Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochlkr Unicode version

Theorem dochlkr 32197
Description: Equivalent conditions for the closure of a kernel to be a hyperplane. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochlkr.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochlkr.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dochlkr.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochlkr.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
dochlkr.y  |-  Y  =  (LSHyp `  U )
dochlkr.l  |-  L  =  (LKer `  U )
dochlkr.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dochlkr.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
dochlkr  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  e.  Y  <->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( L `  G )  /\  ( L `  G )  e.  Y
) ) )

Proof of Theorem dochlkr
StepHypRef Expression
1 dochlkr.k . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
3 dochlkr.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  (LFnl `  U )
4 dochlkr.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  (LKer `  U )
5 dochlkr.h . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 dochlkr.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
75, 6, 1dvhlmod 31922 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
8 dochlkr.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
92, 3, 4, 7, 8lkrssv 29908 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  ( Base `  U ) )
10 dochlkr.o . . . . . . . . 9  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
115, 6, 2, 10dochocss 32178 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( L `  G )  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( L `  G )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) ) )
121, 9, 11syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) ) )
1312adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  ( L `  G )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) ) )
14 dochlkr.y . . . . . . 7  |-  Y  =  (LSHyp `  U )
155, 6, 1dvhlvec 31921 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
1615adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  U  e.  LVec )
177adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  U  e.  LMod )
18 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  e.  Y )
192, 14, 17, 18lshpne 29794 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  ( Base `  U
) )
2019ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  e.  Y  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =/=  ( Base `  U ) ) )
212, 14, 3, 4, 15, 8lkrshpor 29919 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( L `  G )  e.  Y  \/  ( L `  G
)  =  ( Base `  U ) ) )
2221ord 366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -.  ( L `
 G )  e.  Y  ->  ( L `  G )  =  (
Base `  U )
) )
23 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L `  G )  =  ( Base `  U
)  ->  (  ._|_  `  ( L `  G
) )  =  ( 
._|_  `  ( Base `  U
) ) )
2423fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L `  G )  =  ( Base `  U
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( Base `  U ) ) ) )
2524adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  (
Base `  U )
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( Base `  U ) ) ) )
261adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  (
Base `  U )
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
275, 6, 10, 2, 26dochoc1 32173 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  (
Base `  U )
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( Base `  U ) ) )  =  ( Base `  U
) )
2825, 27eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( L `  G )  =  (
Base `  U )
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  ( Base `  U ) )
2928ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( L `  G )  =  (
Base `  U )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( Base `  U
) ) )
3022, 29syld 40 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -.  ( L `
 G )  e.  Y  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  ( Base `  U ) ) )
3130necon1ad 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =/=  ( Base `  U
)  ->  ( L `  G )  e.  Y
) )
3220, 31syld 40 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  e.  Y  ->  ( L `  G )  e.  Y ) )
3332imp 418 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  ( L `  G )  e.  Y
)
3414, 16, 33, 18lshpcmp 29800 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  ( ( L `
 G )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  <->  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) ) ) )
3513, 34mpbid 201 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  ( L `  G )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) ) )
3635eqcomd 2301 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  =  ( L `  G ) )
3736, 33jca 518 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  =  ( L `
 G )  /\  ( L `  G )  e.  Y ) )
3837ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  e.  Y  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( L `  G
)  /\  ( L `  G )  e.  Y
) ) )
39 eleq1 2356 . . 3  |-  ( ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( L `  G )  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y  <->  ( L `  G )  e.  Y
) )
4039biimpar 471 . 2  |-  ( ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( L `  G
)  /\  ( L `  G )  e.  Y
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) )  e.  Y )
4138, 40impbid1 194 1  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G ) ) )  e.  Y  <->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G )
) )  =  ( L `  G )  /\  ( L `  G )  e.  Y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    C_ wss 3165   ` cfv 5271   Basecbs 13164   LModclmod 15643   LVecclvec 15871  LSHypclsh 29787  LFnlclfn 29869  LKerclk 29897   HLchlt 30162   LHypclh 30795   DVecHcdvh 31890   ocHcoch 32159
This theorem is referenced by:  dochkrshp  32198  dochkrshp2  32199  mapdordlem1a  32446  mapdordlem2  32449
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-undef 6314  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-0g 13420  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-cntz 14809  df-lsm 14963  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-dvr 15481  df-drng 15530  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-lvec 15872  df-lsatoms 29788  df-lshyp 29789  df-lfl 29870  df-lkr 29898  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310  df-lvols 30311  df-lines 30312  df-psubsp 30314  df-pmap 30315  df-padd 30607  df-lhyp 30799  df-laut 30800  df-ldil 30915  df-ltrn 30916  df-trl 30970  df-tendo 31566  df-edring 31568  df-disoa 31841  df-dvech 31891  df-dib 31951  df-dic 31985  df-dih 32041  df-doch 32160
  Copyright terms: Public domain W3C validator