MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dominfac Unicode version

Theorem dominfac 8195
Description: A nonempty set that is a subset of its union is infinite. This version is proved from ax-ac 8085. See dominf 8071 for a version proved from ax-cc 8061. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
dominfac.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
dominfac  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  C_ 
U. A )  ->  om 
~<_  A )

Proof of Theorem dominfac
Dummy variables  x  y  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dominfac.1 . 2  |-  A  e. 
_V
2 neeq1 2454 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
x  =/=  (/)  <->  A  =/=  (/) ) )
3 id 19 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  x  =  A )
4 unieq 3836 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  U. x  =  U. A )
53, 4sseq12d 3207 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
x  C_  U. x  <->  A 
C_  U. A ) )
62, 5anbi12d 691 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )  <->  ( A  =/=  (/)  /\  A  C_  U. A ) ) )
7 breq2 4027 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( om 
~<_  x  <->  om  ~<_  A ) )
86, 7imbi12d 311 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_  U. x
)  ->  om  ~<_  x )  <-> 
( ( A  =/=  (/)  /\  A  C_  U. A
)  ->  om  ~<_  A ) ) )
9 eqid 2283 . . . 4  |-  ( y  e.  _V  |->  { w  e.  x  |  (
w  i^i  x )  C_  y } )  =  ( y  e.  _V  |->  { w  e.  x  |  ( w  i^i  x )  C_  y } )
10 eqid 2283 . . . 4  |-  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  { w  e.  x  |  ( w  i^i  x )  C_  y } ) ,  (/) )  |`  om )  =  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  { w  e.  x  |  ( w  i^i  x
)  C_  y }
) ,  (/) )  |`  om )
119, 10, 1, 1inf3lem6 7334 . . 3  |-  ( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )  -> 
( rec ( ( y  e.  _V  |->  { w  e.  x  |  ( w  i^i  x
)  C_  y }
) ,  (/) )  |`  om ) : om -1-1-> ~P x )
12 vex 2791 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
1312pwex 4193 . . . 4  |-  ~P x  e.  _V
1413f1dom 6883 . . 3  |-  ( ( rec ( ( y  e.  _V  |->  { w  e.  x  |  (
w  i^i  x )  C_  y } ) ,  (/) )  |`  om ) : om -1-1-> ~P x  ->  om  ~<_  ~P x
)
15 pwfi 7151 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  Fin  <->  ~P x  e.  Fin )
1615biimpi 186 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Fin  ->  ~P x  e.  Fin )
17 isfinite 7353 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Fin  <->  x  ~<  om )
18 isfinite 7353 . . . . . 6  |-  ( ~P x  e.  Fin  <->  ~P x  ~<  om )
1916, 17, 183imtr3i 256 . . . . 5  |-  ( x 
~<  om  ->  ~P x  ~<  om )
2019con3i 127 . . . 4  |-  ( -. 
~P x  ~<  om  ->  -.  x  ~<  om )
21 omex 7344 . . . . 5  |-  om  e.  _V
22 domtri 8178 . . . . 5  |-  ( ( om  e.  _V  /\  ~P x  e.  _V )  ->  ( om  ~<_  ~P x  <->  -. 
~P x  ~<  om )
)
2321, 13, 22mp2an 653 . . . 4  |-  ( om  ~<_  ~P x  <->  -.  ~P x  ~<  om )
24 domtri 8178 . . . . 5  |-  ( ( om  e.  _V  /\  x  e.  _V )  ->  ( om  ~<_  x  <->  -.  x  ~<  om ) )
2521, 12, 24mp2an 653 . . . 4  |-  ( om  ~<_  x  <->  -.  x  ~<  om )
2620, 23, 253imtr4i 257 . . 3  |-  ( om  ~<_  ~P x  ->  om  ~<_  x )
2711, 14, 263syl 18 . 2  |-  ( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )  ->  om 
~<_  x )
281, 8, 27vtocl 2838 1  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  C_ 
U. A )  ->  om 
~<_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   {crab 2547   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   omcom 4656    |` cres 4691   -1-1->wf1 5252   reccrdg 6422    ~<_ cdom 6861    ~< csdm 6862   Fincfn 6863
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-reg 7306  ax-inf2 7342  ax-ac2 8089
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-ac 7743
  Copyright terms: Public domain W3C validator