Theorem dochval 31846

Description: Subspace orthocomplement for DVecH vector space. (Contributed by NM, 14-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochval.b	|- B = ( Base ` K )
dochval.g	|- G = ( glb ` K )
dochval.o	|- ._|_ = ( oc ` K )
dochval.h	|- H = ( LHyp ` K )
dochval.i	|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
dochval.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dochval.v	|- V = ( Base ` U )
dochval.n	|- N = ( ( ocH ` K ) ` W )

Assertion

Ref	Expression
dochval	|- ( ( ( K e. Y /\ W e. H ) /\ X C_ V ) -> ( N ` X ) = ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | X C_ ( I ` y ) } ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, B   y, K   y, W   y, X

Allowed substitution hints:   U( y)   G( y)   H( y)   I( y)   N( y)   ._|_ ( y)   V( y)   Y( y)

Proof of Theorem dochval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochval.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` K )
2		dochval.g	. . . . 5 |- G = ( glb ` K )
3		dochval.o	. . . . 5 |- ._|_ = ( oc ` K )
4		dochval.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
5		dochval.i	. . . . 5 |- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
6		dochval.u	. . . . 5 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
7		dochval.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` U )
8		dochval.n	. . . . 5 |- N = ( ( ocH ` K ) ` W )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	dochfval 31845	. . . 4 |- ( ( K e. Y /\ W e. H ) -> N = ( x e. ~P V |-> ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | x C_ ( I ` y ) } ) ) ) ) )
10	9	adantr 452	. . 3 |- ( ( ( K e. Y /\ W e. H ) /\ X C_ V ) -> N = ( x e. ~P V |-> ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | x C_ ( I ` y ) } ) ) ) ) )
11	10	fveq1d 5697	. 2 |- ( ( ( K e. Y /\ W e. H ) /\ X C_ V ) -> ( N ` X ) = ( ( x e. ~P V |-> ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | x C_ ( I ` y ) } ) ) ) ) ` X ) )
12		fvex 5709	. . . . . . 7 |- ( Base ` U ) e. _V
13	7, 12	eqeltri 2482	. . . . . 6 |- V e. _V
14	13	elpw2 4332	. . . . 5 |- ( X e. ~P V <-> X C_ V )
15	14	biimpri 198	. . . 4 |- ( X C_ V -> X e. ~P V )
16	15	adantl 453	. . 3 |- ( ( ( K e. Y /\ W e. H ) /\ X C_ V ) -> X e. ~P V )
17		fvex 5709	. . 3 |- ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | X C_ ( I ` y ) } ) ) ) e. _V
18		sseq1 3337	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( x C_ ( I ` y ) <-> X C_ ( I ` y ) ) )
19	18	rabbidv 2916	. . . . . . 7 |- ( x = X -> { y e. B | x C_ ( I ` y ) } = { y e. B | X C_ ( I ` y ) } )
20	19	fveq2d 5699	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( G ` { y e. B | x C_ ( I ` y ) } ) = ( G ` { y e. B | X C_ ( I ` y ) } ) )
21	20	fveq2d 5699	. . . . 5 |- ( x = X -> ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | x C_ ( I ` y ) } ) ) = ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | X C_ ( I ` y ) } ) ) )
22	21	fveq2d 5699	. . . 4 |- ( x = X -> ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | x C_ ( I ` y ) } ) ) ) = ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | X C_ ( I ` y ) } ) ) ) )
23		eqid 2412	. . . 4 |- ( x e. ~P V |-> ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | x C_ ( I ` y ) } ) ) ) ) = ( x e. ~P V |-> ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | x C_ ( I ` y ) } ) ) ) )
24	22, 23	fvmptg 5771	. . 3 |- ( ( X e. ~P V /\ ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | X C_ ( I ` y ) } ) ) ) e. _V ) -> ( ( x e. ~P V |-> ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | x C_ ( I ` y ) } ) ) ) ) ` X ) = ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | X C_ ( I ` y ) } ) ) ) )
25	16, 17, 24	sylancl 644	. 2 |- ( ( ( K e. Y /\ W e. H ) /\ X C_ V ) -> ( ( x e. ~P V |-> ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | x C_ ( I ` y ) } ) ) ) ) ` X ) = ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | X C_ ( I ` y ) } ) ) ) )
26	11, 25	eqtrd 2444	1 |- ( ( ( K e. Y /\ W e. H ) /\ X C_ V ) -> ( N ` X ) = ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | X C_ ( I ` y ) } ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   {crab 2678   _Vcvv 2924   C_ wss 3288   ~Pcpw 3767   e. cmpt 4234   ` cfv 5421   Basecbs 13432   occoc 13500   glbcglb 14363   LHypclh 30478   DVecHcdvh 31573   DIsoHcdih 31723   ocHcoch 31842

This theorem is referenced by:  dochval2  31847  dochcl  31848  dochvalr  31852  dochss  31860

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-doch 31843