MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domentr Unicode version

Theorem domentr 7133
Description: Transitivity of dominance and equinumerosity. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
domentr  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  B  ~~  C )  ->  A  ~<_  C )

Proof of Theorem domentr
StepHypRef Expression
1 endom 7101 . 2  |-  ( B 
~~  C  ->  B  ~<_  C )
2 domtr 7127 . 2  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  B  ~<_  C )  ->  A  ~<_  C )
31, 2sylan2 461 1  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  B  ~~  C )  ->  A  ~<_  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   class class class wbr 4180    ~~ cen 7073    ~<_ cdom 7074
This theorem is referenced by:  domdifsn  7158  xpdom1g  7172  domunsncan  7175  sdomdomtr  7207  domen2  7217  mapdom2  7245  php  7258  unxpdom2  7284  sucxpdom  7285  xpfir  7298  fodomfi  7352  cardsdomelir  7824  infxpenlem  7859  infpwfien  7907  inffien  7908  mappwen  7957  iunfictbso  7959  cdaxpdom  8033  cdainflem  8035  cdainf  8036  cdalepw  8040  ficardun2  8047  unctb  8049  infcdaabs  8050  infunabs  8051  infcda  8052  infdif  8053  infxpdom  8055  pwcdadom  8060  infmap2  8062  fictb  8089  cfslb  8110  fin1a2lem11  8254  unirnfdomd  8406  iunctb  8413  alephreg  8421  cfpwsdom  8423  gchdomtri  8468  canthp1lem1  8491  pwfseqlem5  8502  pwxpndom  8505  gchcdaidm  8507  gchxpidm  8508  gchhar  8510  gchpwdom  8513  inttsk  8613  inar1  8614  tskcard  8620  znnen  12775  qnnen  12776  rpnnen  12789  rexpen  12790  aleph1irr  12808  cygctb  15464  1stcfb  17469  2ndcredom  17474  2ndcctbss  17479  hauspwdom  17525  tx1stc  17643  tx2ndc  17644  met1stc  18512  met2ndci  18513  re2ndc  18793  opnreen  18823  ovolctb2  19349  ovolfi  19351  uniiccdif  19431  dyadmbl  19453  opnmblALT  19456  vitali  19466  mbfimaopnlem  19508  mbfsup  19517  aannenlem3  20208  xpct  24063  fnct  24066  dmvlsiga  24473  mblfinlem  26151  finminlem  26219  pellexlem4  26793  pellexlem5  26794
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-f1o 5428  df-en 7077  df-dom 7078
  Copyright terms: Public domain W3C validator