Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochval Unicode version

Theorem dochval 31541
Description: Subspace orthocomplement for  DVecH vector space. (Contributed by NM, 14-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochval.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dochval.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
dochval.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
dochval.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochval.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dochval.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochval.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dochval.n  |-  N  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
dochval  |-  ( ( ( K  e.  Y  /\  W  e.  H
)  /\  X  C_  V
)  ->  ( N `  X )  =  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  {
y  e.  B  |  X  C_  ( I `  y ) } ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, B    y, K    y, W    y, X
Allowed substitution hints:    U( y)    G( y)    H( y)    I( y)    N( y)    ._|_ ( y)    V( y)    Y( y)

Proof of Theorem dochval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dochval.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 dochval.g . . . . 5  |-  G  =  ( glb `  K
)
3 dochval.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
4 dochval.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 dochval.i . . . . 5  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
6 dochval.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
7 dochval.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
8 dochval.n . . . . 5  |-  N  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8dochfval 31540 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Y  /\  W  e.  H )  ->  N  =  ( x  e.  ~P V  |->  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  {
y  e.  B  |  x  C_  ( I `  y ) } ) ) ) ) )
109adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Y  /\  W  e.  H
)  /\  X  C_  V
)  ->  N  =  ( x  e.  ~P V  |->  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  x  C_  ( I `
 y ) } ) ) ) ) )
1110fveq1d 5527 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Y  /\  W  e.  H
)  /\  X  C_  V
)  ->  ( N `  X )  =  ( ( x  e.  ~P V  |->  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  x  C_  ( I `
 y ) } ) ) ) ) `
 X ) )
12 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  ( Base `  U )  e.  _V
137, 12eqeltri 2353 . . . . . 6  |-  V  e. 
_V
1413elpw2 4175 . . . . 5  |-  ( X  e.  ~P V  <->  X  C_  V
)
1514biimpri 197 . . . 4  |-  ( X 
C_  V  ->  X  e.  ~P V )
1615adantl 452 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Y  /\  W  e.  H
)  /\  X  C_  V
)  ->  X  e.  ~P V )
17 fvex 5539 . . 3  |-  ( I `
 (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  X  C_  ( I `  y
) } ) ) )  e.  _V
18 sseq1 3199 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
x  C_  ( I `  y )  <->  X  C_  (
I `  y )
) )
1918rabbidv 2780 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  { y  e.  B  |  x 
C_  ( I `  y ) }  =  { y  e.  B  |  X  C_  ( I `
 y ) } )
2019fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( G `  { y  e.  B  |  x  C_  ( I `  y
) } )  =  ( G `  {
y  e.  B  |  X  C_  ( I `  y ) } ) )
2120fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  x  C_  ( I `
 y ) } ) )  =  ( 
._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  X  C_  ( I `
 y ) } ) ) )
2221fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
I `  (  ._|_  `  ( G `  {
y  e.  B  |  x  C_  ( I `  y ) } ) ) )  =  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  {
y  e.  B  |  X  C_  ( I `  y ) } ) ) ) )
23 eqid 2283 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P V  |->  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  {
y  e.  B  |  x  C_  ( I `  y ) } ) ) ) )  =  ( x  e.  ~P V  |->  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  x  C_  ( I `
 y ) } ) ) ) )
2422, 23fvmptg 5600 . . 3  |-  ( ( X  e.  ~P V  /\  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  X  C_  ( I `
 y ) } ) ) )  e. 
_V )  ->  (
( x  e.  ~P V  |->  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  x  C_  ( I `
 y ) } ) ) ) ) `
 X )  =  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  X  C_  ( I `
 y ) } ) ) ) )
2516, 17, 24sylancl 643 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Y  /\  W  e.  H
)  /\  X  C_  V
)  ->  ( (
x  e.  ~P V  |->  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  x  C_  ( I `
 y ) } ) ) ) ) `
 X )  =  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  X  C_  ( I `
 y ) } ) ) ) )
2611, 25eqtrd 2315 1  |-  ( ( ( K  e.  Y  /\  W  e.  H
)  /\  X  C_  V
)  ->  ( N `  X )  =  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  {
y  e.  B  |  X  C_  ( I `  y ) } ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625    e. cmpt 4077   ` cfv 5255   Basecbs 13148   occoc 13216   glbcglb 14077   LHypclh 30173   DVecHcdvh 31268   DIsoHcdih 31418   ocHcoch 31537
This theorem is referenced by:  dochval2  31542  dochcl  31543  dochvalr  31547  dochss  31555
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-doch 31538
  Copyright terms: Public domain W3C validator