  df-cntz 15109  df-lsm 15263  df-cmn 15407  df-abl 15408  df-mgp 15642  df-rng 15656  df-ur 15658  df-oppr 15721  df-dvdsr 15739  df-unit 15740  df-invr 15770  df-dvr 15781  df-drng 15830  df-lmod 15945  df-lss 16002  df-lsp 16041  df-lvec 16168  df-lsatoms 29712  df-oposet 29912  df-ol 29914  df-oml 29915  df-covers 30002  df-ats 30003  df-atl 30034  df-cvlat 30058  df-hlat 30087  df-llines 30233  df-lplanes 30234  df-lvols 30235  df-lines 30236  df-psubsp 30238  df-pmap 30239  df-padd 30531  df-lhyp 30723  df-laut 30724  df-ldil 30839  df-ltrn 30840  df-trl 30894  df-tendo 31490  df-edring 31492  df-disoa 31765  df-dvech 31815  df-dib 31875  df-dic 31909  df-dih 31965  df-doch 32084
  Copyright terms: Public domain W3C validator