MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dominfac Structured version   Unicode version

Theorem dominfac 8448
Description: A nonempty set that is a subset of its union is infinite. This version is proved from ax-ac 8339. See dominf 8325 for a version proved from ax-cc 8315. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
dominfac.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
dominfac  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  C_ 
U. A )  ->  om 
~<_  A )

Proof of Theorem dominfac
Dummy variables  x  y  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dominfac.1 . 2  |-  A  e. 
_V
2 neeq1 2609 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
x  =/=  (/)  <->  A  =/=  (/) ) )
3 id 20 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  x  =  A )
4 unieq 4024 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  U. x  =  U. A )
53, 4sseq12d 3377 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
x  C_  U. x  <->  A 
C_  U. A ) )
62, 5anbi12d 692 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )  <->  ( A  =/=  (/)  /\  A  C_  U. A ) ) )
7 breq2 4216 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( om 
~<_  x  <->  om  ~<_  A ) )
86, 7imbi12d 312 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_  U. x
)  ->  om  ~<_  x )  <-> 
( ( A  =/=  (/)  /\  A  C_  U. A
)  ->  om  ~<_  A ) ) )
9 eqid 2436 . . . 4  |-  ( y  e.  _V  |->  { w  e.  x  |  (
w  i^i  x )  C_  y } )  =  ( y  e.  _V  |->  { w  e.  x  |  ( w  i^i  x )  C_  y } )
10 eqid 2436 . . . 4  |-  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  { w  e.  x  |  ( w  i^i  x )  C_  y } ) ,  (/) )  |`  om )  =  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  { w  e.  x  |  ( w  i^i  x
)  C_  y }
) ,  (/) )  |`  om )
119, 10, 1, 1inf3lem6 7588 . . 3  |-  ( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )  -> 
( rec ( ( y  e.  _V  |->  { w  e.  x  |  ( w  i^i  x
)  C_  y }
) ,  (/) )  |`  om ) : om -1-1-> ~P x )
12 vex 2959 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
1312pwex 4382 . . . 4  |-  ~P x  e.  _V
1413f1dom 7129 . . 3  |-  ( ( rec ( ( y  e.  _V  |->  { w  e.  x  |  (
w  i^i  x )  C_  y } ) ,  (/) )  |`  om ) : om -1-1-> ~P x  ->  om  ~<_  ~P x
)
15 pwfi 7402 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  Fin  <->  ~P x  e.  Fin )
1615biimpi 187 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Fin  ->  ~P x  e.  Fin )
17 isfinite 7607 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Fin  <->  x  ~<  om )
18 isfinite 7607 . . . . . 6  |-  ( ~P x  e.  Fin  <->  ~P x  ~<  om )
1916, 17, 183imtr3i 257 . . . . 5  |-  ( x 
~<  om  ->  ~P x  ~<  om )
2019con3i 129 . . . 4  |-  ( -. 
~P x  ~<  om  ->  -.  x  ~<  om )
21 omex 7598 . . . . 5  |-  om  e.  _V
22 domtri 8431 . . . . 5  |-  ( ( om  e.  _V  /\  ~P x  e.  _V )  ->  ( om  ~<_  ~P x  <->  -. 
~P x  ~<  om )
)
2321, 13, 22mp2an 654 . . . 4  |-  ( om  ~<_  ~P x  <->  -.  ~P x  ~<  om )
24 domtri 8431 . . . . 5  |-  ( ( om  e.  _V  /\  x  e.  _V )  ->  ( om  ~<_  x  <->  -.  x  ~<  om ) )
2521, 12, 24mp2an 654 . . . 4  |-  ( om  ~<_  x  <->  -.  x  ~<  om )
2620, 23, 253imtr4i 258 . . 3  |-  ( om  ~<_  ~P x  ->  om  ~<_  x )
2711, 14, 263syl 19 . 2  |-  ( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )  ->  om 
~<_  x )
281, 8, 27vtocl 3006 1  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  C_ 
U. A )  ->  om 
~<_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   {crab 2709   _Vcvv 2956    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ~Pcpw 3799   U.cuni 4015   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   omcom 4845    |` cres 4880   -1-1->wf1 5451   reccrdg 6667    ~<_ cdom 7107    ~< csdm 7108   Fincfn 7109
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-reg 7560  ax-inf2 7596  ax-ac2 8343
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-ac 7997
  Copyright terms: Public domain W3C validator