MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domentr Unicode version

Theorem domentr 6920
Description: Transitivity of dominance and equinumerosity. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
domentr  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  B  ~~  C )  ->  A  ~<_  C )

Proof of Theorem domentr
StepHypRef Expression
1 endom 6888 . 2  |-  ( B 
~~  C  ->  B  ~<_  C )
2 domtr 6914 . 2  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  B  ~<_  C )  ->  A  ~<_  C )
31, 2sylan2 460 1  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  B  ~~  C )  ->  A  ~<_  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   class class class wbr 4023    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861
This theorem is referenced by:  domdifsn  6945  xpdom1g  6959  domunsncan  6962  sdomdomtr  6994  domen2  7004  mapdom2  7032  php  7045  unxpdom2  7071  sucxpdom  7072  xpfir  7085  fodomfi  7135  cardsdomelir  7606  infxpenlem  7641  infpwfien  7689  inffien  7690  mappwen  7739  iunfictbso  7741  cdaxpdom  7815  cdainflem  7817  cdainf  7818  cdalepw  7822  ficardun2  7829  unctb  7831  infcdaabs  7832  infunabs  7833  infcda  7834  infdif  7835  infxpdom  7837  pwcdadom  7842  infmap2  7844  fictb  7871  cfslb  7892  fin1a2lem11  8036  unirnfdomd  8189  iunctb  8196  alephreg  8204  cfpwsdom  8206  gchdomtri  8251  canthp1lem1  8274  pwfseqlem5  8285  pwxpndom  8288  gchcdaidm  8290  gchxpidm  8291  gchhar  8293  gchpwdom  8296  inttsk  8396  inar1  8397  tskcard  8403  znnen  12491  qnnen  12492  rpnnen  12505  rexpen  12506  aleph1irr  12524  cygctb  15178  1stcfb  17171  2ndcredom  17176  2ndcctbss  17181  hauspwdom  17227  tx1stc  17344  tx2ndc  17345  met1stc  18067  met2ndci  18068  re2ndc  18307  opnreen  18336  ovolctb2  18851  ovolfi  18853  uniiccdif  18933  dyadmbl  18955  opnmblALT  18958  vitali  18968  mbfimaopnlem  19010  mbfsup  19019  aannenlem3  19710  xpct  23338  fnct  23341  dmvlsiga  23490  finminlem  26231  pellexlem4  26917  pellexlem5  26918
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-f1o 5262  df-en 6864  df-dom 6865
  Copyright terms: Public domain W3C validator