Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochlkr Unicode version

Theorem dochlkr 31500
Description: Equivalent conditions for the closure of a kernel to be a hyperplane. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochlkr.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochlkr.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dochlkr.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochlkr.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
dochlkr.y  |-  Y  =  (LSHyp `  U )
dochlkr.l  |-  L  =  (LKer `  U )
dochlkr.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dochlkr.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
dochlkr  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  e.  Y  <->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( L `  G )  /\  ( L `  G )  e.  Y
) ) )

Proof of Theorem dochlkr
StepHypRef Expression
1 dochlkr.k . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 eqid 2387 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
3 dochlkr.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  (LFnl `  U )
4 dochlkr.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  (LKer `  U )
5 dochlkr.h . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 dochlkr.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
75, 6, 1dvhlmod 31225 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
8 dochlkr.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
92, 3, 4, 7, 8lkrssv 29211 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  ( Base `  U ) )
10 dochlkr.o . . . . . . . . 9  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
115, 6, 2, 10dochocss 31481 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( L `  G )  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( L `  G )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) ) )
121, 9, 11syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) ) )
1312adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  ( L `  G )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) ) )
14 dochlkr.y . . . . . . 7  |-  Y  =  (LSHyp `  U )
155, 6, 1dvhlvec 31224 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
1615adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  U  e.  LVec )
177adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  U  e.  LMod )
18 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  e.  Y )
192, 14, 17, 18lshpne 29097 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  ( Base `  U
) )
2019ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  e.  Y  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =/=  ( Base `  U ) ) )
212, 14, 3, 4, 15, 8lkrshpor 29222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( L `  G )  e.  Y  \/  ( L `  G
)  =  ( Base `  U ) ) )
2221ord 367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -.  ( L `
 G )  e.  Y  ->  ( L `  G )  =  (
Base `  U )
) )
23 fveq2 5668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L `  G )  =  ( Base `  U
)  ->  (  ._|_  `  ( L `  G
) )  =  ( 
._|_  `  ( Base `  U
) ) )
2423fveq2d 5672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L `  G )  =  ( Base `  U
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( Base `  U ) ) ) )
2524adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  (
Base `  U )
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( Base `  U ) ) ) )
261adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  (
Base `  U )
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
275, 6, 10, 2, 26dochoc1 31476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  (
Base `  U )
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( Base `  U ) ) )  =  ( Base `  U
) )
2825, 27eqtrd 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  (
Base `  U )
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  ( Base `  U ) )
2928ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( L `  G )  =  (
Base `  U )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( Base `  U
) ) )
3022, 29syld 42 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -.  ( L `
 G )  e.  Y  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  ( Base `  U ) ) )
3130necon1ad 2617 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  ( Base `  U
)  ->  ( L `  G )  e.  Y
) )
3220, 31syld 42 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  e.  Y  ->  ( L `  G )  e.  Y ) )
3332imp 419 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  ( L `  G )  e.  Y
)
3414, 16, 33, 18lshpcmp 29103 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  ( ( L `
 G )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  <->  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) ) ) )
3513, 34mpbid 202 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) ) )
3635eqcomd 2392 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =  ( L `  G ) )
3736, 33jca 519 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  ( L `
 G )  /\  ( L `  G )  e.  Y ) )
3837ex 424 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  e.  Y  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( L `  G
)  /\  ( L `  G )  e.  Y
) ) )
39 eleq1 2447 . . 3  |-  ( ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( L `  G )  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y  <->  ( L `  G )  e.  Y
) )
4039biimpar 472 . 2  |-  ( ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( L `  G
)  /\  ( L `  G )  e.  Y
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )
4138, 40impbid1 195 1  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  e.  Y  <->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( L `  G )  /\  ( L `  G )  e.  Y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550    C_ wss 3263   ` cfv 5394   Basecbs 13396   LModclmod 15877   LVecclvec 16101  LSHypclsh 29090  LFnlclfn 29172  LKerclk 29200   HLchlt 29465   LHypclh 30098   DVecHcdvh 31193   ocHcoch 31462
This theorem is referenced by:  dochkrshp  31501  dochkrshp2  31502  mapdordlem1a  31749  mapdordlem2  31752
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-tpos 6415  df-undef 6479  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-0g 13654  df-poset 14330  df-plt 14342  df-lub 14358  df-glb 14359  df-join 14360  df-meet 14361  df-p0 14395  df-p1 14396  df-lat 14402  df-clat 14464  df-mnd 14617  df-submnd 14666  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-sbg 14741  df-subg 14868  df-cntz 15043  df-lsm 15197  df-cmn 15341  df-abl 15342  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-ur 15592  df-oppr 15655  df-dvdsr 15673  df-unit 15674  df-invr 15704  df-dvr 15715  df-drng 15764  df-lmod 15879  df-lss 15936  df-lsp 15975  df-lvec 16102  df-lsatoms 29091  df-lshyp 29092  df-lfl 29173  df-lkr 29201  df-oposet 29291  df-ol 29293  df-oml 29294  df-covers 29381  df-ats 29382  df-atl 29413  df-cvlat 29437  df-hlat 29466  df-llines 29612  df-lplanes 29613  df-lvols 29614  df-lines 29615  df-psubsp 29617  df-pmap 29618  df-padd 29910  df-lhyp 30102  df-laut 30103  df-ldil 30218  df-ltrn 30219  df-trl 30273  df-tendo 30869  df-edring 30871  df-disoa 31144  df-dvech 31194  df-dib 31254  df-dic 31288  df-dih 31344  df-doch 31463
  Copyright terms: Public domain W3C validator