Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochkrshp Structured version   Unicode version

Theorem dochkrshp 32258
Description: The closure of a kernel is a hyperplane iff it doesn't contain all vectors. (Contributed by NM, 1-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochkrshp.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochkrshp.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dochkrshp.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochkrshp.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dochkrshp.y  |-  Y  =  (LSHyp `  U )
dochkrshp.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
dochkrshp.l  |-  L  =  (LKer `  U )
dochkrshp.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dochkrshp.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
dochkrshp  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  V  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y ) )

Proof of Theorem dochkrshp
StepHypRef Expression
1 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =/=  ( L `
 G ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  ( L `  G ) )
2 dochkrshp.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 dochkrshp.o . . . . . . . 8  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
4 dochkrshp.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 dochkrshp.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  U
)
6 dochkrshp.y . . . . . . . 8  |-  Y  =  (LSHyp `  U )
7 dochkrshp.k . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
87adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =/=  ( L `
 G ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
9 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L `  G )  =  V  ->  (  ._|_  `  ( L `  G ) )  =  (  ._|_  `  V ) )
109fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L `  G )  =  V  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  V
) ) )
112, 4, 3, 5, 7dochoc1 32233 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  V ) )  =  V )
1210, 11sylan9eqr 2492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  V )
13 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  ( L `  G )  =  V )
1412, 13eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  ( L `
 G ) )
1514ex 425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( L `  G )  =  V  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =  ( L `  G ) ) )
1615necon3d 2641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  ( L `  G )  ->  ( L `  G )  =/=  V ) )
17 df-ne 2603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L `  G )  =/=  V  <->  -.  ( L `  G )  =  V )
18 dochkrshp.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F  =  (LFnl `  U )
19 dochkrshp.l . . . . . . . . . . . . . 14  |-  L  =  (LKer `  U )
202, 4, 7dvhlvec 31981 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
21 dochkrshp.g . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
225, 6, 18, 19, 20, 21lkrshpor 29979 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( L `  G )  e.  Y  \/  ( L `  G
)  =  V ) )
2322orcomd 379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( L `  G )  =  V  \/  ( L `  G )  e.  Y
) )
2423ord 368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -.  ( L `
 G )  =  V  ->  ( L `  G )  e.  Y
) )
2517, 24syl5bi 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( L `  G )  =/=  V  ->  ( L `  G
)  e.  Y ) )
2616, 25syld 43 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  ( L `  G )  ->  ( L `  G )  e.  Y ) )
2726imp 420 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =/=  ( L `
 G ) )  ->  ( L `  G )  e.  Y
)
282, 3, 4, 5, 6, 8, 27dochshpncl 32256 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =/=  ( L `
 G ) )  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =/=  ( L `
 G )  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  V ) )
291, 28mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =/=  ( L `
 G ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =  V )
3029ex 425 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  ( L `  G )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  V ) )
3130necon1d 2675 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  V  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( L `  G ) ) )
3212ex 425 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( L `  G )  =  V  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =  V ) )
3332necon3ad 2639 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  V  ->  -.  ( L `  G )  =  V ) )
3433, 24syld 43 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  V  ->  ( L `  G )  e.  Y ) )
3531, 34jcad 521 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  V  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( L `  G
)  /\  ( L `  G )  e.  Y
) ) )
362, 3, 4, 18, 6, 19, 7, 21dochlkr 32257 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  e.  Y  <->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( L `  G )  /\  ( L `  G )  e.  Y
) ) )
3735, 36sylibrd 227 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  V  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  e.  Y
) )
382, 4, 7dvhlmod 31982 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
3938adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  U  e.  LMod )
40 simpr 449 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  e.  Y )
415, 6, 39, 40lshpne 29854 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  V )
4241ex 425 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  e.  Y  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =/=  V
) )
4337, 42impbid 185 1  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  V  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   ` cfv 5457   Basecbs 13474   LModclmod 15955  LSHypclsh 29847  LFnlclfn 29929  LKerclk 29957   HLchlt 30222   LHypclh 30855   DVecHcdvh 31950   ocHcoch 32219
This theorem is referenced by:  dochkrshp2  32259  dochkrsat  32327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-undef 6546  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-0g 13732  df-poset 14408  df-plt 14420  df-lub 14436  df-glb 14437  df-join 14438  df-meet 14439  df-p0 14473  df-p1 14474  df-lat 14480  df-clat 14542  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-subg 14946  df-cntz 15121  df-lsm 15275  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-dvdsr 15751  df-unit 15752  df-invr 15782  df-dvr 15793  df-drng 15842  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lsp 16053  df-lvec 16180  df-lsatoms 29848  df-lshyp 29849  df-lfl 29930  df-lkr 29958  df-oposet 30048  df-ol 30050  df-oml 30051  df-covers 30138  df-ats 30139  df-atl 30170  df-cvlat 30194  df-hlat 30223  df-llines 30369  df-lplanes 30370  df-lvols 30371  df-lines 30372  df-psubsp 30374  df-pmap 30375  df-padd 30667  df-lhyp 30859  df-laut 30860  df-ldil 30975  df-ltrn 30976  df-trl 31030  df-tendo 31626  df-edring 31628  df-disoa 31901  df-dvech 31951  df-dib 32011  df-dic 32045  df-dih 32101  df-doch 32220
  Copyright terms: Public domain W3C validator