MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domentr Structured version   Unicode version

Theorem domentr 7169
Description: Transitivity of dominance and equinumerosity. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
domentr  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  B  ~~  C )  ->  A  ~<_  C )

Proof of Theorem domentr
StepHypRef Expression
1 endom 7137 . 2  |-  ( B 
~~  C  ->  B  ~<_  C )
2 domtr 7163 . 2  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  B  ~<_  C )  ->  A  ~<_  C )
31, 2sylan2 462 1  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  B  ~~  C )  ->  A  ~<_  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360   class class class wbr 4215    ~~ cen 7109    ~<_ cdom 7110
This theorem is referenced by:  domdifsn  7194  xpdom1g  7208  domunsncan  7211  sdomdomtr  7243  domen2  7253  mapdom2  7281  php  7294  unxpdom2  7320  sucxpdom  7321  xpfir  7334  fodomfi  7388  cardsdomelir  7865  infxpenlem  7900  infpwfien  7948  inffien  7949  mappwen  7998  iunfictbso  8000  cdaxpdom  8074  cdainflem  8076  cdainf  8077  cdalepw  8081  ficardun2  8088  unctb  8090  infcdaabs  8091  infunabs  8092  infcda  8093  infdif  8094  infxpdom  8096  pwcdadom  8101  infmap2  8103  fictb  8130  cfslb  8151  fin1a2lem11  8295  unirnfdomd  8447  iunctb  8454  alephreg  8462  cfpwsdom  8464  gchdomtri  8509  canthp1lem1  8532  pwfseqlem5  8543  pwxpndom  8546  gchcdaidm  8548  gchxpidm  8549  gchpwdom  8550  gchhar  8559  inttsk  8654  inar1  8655  tskcard  8661  znnen  12817  qnnen  12818  rpnnen  12831  rexpen  12832  aleph1irr  12850  cygctb  15506  1stcfb  17513  2ndcredom  17518  2ndcctbss  17523  hauspwdom  17569  tx1stc  17687  tx2ndc  17688  met1stc  18556  met2ndci  18557  re2ndc  18837  opnreen  18867  ovolctb2  19393  ovolfi  19395  uniiccdif  19475  dyadmbl  19497  opnmblALT  19500  vitali  19510  mbfimaopnlem  19550  mbfsup  19559  aannenlem3  20252  xpct  24107  fnct  24110  dmvlsiga  24517  mblfinlem1  26255  finminlem  26335  pellexlem4  26909  pellexlem5  26910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-f1o 5464  df-en 7113  df-dom 7114
  Copyright terms: Public domain W3C validator