Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochsnkr Unicode version

Theorem dochsnkr 31959
Description: A (closed) kernel expressed in terms of a nonzero vector in its orthocomplement. TODO: consolidate lemmas unless they're needed for something else (in which case break out as theorems) (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dochsnkr.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochsnkr.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dochsnkr.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochsnkr.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dochsnkr.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
dochsnkr.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
dochsnkr.l  |-  L  =  (LKer `  U )
dochsnkr.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dochsnkr.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
dochsnkr.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( ( 
._|_  `  ( L `  G ) )  \  {  .0.  } ) )
Assertion
Ref Expression
dochsnkr  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  =  (  ._|_  `  { X } ) )

Proof of Theorem dochsnkr
StepHypRef Expression
1 dochsnkr.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
2 eqid 2408 . . . 4  |-  ( LSpan `  U )  =  (
LSpan `  U )
3 eqid 2408 . . . 4  |-  (LSAtoms `  U
)  =  (LSAtoms `  U
)
4 dochsnkr.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 dochsnkr.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
6 dochsnkr.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
74, 5, 6dvhlvec 31596 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
8 dochsnkr.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
9 dochsnkr.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
10 dochsnkr.f . . . . 5  |-  F  =  (LFnl `  U )
11 dochsnkr.l . . . . 5  |-  L  =  (LKer `  U )
12 dochsnkr.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
13 dochsnkr.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( ( 
._|_  `  ( L `  G ) )  \  {  .0.  } ) )
144, 8, 5, 9, 1, 10, 11, 6, 12, 13, 3dochsnkrlem2 31957 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  ( L `
 G ) )  e.  (LSAtoms `  U
) )
1513eldifad 3296 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )
16 eldifsni 3892 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( (  ._|_  `  ( L `  G
) )  \  {  .0.  } )  ->  X  =/=  .0.  )
1713, 16syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
181, 2, 3, 7, 14, 15, 17lsatel 29492 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  ( L `
 G ) )  =  ( ( LSpan `  U ) `  { X } ) )
1918fveq2d 5695 . 2  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  (  ._|_  `  ( (
LSpan `  U ) `  { X } ) ) )
204, 8, 5, 9, 1, 10, 11, 6, 12, 13dochsnkrlem3 31958 . 2  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  G
) ) )  =  ( L `  G
) )
214, 5, 6dvhlmod 31597 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
229, 10, 11, 21, 12lkrssv 29583 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  V )
234, 5, 9, 8dochssv 31842 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( L `  G )  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  ( L `  G
) )  C_  V
)
246, 22, 23syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  ( L `
 G ) ) 
C_  V )
2524ssdifssd 3449 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  ( L `  G )
)  \  {  .0.  } )  C_  V )
2625, 13sseldd 3313 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2726snssd 3907 . . 3  |-  ( ph  ->  { X }  C_  V )
284, 5, 8, 9, 2, 6, 27dochocsp 31866 . 2  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  ( (
LSpan `  U ) `  { X } ) )  =  (  ._|_  `  { X } ) )
2919, 20, 283eqtr3d 2448 1  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  =  (  ._|_  `  { X } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571    \ cdif 3281    C_ wss 3284   {csn 3778   ` cfv 5417   Basecbs 13428   0gc0g 13682   LSpanclspn 16006  LSAtomsclsa 29461  LFnlclfn 29544  LKerclk 29572   HLchlt 29837   LHypclh 30470   DVecHcdvh 31565   ocHcoch 31834
This theorem is referenced by:  dochfln0  31964  lcfl6lem  31985
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-tpos 6442  df-undef 6506  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-fz 11004  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-0g 13686  df-poset 14362  df-plt 14374  df-lub 14390  df-glb 14391  df-join 14392  df-meet 14393  df-p0 14427  df-p1 14428  df-lat 14434  df-clat 14496  df-mnd 14649  df-submnd 14698  df-grp 14771  df-minusg 14772  df-sbg 14773  df-subg 14900  df-cntz 15075  df-lsm 15229  df-cmn 15373  df-abl 15374  df-mgp 15608  df-rng 15622  df-ur 15624  df-oppr 15687  df-dvdsr 15705  df-unit 15706  df-invr 15736  df-dvr 15747  df-drng 15796  df-lmod 15911  df-lss 15968  df-lsp 16007  df-lvec 16134  df-lsatoms 29463  df-lshyp 29464  df-lfl 29545  df-lkr 29573  df-oposet 29663  df-ol 29665  df-oml 29666  df-covers 29753  df-ats 29754  df-atl 29785  df-cvlat 29809  df-hlat 29838  df-llines 29984  df-lplanes 29985  df-lvols 29986  df-lines 29987  df-psubsp 29989  df-pmap 29990  df-padd 30282  df-lhyp 30474  df-laut 30475  df-ldil 30590  df-ltrn 30591  df-trl 30645  df-tgrp 31229  df-tendo 31241  df-edring 31243  df-dveca 31489  df-disoa 31516  df-dvech 31566  df-dib 31626  df-dic 31660  df-dih 31716  df-doch 31835  df-djh 31882
  Copyright terms: Public domain W3C validator