Theorem dominf 4915

Description: A nonempty set that is a subset of its union is infinite.

Hypothesis

Ref	Expression
dominf.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
dominf	|- ((A =/= (/) /\ A (_ U.A) -> om ~<_ A)

Proof of Theorem dominf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dominf.1	. 2 |- A e. V
2		neeq1 1593	. . . 4 |- (x = A -> (x =/= (/) <-> A =/= (/)))
3		id 59	. . . . 5 |- (x = A -> x = A)
4		unieq 2514	. . . . 5 |- (x = A -> U.x = U.A)
5	3, 4	sseq12d 2093	. . . 4 |- (x = A -> (x (_ U.x <-> A (_ U.A))
6	2, 5	anbi12d 630	. . 3 |- (x = A -> ((x =/= (/) /\ x (_ U.x) <-> (A =/= (/) /\ A (_ U.A)))
7		breq2 2628	. . 3 |- (x = A -> (om ~<_ x <-> om ~<_ A))
8	6, 7	imbi12d 628	. 2 |- (x = A -> (((x =/= (/) /\ x (_ U.x) -> om ~<_ x) <-> ((A =/= (/) /\ A (_ U.A) -> om ~<_ A)))
9		eqid 1478	. . . 4 |- {<.y, z>. | z = {w e. x | (w i^i x) (_ y}} = {<.y, z>. | z = {w e. x | (w i^i x) (_ y}}
10		eqid 1478	. . . 4 |- (rec({<.y, z>. | z = {w e. x | (w i^i x) (_ y}}, (/)) |` om) = (rec({<.y, z>. | z = {w e. x | (w i^i x) (_ y}}, (/)) |` om)
11	9, 10, 1, 1	inf3lem6 4627	. . 3 |- ((x =/= (/) /\ x (_ U.x) -> (rec({<.y, z>. | z = {w e. x | (w i^i x) (_ y}}, (/)) |` om):om-1-1->P~x)
12		visset 1816	. . . . 5 |- x e. V
13	12	pwex 2751	. . . 4 |- P~x e. V
14		f1dom2g 4403	. . . 4 |- (P~x e. V -> ((rec({<.y, z>. | z = {w e. x | (w i^i x) (_ y}}, (/)) |` om):om-1-1->P~x -> om ~<_ P~x))
15	13, 14	ax-mp 7	. . 3 |- ((rec({<.y, z>. | z = {w e. x | (w i^i x) (_ y}}, (/)) |` om):om-1-1->P~x -> om ~<_ P~x)
16		pwfi 4579	. . . . . . 7 |- (x e. Fin <-> P~x e. Fin)
17	16	biimp 151	. . . . . 6 |- (x e. Fin -> P~x e. Fin)
18		isfinite 4643	. . . . . 6 |- (x ~< om <-> x e. Fin)
19		isfinite 4643	. . . . . 6 |- (P~x ~< om <-> P~x e. Fin)
20	17, 18, 19	3imtr4 219	. . . . 5 |- (x ~< om -> P~x ~< om)
21	20	con3i 98	. . . 4 |- (-. P~x ~< om -> -. x ~< om)
22		omex 4636	. . . . 5 |- om e. V
23		domtri 4848	. . . . 5 |- ((om e. V /\ P~x e. V) -> (om ~<_ P~x <-> -. P~x ~< om))
24	22, 13, 23	mp2an 699	. . . 4 |- (om ~<_ P~x <-> -. P~x ~< om)
25		domtri 4848	. . . . 5 |- ((om e. V /\ x e. V) -> (om ~<_ x <-> -. x ~< om))
26	22, 12, 25	mp2an 699	. . . 4 |- (om ~<_ x <-> -. x ~< om)
27	21, 24, 26	3imtr4 219	. . 3 |- (om ~<_ P~x -> om ~<_ x)
28	11, 15, 27	3syl 20	. 2 |- ((x =/= (/) /\ x (_ U.x) -> om ~<_ x)
29	1, 8, 28	vtocl 1845	1 |- ((A =/= (/) /\ A (_ U.A) -> om ~<_ A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960   =/= wne 1588  {crab 1651  Vcvv 1814   i^i cin 2049   (_ wss 2050  (/)c0 2283  P~cpw 2405  U.cuni 2507   class class class wbr 2624  {copab 2671  omcom 3137   |` cres 3178  -1-1->wf1 3185  reccrdg 3937   ~<_ cdom 4371   ~< csdm 4372  Fincfn 4373

This theorem is referenced by:  axgroth3 8774

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634  ax-ac 4754

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1o 4139  df-2o 4140  df-oadd 4141  df-er 4267  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-fin 4377  df-card 4826

Copyright terms: Public domain