Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochn0nv Structured version   Unicode version

Theorem dochn0nv 32173
Description: An orthocomplement is nonzero iff the double orthocomplement is not the whole vector space. (Contributed by NM, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dochn0nv.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochn0nv.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dochn0nv.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochn0nv.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dochn0nv.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
dochn0nv.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dochn0nv.x  |-  ( ph  ->  X  C_  V )
Assertion
Ref Expression
dochn0nv  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  X
)  =/=  {  .0.  }  <-> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =/= 
V ) )

Proof of Theorem dochn0nv
StepHypRef Expression
1 dochn0nv.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 dochn0nv.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  C_  V )
3 dochn0nv.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( (
DIsoH `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoH `  K ) `  W )
5 dochn0nv.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
6 dochn0nv.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  U
)
7 dochn0nv.o . . . . . . 7  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
83, 4, 5, 6, 7dochcl 32151 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  X )  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)
91, 2, 8syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  X )  e.  ran  ( (
DIsoH `  K ) `  W ) )
103, 4, 7dochoc 32165 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  X
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )  =  ( 
._|_  `  X ) )
111, 9, 10syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )  =  ( 
._|_  `  X ) )
12 dochn0nv.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
133, 5, 7, 6, 12doch1 32157 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  ._|_  `  V )  =  {  .0.  }
)
141, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  V )  =  {  .0.  }
)
1511, 14eqeq12d 2450 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )  =  (  ._|_  `  V )  <-> 
(  ._|_  `  X )  =  {  .0.  } ) )
163, 5, 6, 7dochssv 32153 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  X )  C_  V
)
171, 2, 16syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  X ) 
C_  V )
183, 4, 5, 6, 7dochcl 32151 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  X
)  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  e. 
ran  ( ( DIsoH `  K ) `  W
) )
191, 17, 18syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  e. 
ran  ( ( DIsoH `  K ) `  W
) )
203, 4, 5, 6dih1rn 32085 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  V  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
211, 20syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
223, 4, 7, 1, 19, 21doch11 32171 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )  =  (  ._|_  `  V )  <-> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  V ) )
2315, 22bitr3d 247 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  X
)  =  {  .0.  }  <-> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  V ) )
2423necon3bid 2636 1  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  X
)  =/=  {  .0.  }  <-> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =/= 
V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599    C_ wss 3320   {csn 3814   ran crn 4879   ` cfv 5454   Basecbs 13469   0gc0g 13723   HLchlt 30148   LHypclh 30781   DVecHcdvh 31876   DIsoHcdih 32026   ocHcoch 32145
This theorem is referenced by:  dochsnnz  32248  dochsatshpb  32250  dochkrsat  32253  dochkrsat2  32254  dochsnkrlem1  32267
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-undef 6543  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-0g 13727  df-poset 14403  df-plt 14415  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-p0 14468  df-p1 14469  df-lat 14475  df-clat 14537  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-cntz 15116  df-lsm 15270  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-dvr 15788  df-drng 15837  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-lvec 16175  df-oposet 29974  df-ol 29976  df-oml 29977  df-covers 30064  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149  df-llines 30295  df-lplanes 30296  df-lvols 30297  df-lines 30298  df-psubsp 30300  df-pmap 30301  df-padd 30593  df-lhyp 30785  df-laut 30786  df-ldil 30901  df-ltrn 30902  df-trl 30956  df-tendo 31552  df-edring 31554  df-disoa 31827  df-dvech 31877  df-dib 31937  df-dic 31971  df-dih 32027  df-doch 32146
  Copyright terms: Public domain W3C validator