MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domfi Structured version   Unicode version

Theorem domfi 7332
Description: A set dominated by a finite set is finite. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
domfi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  ~<_  A )  ->  B  e.  Fin )

Proof of Theorem domfi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domeng 7124 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( B  ~<_  A  <->  E. x
( B  ~~  x  /\  x  C_  A ) ) )
2 ssfi 7331 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  x  C_  A )  ->  x  e.  Fin )
32adantrl 698 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( B  ~~  x  /\  x  C_  A ) )  ->  x  e.  Fin )
4 enfii 7328 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  B  ~~  x )  ->  B  e.  Fin )
54adantrr 699 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  ( B  ~~  x  /\  x  C_  A ) )  ->  B  e.  Fin )
63, 5sylancom 650 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( B  ~~  x  /\  x  C_  A ) )  ->  B  e.  Fin )
76ex 425 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( B  ~~  x  /\  x  C_  A )  ->  B  e.  Fin ) )
87exlimdv 1647 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( E. x ( B  ~~  x  /\  x  C_  A
)  ->  B  e.  Fin ) )
91, 8sylbid 208 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( B  ~<_  A  ->  B  e.  Fin ) )
109imp 420 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  ~<_  A )  ->  B  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360   E.wex 1551    e. wcel 1726    C_ wss 3322   class class class wbr 4214    ~~ cen 7108    ~<_ cdom 7109   Fincfn 7111
This theorem is referenced by:  xpfir  7333  dmfi  7391  fofi  7394  pwfilem  7403  pwfi  7404  sdom2en01  8184  isfin1-2  8267  fin67  8277  fin1a2lem9  8290  gchcda1  8533  hashdomi  11656  cmpsub  17465  ufinffr  17963  alexsubALT  18084  ovolicc2lem4  19418  aannenlem1  20247  harinf  27107  kelac2lem  27141  symggen  27390
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-fin 7115
  Copyright terms: Public domain W3C validator