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Theorem dochdmj1 31506
Description: De Morgan-like law for subspace orthocomplement. (Contributed by NM, 5-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochdmj1.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochdmj1.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochdmj1.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dochdmj1.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
dochdmj1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
)  =  ( ( 
._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )

Proof of Theorem dochdmj1
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp2 958 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  X  C_  V
)
3 simp3 959 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  Y  C_  V
)
42, 3unssd 3467 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( X  u.  Y )  C_  V
)
5 ssun1 3454 . . . . 5  |-  X  C_  ( X  u.  Y
)
65a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  X  C_  ( X  u.  Y )
)
7 dochdmj1.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
8 dochdmj1.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
9 dochdmj1.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
10 dochdmj1.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
117, 8, 9, 10dochss 31481 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  u.  Y )  C_  V  /\  X  C_  ( X  u.  Y ) )  ->  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
)  C_  (  ._|_  `  X ) )
121, 4, 6, 11syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
)  C_  (  ._|_  `  X ) )
13 ssun2 3455 . . . . 5  |-  Y  C_  ( X  u.  Y
)
1413a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  Y  C_  ( X  u.  Y )
)
157, 8, 9, 10dochss 31481 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  u.  Y )  C_  V  /\  Y  C_  ( X  u.  Y ) )  ->  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
)  C_  (  ._|_  `  Y ) )
161, 4, 14, 15syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
)  C_  (  ._|_  `  Y ) )
1712, 16ssind 3509 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
)  C_  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )
18 eqid 2388 . . . . . . 7  |-  ( (
DIsoH `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoH `  K ) `  W )
197, 18, 8, 9, 10dochcl 31469 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  X )  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)
20193adant3 977 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  X
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
217, 18, 8, 9, 10dochcl 31469 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)
22213adant2 976 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  Y
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
237, 18dihmeetcl 31461 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( (  ._|_  `  X )  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )  /\  (  ._|_  `  Y
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) ) )  ->  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  e.  ran  ( (
DIsoH `  K ) `  W ) )
241, 20, 22, 23syl12anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  e.  ran  ( (
DIsoH `  K ) `  W ) )
257, 18, 10dochoc 31483 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  e.  ran  ( (
DIsoH `  K ) `  W ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )  =  ( ( 
._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )
261, 24, 25syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )  =  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) )
277, 8, 9, 10dochssv 31471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  X )  C_  V
)
28273adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  X
)  C_  V )
29 ssinss1 3513 . . . . . 6  |-  ( ( 
._|_  `  X )  C_  V  ->  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) 
C_  V )
3028, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) 
C_  V )
317, 8, 9, 10dochssv 31471 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) 
C_  V )  -> 
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )  C_  V
)
321, 30, 31syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) )  C_  V )
337, 8, 9, 10dochocss 31482 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )
34333adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )
357, 8, 9, 10dochocss 31482 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  C_  V
)  ->  Y  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) ) )
36353adant2 976 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  Y  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) ) )
37 unss12 3463 . . . . . 6  |-  ( ( X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  /\  Y  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )  ->  ( X  u.  Y )  C_  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  u.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
3834, 36, 37syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( X  u.  Y )  C_  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  u.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
39 inss1 3505 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  C_  (  ._|_  `  X )
4039a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) 
C_  (  ._|_  `  X
) )
417, 8, 9, 10dochss 31481 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  X
)  C_  V  /\  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  C_  (  ._|_  `  X )
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
421, 28, 40, 41syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) 
C_  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) ) )
437, 8, 9, 10dochssv 31471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  Y )  C_  V
)
44433adant2 976 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  Y
)  C_  V )
45 inss2 3506 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  C_  (  ._|_  `  Y )
4645a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) 
C_  (  ._|_  `  Y
) )
477, 8, 9, 10dochss 31481 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  Y
)  C_  V  /\  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  C_  (  ._|_  `  Y )
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  C_  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
481, 44, 46, 47syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) 
C_  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) ) )
4942, 48unssd 3467 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  u.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )  C_  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
5038, 49sstrd 3302 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( X  u.  Y )  C_  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
517, 8, 9, 10dochss 31481 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) )  C_  V  /\  ( X  u.  Y )  C_  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) ) ) 
C_  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
) )
521, 32, 50, 51syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )  C_  (  ._|_  `  ( X  u.  Y ) ) )
5326, 52eqsstr3d 3327 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) 
C_  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
) )
5417, 53eqssd 3309 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
)  =  ( ( 
._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    u. cun 3262    i^i cin 3263    C_ wss 3264   ran crn 4820   ` cfv 5395   Basecbs 13397   HLchlt 29466   LHypclh 30099   DVecHcdvh 31194   DIsoHcdih 31344   ocHcoch 31463
This theorem is referenced by:  djhval2  31515  dochdmm1  31526  lclkrlem2c  31625  lclkrlem2v  31644  lcfrlem18  31676
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
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