Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochshpncl Structured version   Unicode version

Theorem dochshpncl 32244
Description: If a hyperplane is not closed, its closure equals the vector space. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochshpncl.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochshpncl.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dochshpncl.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochshpncl.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dochshpncl.y  |-  Y  =  (LSHyp `  U )
dochshpncl.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dochshpncl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
dochshpncl  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =/=  X  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  V ) )

Proof of Theorem dochshpncl
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dochshpncl.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  Y )
2 dochshpncl.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  U
)
3 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( LSpan `  U )  =  (
LSpan `  U )
4 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
5 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( LSSum `  U )  =  (
LSSum `  U )
6 dochshpncl.y . . . . . . 7  |-  Y  =  (LSHyp `  U )
7 dochshpncl.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
8 dochshpncl.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
9 dochshpncl.k . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
107, 8, 9dvhlmod 31970 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
112, 3, 4, 5, 6, 10islshpsm 29840 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  e.  Y  <->  ( X  e.  ( LSubSp `  U )  /\  X  =/=  V  /\  E. v  e.  V  ( X
( LSSum `  U )
( ( LSpan `  U
) `  { v } ) )  =  V ) ) )
121, 11mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  e.  (
LSubSp `  U )  /\  X  =/=  V  /\  E. v  e.  V  ( X ( LSSum `  U
) ( ( LSpan `  U ) `  {
v } ) )  =  V ) )
1312simp3d 972 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. v  e.  V  ( X ( LSSum `  U
) ( ( LSpan `  U ) `  {
v } ) )  =  V )
1413adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =/=  X )  ->  E. v  e.  V  ( X ( LSSum `  U
) ( ( LSpan `  U ) `  {
v } ) )  =  V )
15 id 21 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  ( ph  /\  v  e.  V
) )
1615adantlr 697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =/=  X
)  /\  v  e.  V )  ->  ( ph  /\  v  e.  V
) )
17163adant3 978 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =/=  X
)  /\  v  e.  V  /\  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )  =  V )  ->  ( ph  /\  v  e.  V )
)
184, 6, 10, 1lshplss 29841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  ( LSubSp `  U ) )
192, 4lssss 16015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  X  C_  V
)
2018, 19syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  C_  V )
21 dochshpncl.o . . . . . . . . . . 11  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
227, 8, 2, 21dochocss 32226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )
239, 20, 22syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )
2423adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =/=  X )  ->  X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )
25243ad2ant1 979 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =/=  X
)  /\  v  e.  V  /\  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )  =  V )  ->  X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )
26 simp1r 983 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =/=  X
)  /\  v  e.  V  /\  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =/=  X )
2726necomd 2689 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =/=  X
)  /\  v  e.  V  /\  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )  =  V )  ->  X  =/=  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )
28 df-pss 3338 . . . . . . 7  |-  ( X 
C.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  <-> 
( X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  /\  X  =/=  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) ) )
2925, 27, 28sylanbrc 647 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =/=  X
)  /\  v  e.  V  /\  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )  =  V )  ->  X  C.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )
307, 8, 2, 21dochssv 32215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  X )  C_  V
)
319, 20, 30syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  X ) 
C_  V )
327, 8, 2, 21dochssv 32215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  X
)  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  V )
339, 31, 32syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  V )
3433adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =/=  X )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) 
C_  V )
35343ad2ant1 979 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =/=  X
)  /\  v  e.  V  /\  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) 
C_  V )
36 simp3 960 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =/=  X
)  /\  v  e.  V  /\  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )  =  V )  ->  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )  =  V )
3735, 36sseqtr4d 3387 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =/=  X
)  /\  v  e.  V  /\  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) 
C_  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) ) )
389adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
397, 8, 38dvhlvec 31969 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  U  e.  LVec )
4018adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  X  e.  ( LSubSp `  U )
)
417, 8, 2, 4, 21dochlss 32214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  X
)  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  e.  ( LSubSp `  U )
)
429, 31, 41syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  e.  ( LSubSp `  U )
)
4342adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  e.  (
LSubSp `  U ) )
44 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  v  e.  V )
452, 4, 3, 5, 39, 40, 43, 44lsmcv 16215 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  V )  /\  X  C.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) 
C_  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =  ( X ( LSSum `  U
) ( ( LSpan `  U ) `  {
v } ) ) )
4617, 29, 37, 45syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =/=  X
)  /\  v  e.  V  /\  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) ) )
4746, 36eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =/=  X
)  /\  v  e.  V  /\  ( X (
LSSum `  U ) ( ( LSpan `  U ) `  { v } ) )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  V )
4847rexlimdv3a 2834 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =/=  X )  ->  ( E. v  e.  V  ( X
( LSSum `  U )
( ( LSpan `  U
) `  { v } ) )  =  V  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  V ) )
4914, 48mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =/=  X )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  V )
50 simpr 449 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  V )
512, 6, 10, 1lshpne 29842 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =/=  V )
5251adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  V )  ->  X  =/=  V
)
5352necomd 2689 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  V )  ->  V  =/=  X
)
5450, 53eqnetrd 2621 . 2  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =/=  X )
5549, 54impbida 807 1  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =/=  X  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   E.wrex 2708    C_ wss 3322    C. wpss 3323   {csn 3816   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   LSSumclsm 15270   LSubSpclss 16010   LSpanclspn 16049  LSHypclsh 29835   HLchlt 30210   LHypclh 30843   DVecHcdvh 31938   ocHcoch 32207
This theorem is referenced by:  dochkrshp  32246  dochshpsat  32314
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-undef 6545  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-0g 13729  df-poset 14405  df-plt 14417  df-lub 14433  df-glb 14434  df-join 14435  df-meet 14436  df-p0 14470  df-p1 14471  df-lat 14477  df-clat 14539  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-subg 14943  df-cntz 15118  df-lsm 15272  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779  df-dvr 15790  df-drng 15839  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050  df-lvec 16177  df-lsatoms 29836  df-lshyp 29837  df-oposet 30036  df-ol 30038  df-oml 30039  df-covers 30126  df-ats 30127  df-atl 30158  df-cvlat 30182  df-hlat 30211  df-llines 30357  df-lplanes 30358  df-lvols 30359  df-lines 30360  df-psubsp 30362  df-pmap 30363  df-padd 30655  df-lhyp 30847  df-laut 30848  df-ldil 30963  df-ltrn 30964  df-trl 31018  df-tendo 31614  df-edring 31616  df-disoa 31889  df-dvech 31939  df-dib 31999  df-dic 32033  df-dih 32089  df-doch 32208
  Copyright terms: Public domain W3C validator