Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochkrshp Unicode version

Theorem dochkrshp 31502
Description: The closure of a kernel is a hyperplane iff it doesn't contain all vectors. (Contributed by NM, 1-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochkrshp.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochkrshp.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dochkrshp.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochkrshp.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dochkrshp.y  |-  Y  =  (LSHyp `  U )
dochkrshp.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
dochkrshp.l  |-  L  =  (LKer `  U )
dochkrshp.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dochkrshp.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
dochkrshp  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  V  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y ) )

Proof of Theorem dochkrshp
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =/=  ( L `
 G ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  ( L `  G ) )
2 dochkrshp.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 dochkrshp.o . . . . . . . 8  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
4 dochkrshp.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 dochkrshp.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  U
)
6 dochkrshp.y . . . . . . . 8  |-  Y  =  (LSHyp `  U )
7 dochkrshp.k . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
87adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =/=  ( L `
 G ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
9 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L `  G )  =  V  ->  (  ._|_  `  ( L `  G ) )  =  (  ._|_  `  V ) )
109fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L `  G )  =  V  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  V
) ) )
112, 4, 3, 5, 7dochoc1 31477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  V ) )  =  V )
1210, 11sylan9eqr 2442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  V )
13 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  ( L `  G )  =  V )
1412, 13eqtr4d 2423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  ( L `
 G ) )
1514ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( L `  G )  =  V  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =  ( L `  G ) ) )
1615necon3d 2589 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  ( L `  G )  ->  ( L `  G )  =/=  V ) )
17 df-ne 2553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L `  G )  =/=  V  <->  -.  ( L `  G )  =  V )
18 dochkrshp.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F  =  (LFnl `  U )
19 dochkrshp.l . . . . . . . . . . . . . 14  |-  L  =  (LKer `  U )
202, 4, 7dvhlvec 31225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
21 dochkrshp.g . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
225, 6, 18, 19, 20, 21lkrshpor 29223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( L `  G )  e.  Y  \/  ( L `  G
)  =  V ) )
2322orcomd 378 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( L `  G )  =  V  \/  ( L `  G )  e.  Y
) )
2423ord 367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -.  ( L `
 G )  =  V  ->  ( L `  G )  e.  Y
) )
2517, 24syl5bi 209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( L `  G )  =/=  V  ->  ( L `  G
)  e.  Y ) )
2616, 25syld 42 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  ( L `  G )  ->  ( L `  G )  e.  Y ) )
2726imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =/=  ( L `
 G ) )  ->  ( L `  G )  e.  Y
)
282, 3, 4, 5, 6, 8, 27dochshpncl 31500 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =/=  ( L `
 G ) )  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =/=  ( L `
 G )  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  V ) )
291, 28mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =/=  ( L `
 G ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =  V )
3029ex 424 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  ( L `  G )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  V ) )
3130necon1d 2620 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  V  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( L `  G ) ) )
3212ex 424 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( L `  G )  =  V  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =  V ) )
3332necon3ad 2587 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  V  ->  -.  ( L `  G )  =  V ) )
3433, 24syld 42 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  V  ->  ( L `  G )  e.  Y ) )
3531, 34jcad 520 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  V  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( L `  G
)  /\  ( L `  G )  e.  Y
) ) )
362, 3, 4, 18, 6, 19, 7, 21dochlkr 31501 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  e.  Y  <->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( L `  G )  /\  ( L `  G )  e.  Y
) ) )
3735, 36sylibrd 226 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  V  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  e.  Y
) )
382, 4, 7dvhlmod 31226 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
3938adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  U  e.  LMod )
40 simpr 448 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  e.  Y )
415, 6, 39, 40lshpne 29098 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  V )
4241ex 424 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  e.  Y  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =/=  V
) )
4337, 42impbid 184 1  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  V  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   ` cfv 5395   Basecbs 13397   LModclmod 15878  LSHypclsh 29091  LFnlclfn 29173  LKerclk 29201   HLchlt 29466   LHypclh 30099   DVecHcdvh 31194   ocHcoch 31463
This theorem is referenced by:  dochkrshp2  31503  dochkrsat  31571
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-tpos 6416  df-undef 6480  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-fz 10977  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-0g 13655  df-poset 14331  df-plt 14343  df-lub 14359  df-glb 14360  df-join 14361  df-meet 14362  df-p0 14396  df-p1 14397  df-lat 14403  df-clat 14465  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-grp 14740  df-minusg 14741  df-sbg 14742  df-subg 14869  df-cntz 15044  df-lsm 15198  df-cmn 15342  df-abl 15343  df-mgp 15577  df-rng 15591  df-ur 15593  df-oppr 15656  df-dvdsr 15674  df-unit 15675  df-invr 15705  df-dvr 15716  df-drng 15765  df-lmod 15880  df-lss 15937  df-lsp 15976  df-lvec 16103  df-lsatoms 29092  df-lshyp 29093  df-lfl 29174  df-lkr 29202  df-oposet 29292  df-ol 29294  df-oml 29295  df-covers 29382  df-ats 29383  df-atl 29414  df-cvlat 29438  df-hlat 29467  df-llines 29613  df-lplanes 29614  df-lvols 29615  df-lines 29616  df-psubsp 29618  df-pmap 29619  df-padd 29911  df-lhyp 30103  df-laut 30104  df-ldil 30219  df-ltrn 30220  df-trl 30274  df-tendo 30870  df-edring 30872  df-disoa 31145  df-dvech 31195  df-dib 31255  df-dic 31289  df-dih 31345  df-doch 31464
  Copyright terms: Public domain W3C validator