Theorem dochval 31541

Description: Subspace orthocomplement for DVecH vector space. (Contributed by NM, 14-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochval.b	|- B = ( Base ` K )
dochval.g	|- G = ( glb ` K )
dochval.o	|- ._|_ = ( oc ` K )
dochval.h	|- H = ( LHyp ` K )
dochval.i	|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
dochval.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dochval.v	|- V = ( Base ` U )
dochval.n	|- N = ( ( ocH ` K ) ` W )

Assertion

Ref	Expression
dochval	|- ( ( ( K e. Y /\ W e. H ) /\ X C_ V ) -> ( N ` X ) = ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | X C_ ( I ` y ) } ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, B   y, K   y, W   y, X

Allowed substitution hints:   U( y)   G( y)   H( y)   I( y)   N( y)   ._|_ ( y)   V( y)   Y( y)

Proof of Theorem dochval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochval.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` K )
2		dochval.g	. . . . 5 |- G = ( glb ` K )
3		dochval.o	. . . . 5 |- ._|_ = ( oc ` K )
4		dochval.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
5		dochval.i	. . . . 5 |- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
6		dochval.u	. . . . 5 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
7		dochval.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` U )
8		dochval.n	. . . . 5 |- N = ( ( ocH ` K ) ` W )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	dochfval 31540	. . . 4 |- ( ( K e. Y /\ W e. H ) -> N = ( x e. ~P V |-> ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | x C_ ( I ` y ) } ) ) ) ) )
10	9	adantr 451	. . 3 |- ( ( ( K e. Y /\ W e. H ) /\ X C_ V ) -> N = ( x e. ~P V |-> ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | x C_ ( I ` y ) } ) ) ) ) )
11	10	fveq1d 5527	. 2 |- ( ( ( K e. Y /\ W e. H ) /\ X C_ V ) -> ( N ` X ) = ( ( x e. ~P V |-> ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | x C_ ( I ` y ) } ) ) ) ) ` X ) )
12		fvex 5539	. . . . . . 7 |- ( Base ` U ) e. _V
13	7, 12	eqeltri 2353	. . . . . 6 |- V e. _V
14	13	elpw2 4175	. . . . 5 |- ( X e. ~P V <-> X C_ V )
15	14	biimpri 197	. . . 4 |- ( X C_ V -> X e. ~P V )
16	15	adantl 452	. . 3 |- ( ( ( K e. Y /\ W e. H ) /\ X C_ V ) -> X e. ~P V )
17		fvex 5539	. . 3 |- ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | X C_ ( I ` y ) } ) ) ) e. _V
18		sseq1 3199	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( x C_ ( I ` y ) <-> X C_ ( I ` y ) ) )
19	18	rabbidv 2780	. . . . . . 7 |- ( x = X -> { y e. B | x C_ ( I ` y ) } = { y e. B | X C_ ( I ` y ) } )
20	19	fveq2d 5529	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( G ` { y e. B | x C_ ( I ` y ) } ) = ( G ` { y e. B | X C_ ( I ` y ) } ) )
21	20	fveq2d 5529	. . . . 5 |- ( x = X -> ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | x C_ ( I ` y ) } ) ) = ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | X C_ ( I ` y ) } ) ) )
22	21	fveq2d 5529	. . . 4 |- ( x = X -> ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | x C_ ( I ` y ) } ) ) ) = ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | X C_ ( I ` y ) } ) ) ) )
23		eqid 2283	. . . 4 |- ( x e. ~P V |-> ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | x C_ ( I ` y ) } ) ) ) ) = ( x e. ~P V |-> ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | x C_ ( I ` y ) } ) ) ) )
24	22, 23	fvmptg 5600	. . 3 |- ( ( X e. ~P V /\ ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | X C_ ( I ` y ) } ) ) ) e. _V ) -> ( ( x e. ~P V |-> ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | x C_ ( I ` y ) } ) ) ) ) ` X ) = ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | X C_ ( I ` y ) } ) ) ) )
25	16, 17, 24	sylancl 643	. 2 |- ( ( ( K e. Y /\ W e. H ) /\ X C_ V ) -> ( ( x e. ~P V |-> ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | x C_ ( I ` y ) } ) ) ) ) ` X ) = ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | X C_ ( I ` y ) } ) ) ) )
26	11, 25	eqtrd 2315	1 |- ( ( ( K e. Y /\ W e. H ) /\ X C_ V ) -> ( N ` X ) = ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | X C_ ( I ` y ) } ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 358   = wceq 1623   e. wcel 1684   {crab 2547   _Vcvv 2788   C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   e. cmpt 4077   ` cfv 5255   Basecbs 13148   occoc 13216   glbcglb 14077   LHypclh 30173   DVecHcdvh 31268   DIsoHcdih 31418   ocHcoch 31537

This theorem is referenced by:  dochval2  31542  dochcl  31543  dochvalr  31547  dochss  31555

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-doch 31538