Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochvalr3 Unicode version

Theorem dochvalr3 31371
Description: Orthocomplement of a closed subspace. (Contributed by NM, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dochvalr3.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
dochvalr3.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochvalr3.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dochvalr3.n  |-  N  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dochvalr3.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dochvalr3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ran  I
)
Assertion
Ref Expression
dochvalr3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  ( `' I `  X ) )  =  ( `' I `  ( N `
 X ) ) )

Proof of Theorem dochvalr3
StepHypRef Expression
1 dochvalr3.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 dochvalr3.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ran  I
)
3 dochvalr3.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 eqid 2316 . . . . . . 7  |-  ( (
DVecH `  K ) `  W )  =  ( ( DVecH `  K ) `  W )
5 dochvalr3.i . . . . . . 7  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
6 eqid 2316 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  =  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)
73, 4, 5, 6dihrnss 31286 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  X  C_  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) )
81, 2, 7syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) )
9 dochvalr3.n . . . . . 6  |-  N  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
103, 5, 4, 6, 9dochcl 31361 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) ) )  -> 
( N `  X
)  e.  ran  I
)
111, 8, 10syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  X
)  e.  ran  I
)
123, 5dihcnvid2 31281 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( N `  X )  e.  ran  I )  ->  (
I `  ( `' I `  ( N `  X ) ) )  =  ( N `  X ) )
131, 11, 12syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  ( `' I `  ( N `
 X ) ) )  =  ( N `
 X ) )
14 dochvalr3.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
1514, 3, 5, 9dochvalr 31365 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  ( N `  X )  =  ( I `  (  ._|_  `  ( `' I `  X )
) ) )
161, 2, 15syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  X
)  =  ( I `
 (  ._|_  `  ( `' I `  X ) ) ) )
1713, 16eqtr2d 2349 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  (  ._|_  `  ( `' I `  X ) ) )  =  ( I `  ( `' I `  ( N `
 X ) ) ) )
181simpld 445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  HL )
19 hlop 29370 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
2018, 19syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  OP )
21 eqid 2316 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2221, 3, 5dihcnvcl 31279 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  ( `' I `  X )  e.  ( Base `  K
) )
231, 2, 22syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' I `  X )  e.  (
Base `  K )
)
2421, 14opoccl 29202 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( `' I `  X )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (  ._|_  `  ( `' I `  X ) )  e.  ( Base `  K
) )
2520, 23, 24syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  ( `' I `  X ) )  e.  ( Base `  K ) )
2621, 3, 5dihcnvcl 31279 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( N `  X )  e.  ran  I )  ->  ( `' I `  ( N `
 X ) )  e.  ( Base `  K
) )
271, 11, 26syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' I `  ( N `  X ) )  e.  ( Base `  K ) )
2821, 3, 5dih11 31273 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  ( `' I `  X ) )  e.  ( Base `  K )  /\  ( `' I `  ( N `
 X ) )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( I `  (  ._|_  `  ( `' I `  X ) ) )  =  ( I `  ( `' I `  ( N `
 X ) ) )  <->  (  ._|_  `  ( `' I `  X ) )  =  ( `' I `  ( N `
 X ) ) ) )
291, 25, 27, 28syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( I `  (  ._|_  `  ( `' I `  X )
) )  =  ( I `  ( `' I `  ( N `
 X ) ) )  <->  (  ._|_  `  ( `' I `  X ) )  =  ( `' I `  ( N `
 X ) ) ) )
3017, 29mpbid 201 1  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  ( `' I `  X ) )  =  ( `' I `  ( N `
 X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701    C_ wss 3186   `'ccnv 4725   ran crn 4727   ` cfv 5292   Basecbs 13195   occoc 13263   OPcops 29180   HLchlt 29358   LHypclh 29991   DVecHcdvh 31086   DIsoHcdih 31236   ocHcoch 31355
This theorem is referenced by:  dihoml4c  31384
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-iin 3945  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-tpos 6276  df-undef 6340  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-fz 10830  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-sca 13271  df-vsca 13272  df-0g 13453  df-poset 14129  df-plt 14141  df-lub 14157  df-glb 14158  df-join 14159  df-meet 14160  df-p0 14194  df-p1 14195  df-lat 14201  df-clat 14263  df-mnd 14416  df-submnd 14465  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-sbg 14540  df-subg 14667  df-cntz 14842  df-lsm 14996  df-cmn 15140  df-abl 15141  df-mgp 15375  df-rng 15389  df-ur 15391  df-oppr 15454  df-dvdsr 15472  df-unit 15473  df-invr 15503  df-dvr 15514  df-drng 15563  df-lmod 15678  df-lss 15739  df-lsp 15778  df-lvec 15905  df-oposet 29184  df-ol 29186  df-oml 29187  df-covers 29274  df-ats 29275  df-atl 29306  df-cvlat 29330  df-hlat 29359  df-llines 29505  df-lplanes 29506  df-lvols 29507  df-lines 29508  df-psubsp 29510  df-pmap 29511  df-padd 29803  df-lhyp 29995  df-laut 29996  df-ldil 30111  df-ltrn 30112  df-trl 30166  df-tendo 30762  df-edring 30764  df-disoa 31037  df-dvech 31087  df-dib 31147  df-dic 31181  df-dih 31237  df-doch 31356
  Copyright terms: Public domain W3C validator