Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochshpsat Unicode version

Theorem dochshpsat 31644
Description: A hyperplane is closed iff its orthocomplement is an atom. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochshpsat.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochshpsat.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dochshpsat.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochshpsat.a  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
dochshpsat.y  |-  Y  =  (LSHyp `  U )
dochshpsat.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dochshpsat.x  |-  ( ph  ->  X  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
dochshpsat  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X  <->  (  ._|_  `  X )  e.  A
) )

Proof of Theorem dochshpsat
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )
2 dochshpsat.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  Y )
32adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )  ->  X  e.  Y
)
41, 3eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  e.  Y )
5 dochshpsat.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 dochshpsat.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
7 dochshpsat.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
8 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
9 dochshpsat.a . . . . 5  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
10 dochshpsat.y . . . . 5  |-  Y  =  (LSHyp `  U )
11 dochshpsat.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
125, 7, 11dvhlmod 31300 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
138, 10, 12, 2lshplss 29171 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ( LSubSp `  U ) )
14 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
1514, 8lssss 15694 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  X  C_  ( Base `  U ) )
1613, 15syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  C_  ( Base `  U ) )
175, 7, 14, 8, 6dochlss 31544 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  ( Base `  U ) )  ->  (  ._|_  `  X
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
1811, 16, 17syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  X )  e.  ( LSubSp `  U
) )
195, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 18dochsatshpb 31642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  X
)  e.  A  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  e.  Y ) )
2019adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )  ->  ( (  ._|_  `  X )  e.  A  <->  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  e.  Y
) )
214, 20mpbird 223 . 2  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )  ->  (  ._|_  `  X
)  e.  A )
22 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
2312adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  X )  e.  A
)  ->  U  e.  LMod )
24 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  X )  e.  A
)  ->  (  ._|_  `  X )  e.  A
)
2522, 9, 23, 24lsatn0 29189 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  X )  e.  A
)  ->  (  ._|_  `  X )  =/=  {
( 0g `  U
) } )
2625neneqd 2462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  X )  e.  A
)  ->  -.  (  ._|_  `  X )  =  { ( 0g `  U ) } )
2711adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  X )  e.  A
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
285, 7, 6, 14, 22doch0 31548 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  ._|_  `  { ( 0g `  U ) } )  =  (
Base `  U )
)
2927, 28syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  X )  e.  A
)  ->  (  ._|_  `  { ( 0g `  U ) } )  =  ( Base `  U
) )
3029eqeq2d 2294 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  X )  e.  A
)  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =  ( 
._|_  `  { ( 0g
`  U ) } )  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  ( Base `  U
) ) )
31 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( (
DIsoH `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoH `  K ) `  W )
325, 31, 7, 14, 6dochcl 31543 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  ( Base `  U ) )  ->  (  ._|_  `  X
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
3311, 16, 32syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  X )  e.  ran  ( (
DIsoH `  K ) `  W ) )
345, 31, 7, 22dih0rn 31474 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  { ( 0g `  U ) }  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)
3511, 34syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { ( 0g `  U ) }  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)
365, 31, 6, 11, 33, 35doch11 31563 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  (  ._|_  `  {
( 0g `  U
) } )  <->  (  ._|_  `  X )  =  {
( 0g `  U
) } ) )
3736adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  X )  e.  A
)  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =  ( 
._|_  `  { ( 0g
`  U ) } )  <->  (  ._|_  `  X
)  =  { ( 0g `  U ) } ) )
3830, 37bitr3d 246 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  X )  e.  A
)  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =  (
Base `  U )  <->  ( 
._|_  `  X )  =  { ( 0g `  U ) } ) )
3926, 38mtbird 292 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  X )  e.  A
)  ->  -.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =  (
Base `  U )
)
405, 6, 7, 14, 10, 11, 2dochshpncl 31574 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =/=  X  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  ( Base `  U ) ) )
4140necon1bbid 2500 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  ( Base `  U )  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X ) )
4241adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  X )  e.  A
)  ->  ( -.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  ( Base `  U
)  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X ) )
4339, 42mpbid 201 . 2  |-  ( (
ph  /\  (  ._|_  `  X )  e.  A
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )
4421, 43impbida 805 1  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X  <->  (  ._|_  `  X )  e.  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   {csn 3640   ran crn 4690   ` cfv 5255   Basecbs 13148   0gc0g 13400   LModclmod 15627   LSubSpclss 15689  LSAtomsclsa 29164  LSHypclsh 29165   HLchlt 29540   LHypclh 30173   DVecHcdvh 31268   DIsoHcdih 31418   ocHcoch 31537
This theorem is referenced by:  mapdordlem2  31827
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-undef 6298  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-0g 13404  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-cntz 14793  df-lsm 14947  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lvec 15856  df-lsatoms 29166  df-lshyp 29167  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689  df-lines 29690  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177  df-laut 30178  df-ldil 30293  df-ltrn 30294  df-trl 30348  df-tgrp 30932  df-tendo 30944  df-edring 30946  df-dveca 31192  df-disoa 31219  df-dvech 31269  df-dib 31329  df-dic 31363  df-dih 31419  df-doch 31538  df-djh 31585
  Copyright terms: Public domain W3C validator