Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochsatshp Structured version   Unicode version

Theorem dochsatshp 32250
 Description: The orthocomplement of a subspace atom is a hyperplane. (Contributed by NM, 27-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochsatshp.h
dochsatshp.u
dochsatshp.o
dochsatshp.a LSAtoms
dochsatshp.y LSHyp
dochsatshp.k
dochsatshp.q
Assertion
Ref Expression
dochsatshp

Proof of Theorem dochsatshp
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dochsatshp.k . . 3
2 eqid 2437 . . . 4
3 dochsatshp.a . . . 4 LSAtoms
4 dochsatshp.h . . . . 5
5 dochsatshp.u . . . . 5
64, 5, 1dvhlmod 31909 . . . 4
7 dochsatshp.q . . . 4
82, 3, 6, 7lsatssv 29797 . . 3
9 eqid 2437 . . . 4
10 dochsatshp.o . . . 4
114, 5, 2, 9, 10dochlss 32153 . . 3
121, 8, 11syl2anc 644 . 2
13 eqid 2437 . . . 4
1413, 3, 6, 7lsatn0 29798 . . 3
154, 5, 10, 2, 13doch0 32157 . . . . . . 7
161, 15syl 16 . . . . . 6
1716eqeq2d 2448 . . . . 5
18 eqid 2437 . . . . . 6
194, 5, 18, 3dih1dimat 32129 . . . . . . 7
201, 7, 19syl2anc 644 . . . . . 6
214, 18, 5, 13dih0rn 32083 . . . . . . 7
221, 21syl 16 . . . . . 6
234, 18, 10, 1, 20, 22doch11 32172 . . . . 5
2417, 23bitr3d 248 . . . 4
2524necon3bid 2637 . . 3
2614, 25mpbird 225 . 2
27 eqid 2437 . . . . . 6
282, 27, 13, 3islsat 29790 . . . . 5
296, 28syl 16 . . . 4
307, 29mpbid 203 . . 3
31 eldifi 3470 . . . . . . 7
3231adantr 453 . . . . . 6
3332a1i 11 . . . . 5
349, 27lspid 16059 . . . . . . . . . . . 12
356, 12, 34syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11
3635uneq1d 3501 . . . . . . . . . 10
3736fveq2d 5733 . . . . . . . . 9
3837adantr 453 . . . . . . . 8
396adantr 453 . . . . . . . . 9
402, 9lssss 16014 . . . . . . . . . . 11
4112, 40syl 16 . . . . . . . . . 10
4241adantr 453 . . . . . . . . 9
4331snssd 3944 . . . . . . . . . . 11
4443adantr 453 . . . . . . . . . 10
4544adantl 454 . . . . . . . . 9
462, 27lspun 16064 . . . . . . . . 9
4739, 42, 45, 46syl3anc 1185 . . . . . . . 8
48 uneq2 3496 . . . . . . . . . . 11
4948fveq2d 5733 . . . . . . . . . 10
5049adantl 454 . . . . . . . . 9
5150adantl 454 . . . . . . . 8
5238, 47, 513eqtr4d 2479 . . . . . . 7
53 eqid 2437 . . . . . . . . . . 11 joinH joinH
54 eqid 2437 . . . . . . . . . . 11
554, 18, 5, 2, 10dochcl 32152 . . . . . . . . . . . 12
561, 8, 55syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11
574, 18, 53, 5, 54, 3, 1, 56, 7dihjat2 32230 . . . . . . . . . 10 joinH
584, 5, 2, 53, 1, 41, 8djhcom 32204 . . . . . . . . . 10 joinH joinH
599, 3, 6, 7lsatlssel 29796 . . . . . . . . . . 11
609, 27, 54lsmsp 16159 . . . . . . . . . . 11
616, 12, 59, 60syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10
6257, 58, 613eqtr3rd 2478 . . . . . . . . 9 joinH
634, 5, 2, 10, 53djhexmid 32210 . . . . . . . . . 10 joinH
641, 8, 63syl2anc 644 . . . . . . . . 9 joinH
6562, 64eqtrd 2469 . . . . . . . 8
6665adantr 453 . . . . . . 7
6752, 66eqtrd 2469 . . . . . 6
6867ex 425 . . . . 5
6933, 68jcad 521 . . . 4
7069reximdv2 2816 . . 3
7130, 70mpd 15 . 2
724, 5, 1dvhlvec 31908 . . 3
73 dochsatshp.y . . . 4 LSHyp
742, 27, 9, 73islshp 29778 . . 3
7572, 74syl 16 . 2
7612, 26, 71, 75mpbir3and 1138 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wne 2600  wrex 2707   cdif 3318   cun 3319   wss 3321  csn 3815   crn 4880  cfv 5455  (class class class)co 6082  cbs 13470  c0g 13724  clsm 15269  clmod 15951  clss 16009  clspn 16048  clvec 16175  LSAtomsclsa 29773  LSHypclsh 29774  chlt 30149  clh 30782  cdvh 31877  cdih 32027  coch 32146  joinHcdjh 32193 This theorem is referenced by:  dochsatshpb  32251  dochsnshp  32252  dochpolN  32289  lclkrlem2c  32308  lclkrlem2e  32310  mapdordlem2  32436 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-tpos 6480  df-undef 6544  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-fz 11045  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-0g 13728  df-poset 14404  df-plt 14416  df-lub 14432  df-glb 14433  df-join 14434  df-meet 14435  df-p0 14469  df-p1 14470  df-lat 14476  df-clat 14538  df-mnd 14691  df-submnd 14740  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-sbg 14815  df-subg 14942  df-cntz 15117  df-lsm 15271  df-cmn 15415  df-abl 15416  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-ur 15666  df-oppr 15729  df-dvdsr 15747  df-unit 15748  df-invr 15778  df-dvr 15789  df-drng 15838  df-lmod 15953  df-lss 16010  df-lsp 16049  df-lvec 16176  df-lsatoms 29775  df-lshyp 29776  df-oposet 29975  df-ol 29977  df-oml 29978  df-covers 30065  df-ats 30066  df-atl 30097  df-cvlat 30121  df-hlat 30150  df-llines 30296  df-lplanes 30297  df-lvols 30298  df-lines 30299  df-psubsp 30301  df-pmap 30302  df-padd 30594  df-lhyp 30786  df-laut 30787  df-ldil 30902  df-ltrn 30903  df-trl 30957  df-tgrp 31541  df-tendo 31553  df-edring 31555  df-dveca 31801  df-disoa 31828  df-dvech 31878  df-dib 31938  df-dic 31972  df-dih 32028  df-doch 32147  df-djh 32194
 Copyright terms: Public domain W3C validator