Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dominfac Structured version   Unicode version

Theorem dominfac 8448
 Description: A nonempty set that is a subset of its union is infinite. This version is proved from ax-ac 8339. See dominf 8325 for a version proved from ax-cc 8315. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
dominfac.1
Assertion
Ref Expression
dominfac

Proof of Theorem dominfac
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dominfac.1 . 2
2 neeq1 2609 . . . 4
3 id 20 . . . . 5
4 unieq 4024 . . . . 5
53, 4sseq12d 3377 . . . 4
62, 5anbi12d 692 . . 3
7 breq2 4216 . . 3
86, 7imbi12d 312 . 2
9 eqid 2436 . . . 4
10 eqid 2436 . . . 4
119, 10, 1, 1inf3lem6 7588 . . 3
12 vex 2959 . . . . 5
1312pwex 4382 . . . 4
1413f1dom 7129 . . 3
15 pwfi 7402 . . . . . . 7
1615biimpi 187 . . . . . 6
17 isfinite 7607 . . . . . 6
18 isfinite 7607 . . . . . 6
1916, 17, 183imtr3i 257 . . . . 5
2019con3i 129 . . . 4
21 omex 7598 . . . . 5
22 domtri 8431 . . . . 5
2321, 13, 22mp2an 654 . . . 4
24 domtri 8431 . . . . 5
2521, 12, 24mp2an 654 . . . 4
2620, 23, 253imtr4i 258 . . 3
2711, 14, 263syl 19 . 2
281, 8, 27vtocl 3006 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  crab 2709  cvv 2956   cin 3319   wss 3320  c0 3628  cpw 3799  cuni 4015   class class class wbr 4212   cmpt 4266  com 4845   cres 4880  wf1 5451  crdg 6667   cdom 7107   csdm 7108  cfn 7109 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-reg 7560  ax-inf2 7596  ax-ac2 8343 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-ac 7997
 Copyright terms: Public domain W3C validator