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Theorem dom2lem 6917
Description: A mapping (first hypothesis) that is one-to-one (second hypothesis) implies its domain is dominated by its codomain. (Contributed by NM, 24-Jul-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
dom2d.1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  C  e.  B ) )
dom2d.2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( C  =  D  <->  x  =  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
dom2lem  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A -1-1-> B )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    y, C    x, D    ph, x, y
Allowed substitution hints:    C( x)    D( y)

Proof of Theorem dom2lem
StepHypRef Expression
1 dom2d.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  C  e.  B ) )
21ralrimiv 2638 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  C  e.  B )
3 eqid 2296 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C )
43fmpt 5697 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  C  e.  B  <->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> B )
52, 4sylib 188 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> B )
61imp 418 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  B )
73fvmpt2 5624 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  C  e.  B )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  x )  =  C )
87adantll 694 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  e.  B )  ->  (
( x  e.  A  |->  C ) `  x
)  =  C )
96, 8mpdan 649 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  C ) `  x
)  =  C )
109adantrr 697 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  C ) `  x )  =  C )
11 nfv 1609 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( ph  /\  y  e.  A )
12 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  C )
13 nfcv 2432 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
y
1412, 13nffv 5548 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  C ) `  y )
1514nfeq1 2441 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( ( x  e.  A  |->  C ) `  y )  =  D
1611, 15nfim 1781 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ( ph  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  y )  =  D )
17 eleq1 2356 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
1817anbi2d 684 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  x  e.  A )  <->  ( ph  /\  y  e.  A ) ) )
1918imbi1d 308 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  A )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  x )  =  C )  <->  ( ( ph  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C ) `
 x )  =  C ) ) )
2017anbi1d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  <->  ( y  e.  A  /\  y  e.  A ) ) )
21 anidm 625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  e.  A )  <->  y  e.  A )
2220, 21syl6bb 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  <->  y  e.  A
) )
2322anbi2d 684 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  <->  ( ph  /\  y  e.  A )
) )
24 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  |->  C ) `  x
)  =  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  y ) )
2524adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) ) )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C ) `
 x )  =  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  y ) )
26 dom2d.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( C  =  D  <->  x  =  y ) ) )
2726imp 418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( C  =  D  <-> 
x  =  y ) )
2827biimparc 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) ) )  ->  C  =  D )
2925, 28eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) ) )  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  C ) `  x )  =  C  <->  ( (
x  e.  A  |->  C ) `  y )  =  D ) )
3029ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  C ) `  x
)  =  C  <->  ( (
x  e.  A  |->  C ) `  y )  =  D ) ) )
3123, 30sylbird 226 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  C ) `  x )  =  C  <-> 
( ( x  e.  A  |->  C ) `  y )  =  D ) ) )
3231pm5.74d 238 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  x )  =  C )  <->  ( ( ph  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C ) `
 y )  =  D ) ) )
3319, 32bitrd 244 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  A )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  x )  =  C )  <->  ( ( ph  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C ) `
 y )  =  D ) ) )
3416, 33, 9chvar 1939 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  C ) `  y
)  =  D )
3534adantrl 696 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  C ) `  y )  =  D )
3610, 35eqeq12d 2310 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( ( x  e.  A  |->  C ) `
 x )  =  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  y )  <->  C  =  D ) )
3727biimpd 198 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( C  =  D  ->  x  =  y ) )
3836, 37sylbid 206 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( ( x  e.  A  |->  C ) `
 x )  =  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  y )  ->  x  =  y ) )
3938ralrimivva 2648 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( ( x  e.  A  |->  C ) `
 x )  =  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  y )  ->  x  =  y ) )
40 nfcv 2432 . . 3  |-  F/_ y
( x  e.  A  |->  C )
4112, 40dff13f 5800 . 2  |-  ( ( x  e.  A  |->  C ) : A -1-1-> B  <->  ( ( x  e.  A  |->  C ) : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( ( x  e.  A  |->  C ) `  x )  =  ( ( x  e.  A  |->  C ) `
 y )  ->  x  =  y )
) )
425, 39, 41sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A -1-1-> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    e. cmpt 4093   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   ` cfv 5271
This theorem is referenced by:  dom2d  6918  dom3d  6919  ixpfi2  7170  infxpenc2lem1  7662  dfac12lem2  7786  4sqlem11  13018  odf1o1  14899  odf1o2  14900  dis2ndc  17202  hauspwpwf1  17698  itg1addlem4  19070  basellem3  20336  fsumvma  20468  dchrisum0fno1  20676
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fv 5279
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