MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domfi Unicode version

Theorem domfi 7084
Description: A set dominated by a finite set is finite. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
domfi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  ~<_  A )  ->  B  e.  Fin )

Proof of Theorem domfi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domeng 6876 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( B  ~<_  A  <->  E. x
( B  ~~  x  /\  x  C_  A ) ) )
2 ssfi 7083 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  x  C_  A )  ->  x  e.  Fin )
32adantrl 696 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( B  ~~  x  /\  x  C_  A ) )  ->  x  e.  Fin )
4 enfii 7080 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  B  ~~  x )  ->  B  e.  Fin )
54adantrr 697 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  ( B  ~~  x  /\  x  C_  A ) )  ->  B  e.  Fin )
63, 5sylancom 648 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( B  ~~  x  /\  x  C_  A ) )  ->  B  e.  Fin )
76ex 423 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( B  ~~  x  /\  x  C_  A )  ->  B  e.  Fin ) )
87exlimdv 1664 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( E. x ( B  ~~  x  /\  x  C_  A
)  ->  B  e.  Fin ) )
91, 8sylbid 206 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( B  ~<_  A  ->  B  e.  Fin ) )
109imp 418 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  ~<_  A )  ->  B  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1528    e. wcel 1684    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861   Fincfn 6863
This theorem is referenced by:  xpfir  7085  dmfi  7139  fofi  7142  pwfilem  7150  pwfi  7151  sdom2en01  7928  isfin1-2  8011  fin67  8021  fin1a2lem9  8034  gchcda1  8278  hashdomi  11362  cmpsub  17127  ufinffr  17624  alexsubALT  17745  ovolicc2lem4  18879  aannenlem1  19708  harinf  27127  kelac2lem  27162  symggen  27411
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-fin 6867
  Copyright terms: Public domain W3C validator