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Theorem dochdmj1 32125
Description: De Morgan-like law for subspace orthocomplement. (Contributed by NM, 5-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochdmj1.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochdmj1.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochdmj1.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dochdmj1.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
dochdmj1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
)  =  ( ( 
._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )

Proof of Theorem dochdmj1
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp2 958 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  X  C_  V
)
3 simp3 959 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  Y  C_  V
)
42, 3unssd 3515 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( X  u.  Y )  C_  V
)
5 ssun1 3502 . . . . 5  |-  X  C_  ( X  u.  Y
)
65a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  X  C_  ( X  u.  Y )
)
7 dochdmj1.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
8 dochdmj1.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
9 dochdmj1.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
10 dochdmj1.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
117, 8, 9, 10dochss 32100 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  u.  Y )  C_  V  /\  X  C_  ( X  u.  Y ) )  ->  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
)  C_  (  ._|_  `  X ) )
121, 4, 6, 11syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
)  C_  (  ._|_  `  X ) )
13 ssun2 3503 . . . . 5  |-  Y  C_  ( X  u.  Y
)
1413a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  Y  C_  ( X  u.  Y )
)
157, 8, 9, 10dochss 32100 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  u.  Y )  C_  V  /\  Y  C_  ( X  u.  Y ) )  ->  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
)  C_  (  ._|_  `  Y ) )
161, 4, 14, 15syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
)  C_  (  ._|_  `  Y ) )
1712, 16ssind 3557 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
)  C_  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )
18 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( (
DIsoH `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoH `  K ) `  W )
197, 18, 8, 9, 10dochcl 32088 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  X )  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)
20193adant3 977 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  X
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
217, 18, 8, 9, 10dochcl 32088 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)
22213adant2 976 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  Y
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
237, 18dihmeetcl 32080 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( (  ._|_  `  X )  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )  /\  (  ._|_  `  Y
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) ) )  ->  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  e.  ran  ( (
DIsoH `  K ) `  W ) )
241, 20, 22, 23syl12anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  e.  ran  ( (
DIsoH `  K ) `  W ) )
257, 18, 10dochoc 32102 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  e.  ran  ( (
DIsoH `  K ) `  W ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )  =  ( ( 
._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )
261, 24, 25syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )  =  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) )
277, 8, 9, 10dochssv 32090 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  X )  C_  V
)
28273adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  X
)  C_  V )
29 ssinss1 3561 . . . . . 6  |-  ( ( 
._|_  `  X )  C_  V  ->  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) 
C_  V )
3028, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) 
C_  V )
317, 8, 9, 10dochssv 32090 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) 
C_  V )  -> 
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )  C_  V
)
321, 30, 31syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) )  C_  V )
337, 8, 9, 10dochocss 32101 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )
34333adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )
357, 8, 9, 10dochocss 32101 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  C_  V
)  ->  Y  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) ) )
36353adant2 976 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  Y  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) ) )
37 unss12 3511 . . . . . 6  |-  ( ( X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  /\  Y  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )  ->  ( X  u.  Y )  C_  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  u.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
3834, 36, 37syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( X  u.  Y )  C_  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  u.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
39 inss1 3553 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  C_  (  ._|_  `  X )
4039a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) 
C_  (  ._|_  `  X
) )
417, 8, 9, 10dochss 32100 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  X
)  C_  V  /\  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  C_  (  ._|_  `  X )
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
421, 28, 40, 41syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) 
C_  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) ) )
437, 8, 9, 10dochssv 32090 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  Y )  C_  V
)
44433adant2 976 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  Y
)  C_  V )
45 inss2 3554 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  C_  (  ._|_  `  Y )
4645a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) 
C_  (  ._|_  `  Y
) )
477, 8, 9, 10dochss 32100 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  Y
)  C_  V  /\  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  C_  (  ._|_  `  Y )
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  C_  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
481, 44, 46, 47syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) 
C_  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) ) )
4942, 48unssd 3515 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  u.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )  C_  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
5038, 49sstrd 3350 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( X  u.  Y )  C_  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
517, 8, 9, 10dochss 32100 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) )  C_  V  /\  ( X  u.  Y )  C_  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) ) ) 
C_  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
) )
521, 32, 50, 51syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )  C_  (  ._|_  `  ( X  u.  Y ) ) )
5326, 52eqsstr3d 3375 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) 
C_  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
) )
5417, 53eqssd 3357 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
)  =  ( ( 
._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   ran crn 4871   ` cfv 5446   Basecbs 13461   HLchlt 30085   LHypclh 30718   DVecHcdvh 31813   DIsoHcdih 31963   ocHcoch 32082
This theorem is referenced by:  djhval2  32134  dochdmm1  32145  lclkrlem2c  32244  lclkrlem2v  32263  lcfrlem18  32295
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
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