Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochfln0 Unicode version

Theorem dochfln0 31736
Description: The value of a functional is nonzero at a nonzero vector in the orthocomplement of its kernel. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dochfln0.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochfln0.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dochfln0.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochfln0.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dochfln0.r  |-  R  =  (Scalar `  U )
dochfln0.n  |-  N  =  ( 0g `  R
)
dochfln0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
dochfln0.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
dochfln0.l  |-  L  =  (LKer `  U )
dochfln0.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dochfln0.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
dochfln0.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( ( 
._|_  `  ( L `  G ) )  \  {  .0.  } ) )
Assertion
Ref Expression
dochfln0  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =/=  N )

Proof of Theorem dochfln0
StepHypRef Expression
1 dochfln0.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dochfln0.o . . 3  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
3 dochfln0.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 dochfln0.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 dochfln0.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
6 dochfln0.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 dochfln0.f . . . . . . 7  |-  F  =  (LFnl `  U )
8 dochfln0.l . . . . . . 7  |-  L  =  (LKer `  U )
91, 3, 6dvhlmod 31369 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
10 dochfln0.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
114, 7, 8, 9, 10lkrssv 29355 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  V )
121, 3, 4, 2dochssv 31614 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( L `  G )  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  ( L `  G
) )  C_  V
)
136, 11, 12syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) 
C_  V )
14 ssdif 3387 . . . . 5  |-  ( ( 
._|_  `  ( L `  G ) )  C_  V  ->  ( (  ._|_  `  ( L `  G
) )  \  {  .0.  } )  C_  ( V  \  {  .0.  }
) )
1513, 14syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  C_  ( V  \  {  .0.  } ) )
16 dochfln0.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( ( 
._|_  `  ( L `  G ) )  \  {  .0.  } ) )
1715, 16sseldd 3257 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
181, 2, 3, 4, 5, 6, 17dochnel 31652 . 2  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( 
._|_  `  { X }
) )
19 eldifi 3374 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G
) )  \  {  .0.  } )  ->  X  e.  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )
2016, 19syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )
2113, 20sseldd 3257 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2221biantrurd 494 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G `  X )  =  N  <-> 
( X  e.  V  /\  ( G `  X
)  =  N ) ) )
23 dochfln0.r . . . . . 6  |-  R  =  (Scalar `  U )
24 dochfln0.n . . . . . 6  |-  N  =  ( 0g `  R
)
254, 23, 24, 7, 8ellkr 29348 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( X  e.  ( L `  G )  <->  ( X  e.  V  /\  ( G `  X )  =  N ) ) )
269, 10, 25syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( L `  G )  <-> 
( X  e.  V  /\  ( G `  X
)  =  N ) ) )
271, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 6, 10, 16dochsnkr 31731 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  =  (  ._|_  `  { X } ) )
2827eleq2d 2425 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( L `  G )  <-> 
X  e.  (  ._|_  `  { X } ) ) )
2922, 26, 283bitr2rd 273 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( 
._|_  `  { X }
)  <->  ( G `  X )  =  N ) )
3029necon3bbid 2555 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  X  e.  (  ._|_  `  { X } )  <->  ( G `  X )  =/=  N
) )
3118, 30mpbid 201 1  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =/=  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521    \ cdif 3225    C_ wss 3228   {csn 3716   ` cfv 5337   Basecbs 13245  Scalarcsca 13308   0gc0g 13499   LModclmod 15726  LFnlclfn 29316  LKerclk 29344   HLchlt 29609   LHypclh 30242   DVecHcdvh 31337   ocHcoch 31606
This theorem is referenced by:  dochkr1  31737  dochkr1OLDN  31738  lcfl6lem  31757
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-fal 1320  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-tpos 6321  df-undef 6385  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-fz 10875  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-0g 13503  df-poset 14179  df-plt 14191  df-lub 14207  df-glb 14208  df-join 14209  df-meet 14210  df-p0 14244  df-p1 14245  df-lat 14251  df-clat 14313  df-mnd 14466  df-submnd 14515  df-grp 14588  df-minusg 14589  df-sbg 14590  df-subg 14717  df-cntz 14892  df-lsm 15046  df-cmn 15190  df-abl 15191  df-mgp 15425  df-rng 15439  df-ur 15441  df-oppr 15504  df-dvdsr 15522  df-unit 15523  df-invr 15553  df-dvr 15564  df-drng 15613  df-lmod 15728  df-lss 15789  df-lsp 15828  df-lvec 15955  df-lsatoms 29235  df-lshyp 29236  df-lfl 29317  df-lkr 29345  df-oposet 29435  df-ol 29437  df-oml 29438  df-covers 29525  df-ats 29526  df-atl 29557  df-cvlat 29581  df-hlat 29610  df-llines 29756  df-lplanes 29757  df-lvols 29758  df-lines 29759  df-psubsp 29761  df-pmap 29762  df-padd 30054  df-lhyp 30246  df-laut 30247  df-ldil 30362  df-ltrn 30363  df-trl 30417  df-tgrp 31001  df-tendo 31013  df-edring 31015  df-dveca 31261  df-disoa 31288  df-dvech 31338  df-dib 31398  df-dic 31432  df-dih 31488  df-doch 31607  df-djh 31654
  Copyright terms: Public domain W3C validator