MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domentr Unicode version

Theorem domentr 7008
Description: Transitivity of dominance and equinumerosity. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
domentr  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  B  ~~  C )  ->  A  ~<_  C )

Proof of Theorem domentr
StepHypRef Expression
1 endom 6976 . 2  |-  ( B 
~~  C  ->  B  ~<_  C )
2 domtr 7002 . 2  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  B  ~<_  C )  ->  A  ~<_  C )
31, 2sylan2 460 1  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  B  ~~  C )  ->  A  ~<_  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   class class class wbr 4104    ~~ cen 6948    ~<_ cdom 6949
This theorem is referenced by:  domdifsn  7033  xpdom1g  7047  domunsncan  7050  sdomdomtr  7082  domen2  7092  mapdom2  7120  php  7133  unxpdom2  7159  sucxpdom  7160  xpfir  7173  fodomfi  7225  cardsdomelir  7696  infxpenlem  7731  infpwfien  7779  inffien  7780  mappwen  7829  iunfictbso  7831  cdaxpdom  7905  cdainflem  7907  cdainf  7908  cdalepw  7912  ficardun2  7919  unctb  7921  infcdaabs  7922  infunabs  7923  infcda  7924  infdif  7925  infxpdom  7927  pwcdadom  7932  infmap2  7934  fictb  7961  cfslb  7982  fin1a2lem11  8126  unirnfdomd  8279  iunctb  8286  alephreg  8294  cfpwsdom  8296  gchdomtri  8341  canthp1lem1  8364  pwfseqlem5  8375  pwxpndom  8378  gchcdaidm  8380  gchxpidm  8381  gchhar  8383  gchpwdom  8386  inttsk  8486  inar1  8487  tskcard  8493  znnen  12588  qnnen  12589  rpnnen  12602  rexpen  12603  aleph1irr  12621  cygctb  15277  1stcfb  17277  2ndcredom  17282  2ndcctbss  17287  hauspwdom  17333  tx1stc  17450  tx2ndc  17451  met1stc  18169  met2ndci  18170  re2ndc  18409  opnreen  18439  ovolctb2  18955  ovolfi  18957  uniiccdif  19037  dyadmbl  19059  opnmblALT  19062  vitali  19072  mbfimaopnlem  19114  mbfsup  19123  aannenlem3  19814  xpct  23306  fnct  23309  dmvlsiga  23778  finminlem  25555  pellexlem4  26240  pellexlem5  26241
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-br 4105  df-opab 4159  df-id 4391  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-f1o 5344  df-en 6952  df-dom 6953
  Copyright terms: Public domain W3C validator