Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochexmidlem1 Unicode version

Theorem dochexmidlem1 31626
Description: Lemma for dochexmid 31634. Holland's proof implicitly requires  q  =/=  r, which we prove here. (Contributed by NM, 14-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dochexmidlem1.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochexmidlem1.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dochexmidlem1.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochexmidlem1.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dochexmidlem1.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
dochexmidlem1.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
dochexmidlem1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
dochexmidlem1.a  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
dochexmidlem1.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dochexmidlem1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
dochexmidlem1.pp  |-  ( ph  ->  p  e.  A )
dochexmidlem1.qq  |-  ( ph  ->  q  e.  A )
dochexmidlem1.rr  |-  ( ph  ->  r  e.  A )
dochexmidlem1.ql  |-  ( ph  ->  q  C_  (  ._|_  `  X ) )
dochexmidlem1.rl  |-  ( ph  ->  r  C_  X )
Assertion
Ref Expression
dochexmidlem1  |-  ( ph  ->  q  =/=  r )

Proof of Theorem dochexmidlem1
StepHypRef Expression
1 eqid 2380 . . . . 5  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
2 dochexmidlem1.a . . . . 5  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
3 dochexmidlem1.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 dochexmidlem1.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 dochexmidlem1.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
63, 4, 5dvhlmod 31276 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
7 dochexmidlem1.rr . . . . 5  |-  ( ph  ->  r  e.  A )
81, 2, 6, 7lsatn0 29165 . . . 4  |-  ( ph  ->  r  =/=  { ( 0g `  U ) } )
9 dochexmidlem1.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
109, 2, 6, 7lsatlssel 29163 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  r  e.  S )
111, 9lssle0 15946 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  r  e.  S )  ->  (
r  C_  { ( 0g `  U ) }  <-> 
r  =  { ( 0g `  U ) } ) )
126, 10, 11syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( r  C_  { ( 0g `  U ) }  <->  r  =  {
( 0g `  U
) } ) )
1312necon3bbid 2577 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -.  r  C_  { ( 0g `  U
) }  <->  r  =/=  { ( 0g `  U
) } ) )
148, 13mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  r  C_  { ( 0g `  U ) } )
15 dochexmidlem1.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
16 dochexmidlem1.o . . . . . 6  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
173, 4, 9, 1, 16dochnoncon 31557 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S
)  ->  ( X  i^i  (  ._|_  `  X
) )  =  {
( 0g `  U
) } )
185, 15, 17syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  (  ._|_  `  X ) )  =  { ( 0g
`  U ) } )
1918sseq2d 3312 . . 3  |-  ( ph  ->  ( r  C_  ( X  i^i  (  ._|_  `  X
) )  <->  r  C_  { ( 0g `  U
) } ) )
2014, 19mtbird 293 . 2  |-  ( ph  ->  -.  r  C_  ( X  i^i  (  ._|_  `  X
) ) )
21 dochexmidlem1.ql . . . . . 6  |-  ( ph  ->  q  C_  (  ._|_  `  X ) )
22 sseq1 3305 . . . . . 6  |-  ( q  =  r  ->  (
q  C_  (  ._|_  `  X )  <->  r  C_  (  ._|_  `  X )
) )
2321, 22syl5ibcom 212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( q  =  r  ->  r  C_  (  ._|_  `  X ) ) )
24 dochexmidlem1.rl . . . . 5  |-  ( ph  ->  r  C_  X )
2523, 24jctild 528 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( q  =  r  ->  ( r  C_  X  /\  r  C_  (  ._|_  `  X ) ) ) )
26 ssin 3499 . . . 4  |-  ( ( r  C_  X  /\  r  C_  (  ._|_  `  X
) )  <->  r  C_  ( X  i^i  (  ._|_  `  X ) ) )
2725, 26syl6ib 218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( q  =  r  ->  r  C_  ( X  i^i  (  ._|_  `  X
) ) ) )
2827necon3bd 2580 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  r  C_  ( X  i^i  (  ._|_  `  X ) )  ->  q  =/=  r
) )
2920, 28mpd 15 1  |-  ( ph  ->  q  =/=  r )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543    i^i cin 3255    C_ wss 3256   {csn 3750   ` cfv 5387   Basecbs 13389   0gc0g 13643   LSSumclsm 15188   LModclmod 15870   LSubSpclss 15928   LSpanclspn 15967  LSAtomsclsa 29140   HLchlt 29516   LHypclh 30149   DVecHcdvh 31244   ocHcoch 31513
This theorem is referenced by:  dochexmidlem3  31628
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-tpos 6408  df-undef 6472  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-fz 10969  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-sca 13465  df-vsca 13466  df-0g 13647  df-poset 14323  df-plt 14335  df-lub 14351  df-glb 14352  df-join 14353  df-meet 14354  df-p0 14388  df-p1 14389  df-lat 14395  df-clat 14457  df-mnd 14610  df-submnd 14659  df-grp 14732  df-minusg 14733  df-sbg 14734  df-subg 14861  df-cntz 15036  df-lsm 15190  df-cmn 15334  df-abl 15335  df-mgp 15569  df-rng 15583  df-ur 15585  df-oppr 15648  df-dvdsr 15666  df-unit 15667  df-invr 15697  df-dvr 15708  df-drng 15757  df-lmod 15872  df-lss 15929  df-lsp 15968  df-lvec 16095  df-lsatoms 29142  df-oposet 29342  df-ol 29344  df-oml 29345  df-covers 29432  df-ats 29433  df-atl 29464  df-cvlat 29488  df-hlat 29517  df-llines 29663  df-lplanes 29664  df-lvols 29665  df-lines 29666  df-psubsp 29668  df-pmap 29669  df-padd 29961  df-lhyp 30153  df-laut 30154  df-ldil 30269  df-ltrn 30270  df-trl 30324  df-tendo 30920  df-edring 30922  df-disoa 31195  df-dvech 31245  df-dib 31305  df-dic 31339  df-dih 31395  df-doch 31514
  Copyright terms: Public domain W3C validator