Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochshpsat Unicode version

Theorem dochshpsat 31462
Description: A hyperplane is closed iff its orthocomplement is an atom. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochshpsat.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochshpsat.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dochshpsat.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochshpsat.a  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
dochshpsat.y  |-  Y  =  (LSHyp `  U )
dochshpsat.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dochshpsat.x  |-  ( ph  ->  X  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
dochshpsat  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X  <->  (  ._|_  `  X )  e.  A
) )

Proof of Theorem dochshpsat
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )
2 dochshpsat.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  Y )
32adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )  ->  X  e.  Y
)
41, 3eqeltrd 2390 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  e.  Y )
5 dochshpsat.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 dochshpsat.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
7 dochshpsat.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
8 eqid 2316 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
9 dochshpsat.a . . . . 5  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
10 dochshpsat.y . . . . 5  |-  Y  =  (LSHyp `  U )
11 dochshpsat.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
125, 7, 11dvhlmod 31118 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
138, 10, 12, 2lshplss 28989 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ( LSubSp `  U ) )
14 eqid 2316 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
1514, 8lssss 15743 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  X  C_  ( Base `  U ) )
1613, 15syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  C_  ( Base `  U ) )
175, 7, 14, 8, 6dochlss 31362 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  ( Base `  U ) )  ->  (  ._|_  `  X
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
1811, 16, 17syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  X )  e.  ( LSubSp `  U
) )
195, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 18dochsatshpb 31460 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  X
)  e.  A  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  e.  Y ) )
2019adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )  ->  ( (  ._|_  `  X )  e.  A  <->  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  e.  Y
) )
214, 20mpbird 223 . 2  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )  ->  (  ._|_  `  X
)  e.  A )
22 eqid 2316 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
2312adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  X )  e.  A
)  ->  U  e.  LMod )
24 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  X )  e.  A
)  ->  (  ._|_  `  X )  e.  A
)
2522, 9, 23, 24lsatn0 29007 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  X )  e.  A
)  ->  (  ._|_  `  X )  =/=  {
( 0g `  U
) } )
2625neneqd 2495 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  X )  e.  A
)  ->  -.  (  ._|_  `  X )  =  { ( 0g `  U ) } )
2711adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  X )  e.  A
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
285, 7, 6, 14, 22doch0 31366 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  ._|_  `  { ( 0g `  U ) } )  =  (
Base `  U )
)
2927, 28syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  X )  e.  A
)  ->  (  ._|_  `  { ( 0g `  U ) } )  =  ( Base `  U
) )
3029eqeq2d 2327 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  X )  e.  A
)  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =  ( 
._|_  `  { ( 0g
`  U ) } )  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  ( Base `  U
) ) )
31 eqid 2316 . . . . . . 7  |-  ( (
DIsoH `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoH `  K ) `  W )
325, 31, 7, 14, 6dochcl 31361 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  ( Base `  U ) )  ->  (  ._|_  `  X
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
3311, 16, 32syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  X )  e.  ran  ( (
DIsoH `  K ) `  W ) )
345, 31, 7, 22dih0rn 31292 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  { ( 0g `  U ) }  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)
3511, 34syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { ( 0g `  U ) }  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)
365, 31, 6, 11, 33, 35doch11 31381 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  (  ._|_  `  {
( 0g `  U
) } )  <->  (  ._|_  `  X )  =  {
( 0g `  U
) } ) )
3736adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  X )  e.  A
)  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =  ( 
._|_  `  { ( 0g
`  U ) } )  <->  (  ._|_  `  X
)  =  { ( 0g `  U ) } ) )
3830, 37bitr3d 246 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  X )  e.  A
)  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =  (
Base `  U )  <->  ( 
._|_  `  X )  =  { ( 0g `  U ) } ) )
3926, 38mtbird 292 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  X )  e.  A
)  ->  -.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =  (
Base `  U )
)
405, 6, 7, 14, 10, 11, 2dochshpncl 31392 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =/=  X  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  ( Base `  U ) ) )
4140necon1bbid 2533 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  ( Base `  U )  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X ) )
4241adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  X )  e.  A
)  ->  ( -.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  ( Base `  U
)  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X ) )
4339, 42mpbid 201 . 2  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  X )  e.  A
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )
4421, 43impbida 805 1  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X  <->  (  ._|_  `  X )  e.  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701    C_ wss 3186   {csn 3674   ran crn 4727   ` cfv 5292   Basecbs 13195   0gc0g 13449   LModclmod 15676   LSubSpclss 15738  LSAtomsclsa 28982  LSHypclsh 28983   HLchlt 29358   LHypclh 29991   DVecHcdvh 31086   DIsoHcdih 31236   ocHcoch 31355
This theorem is referenced by:  mapdordlem2  31645
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-iin 3945  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-tpos 6276  df-undef 6340  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-fz 10830  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-sca 13271  df-vsca 13272  df-0g 13453  df-poset 14129  df-plt 14141  df-lub 14157  df-glb 14158  df-join 14159  df-meet 14160  df-p0 14194  df-p1 14195  df-lat 14201  df-clat 14263  df-mnd 14416  df-submnd 14465  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-sbg 14540  df-subg 14667  df-cntz 14842  df-lsm 14996  df-cmn 15140  df-abl 15141  df-mgp 15375  df-rng 15389  df-ur 15391  df-oppr 15454  df-dvdsr 15472  df-unit 15473  df-invr 15503  df-dvr 15514  df-drng 15563  df-lmod 15678  df-lss 15739  df-lsp 15778  df-lvec 15905  df-lsatoms 28984  df-lshyp 28985  df-oposet 29184  df-ol 29186  df-oml 29187  df-covers 29274  df-ats 29275  df-atl 29306  df-cvlat 29330  df-hlat 29359  df-llines 29505  df-lplanes 29506  df-lvols 29507  df-lines 29508  df-psubsp 29510  df-pmap 29511  df-padd 29803  df-lhyp 29995  df-laut 29996  df-ldil 30111  df-ltrn 30112  df-trl 30166  df-tgrp 30750  df-tendo 30762  df-edring 30764  df-dveca 31010  df-disoa 31037  df-dvech 31087  df-dib 31147  df-dic 31181  df-dih 31237  df-doch 31356  df-djh 31403
  Copyright terms: Public domain W3C validator