Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochval Unicode version

Theorem dochval 31846
Description: Subspace orthocomplement for  DVecH vector space. (Contributed by NM, 14-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochval.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dochval.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
dochval.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
dochval.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochval.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dochval.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochval.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dochval.n  |-  N  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
dochval  |-  ( ( ( K  e.  Y  /\  W  e.  H
)  /\  X  C_  V
)  ->  ( N `  X )  =  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  {
y  e.  B  |  X  C_  ( I `  y ) } ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, B    y, K    y, W    y, X
Allowed substitution hints:    U( y)    G( y)    H( y)    I( y)    N( y)    ._|_ ( y)    V( y)    Y( y)

Proof of Theorem dochval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dochval.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 dochval.g . . . . 5  |-  G  =  ( glb `  K
)
3 dochval.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
4 dochval.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 dochval.i . . . . 5  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
6 dochval.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
7 dochval.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
8 dochval.n . . . . 5  |-  N  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8dochfval 31845 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Y  /\  W  e.  H )  ->  N  =  ( x  e.  ~P V  |->  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  {
y  e.  B  |  x  C_  ( I `  y ) } ) ) ) ) )
109adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Y  /\  W  e.  H
)  /\  X  C_  V
)  ->  N  =  ( x  e.  ~P V  |->  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  x  C_  ( I `
 y ) } ) ) ) ) )
1110fveq1d 5697 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Y  /\  W  e.  H
)  /\  X  C_  V
)  ->  ( N `  X )  =  ( ( x  e.  ~P V  |->  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  x  C_  ( I `
 y ) } ) ) ) ) `
 X ) )
12 fvex 5709 . . . . . . 7  |-  ( Base `  U )  e.  _V
137, 12eqeltri 2482 . . . . . 6  |-  V  e. 
_V
1413elpw2 4332 . . . . 5  |-  ( X  e.  ~P V  <->  X  C_  V
)
1514biimpri 198 . . . 4  |-  ( X 
C_  V  ->  X  e.  ~P V )
1615adantl 453 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Y  /\  W  e.  H
)  /\  X  C_  V
)  ->  X  e.  ~P V )
17 fvex 5709 . . 3  |-  ( I `
 (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  X  C_  ( I `  y
) } ) ) )  e.  _V
18 sseq1 3337 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
x  C_  ( I `  y )  <->  X  C_  (
I `  y )
) )
1918rabbidv 2916 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  { y  e.  B  |  x 
C_  ( I `  y ) }  =  { y  e.  B  |  X  C_  ( I `
 y ) } )
2019fveq2d 5699 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( G `  { y  e.  B  |  x  C_  ( I `  y
) } )  =  ( G `  {
y  e.  B  |  X  C_  ( I `  y ) } ) )
2120fveq2d 5699 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  x  C_  ( I `
 y ) } ) )  =  ( 
._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  X  C_  ( I `
 y ) } ) ) )
2221fveq2d 5699 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
I `  (  ._|_  `  ( G `  {
y  e.  B  |  x  C_  ( I `  y ) } ) ) )  =  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  {
y  e.  B  |  X  C_  ( I `  y ) } ) ) ) )
23 eqid 2412 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P V  |->  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  {
y  e.  B  |  x  C_  ( I `  y ) } ) ) ) )  =  ( x  e.  ~P V  |->  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  x  C_  ( I `
 y ) } ) ) ) )
2422, 23fvmptg 5771 . . 3  |-  ( ( X  e.  ~P V  /\  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  X  C_  ( I `
 y ) } ) ) )  e. 
_V )  ->  (
( x  e.  ~P V  |->  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  x  C_  ( I `
 y ) } ) ) ) ) `
 X )  =  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  X  C_  ( I `
 y ) } ) ) ) )
2516, 17, 24sylancl 644 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Y  /\  W  e.  H
)  /\  X  C_  V
)  ->  ( (
x  e.  ~P V  |->  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  x  C_  ( I `
 y ) } ) ) ) ) `
 X )  =  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  { y  e.  B  |  X  C_  ( I `
 y ) } ) ) ) )
2611, 25eqtrd 2444 1  |-  ( ( ( K  e.  Y  /\  W  e.  H
)  /\  X  C_  V
)  ->  ( N `  X )  =  ( I `  (  ._|_  `  ( G `  {
y  e.  B  |  X  C_  ( I `  y ) } ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2678   _Vcvv 2924    C_ wss 3288   ~Pcpw 3767    e. cmpt 4234   ` cfv 5421   Basecbs 13432   occoc 13500   glbcglb 14363   LHypclh 30478   DVecHcdvh 31573   DIsoHcdih 31723   ocHcoch 31842
This theorem is referenced by:  dochval2  31847  dochcl  31848  dochvalr  31852  dochss  31860
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-doch 31843
  Copyright terms: Public domain W3C validator