MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dominfac Unicode version

Theorem dominfac 8211
Description: A nonempty set that is a subset of its union is infinite. This version is proved from ax-ac 8101. See dominf 8087 for a version proved from ax-cc 8077. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
dominfac.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
dominfac  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  C_ 
U. A )  ->  om 
~<_  A )

Proof of Theorem dominfac
Dummy variables  x  y  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dominfac.1 . 2  |-  A  e. 
_V
2 neeq1 2467 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
x  =/=  (/)  <->  A  =/=  (/) ) )
3 id 19 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  x  =  A )
4 unieq 3852 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  U. x  =  U. A )
53, 4sseq12d 3220 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
x  C_  U. x  <->  A 
C_  U. A ) )
62, 5anbi12d 691 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )  <->  ( A  =/=  (/)  /\  A  C_  U. A ) ) )
7 breq2 4043 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( om 
~<_  x  <->  om  ~<_  A ) )
86, 7imbi12d 311 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_  U. x
)  ->  om  ~<_  x )  <-> 
( ( A  =/=  (/)  /\  A  C_  U. A
)  ->  om  ~<_  A ) ) )
9 eqid 2296 . . . 4  |-  ( y  e.  _V  |->  { w  e.  x  |  (
w  i^i  x )  C_  y } )  =  ( y  e.  _V  |->  { w  e.  x  |  ( w  i^i  x )  C_  y } )
10 eqid 2296 . . . 4  |-  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  { w  e.  x  |  ( w  i^i  x )  C_  y } ) ,  (/) )  |`  om )  =  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  { w  e.  x  |  ( w  i^i  x
)  C_  y }
) ,  (/) )  |`  om )
119, 10, 1, 1inf3lem6 7350 . . 3  |-  ( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )  -> 
( rec ( ( y  e.  _V  |->  { w  e.  x  |  ( w  i^i  x
)  C_  y }
) ,  (/) )  |`  om ) : om -1-1-> ~P x )
12 vex 2804 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
1312pwex 4209 . . . 4  |-  ~P x  e.  _V
1413f1dom 6899 . . 3  |-  ( ( rec ( ( y  e.  _V  |->  { w  e.  x  |  (
w  i^i  x )  C_  y } ) ,  (/) )  |`  om ) : om -1-1-> ~P x  ->  om  ~<_  ~P x
)
15 pwfi 7167 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  Fin  <->  ~P x  e.  Fin )
1615biimpi 186 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Fin  ->  ~P x  e.  Fin )
17 isfinite 7369 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Fin  <->  x  ~<  om )
18 isfinite 7369 . . . . . 6  |-  ( ~P x  e.  Fin  <->  ~P x  ~<  om )
1916, 17, 183imtr3i 256 . . . . 5  |-  ( x 
~<  om  ->  ~P x  ~<  om )
2019con3i 127 . . . 4  |-  ( -. 
~P x  ~<  om  ->  -.  x  ~<  om )
21 omex 7360 . . . . 5  |-  om  e.  _V
22 domtri 8194 . . . . 5  |-  ( ( om  e.  _V  /\  ~P x  e.  _V )  ->  ( om  ~<_  ~P x  <->  -. 
~P x  ~<  om )
)
2321, 13, 22mp2an 653 . . . 4  |-  ( om  ~<_  ~P x  <->  -.  ~P x  ~<  om )
24 domtri 8194 . . . . 5  |-  ( ( om  e.  _V  /\  x  e.  _V )  ->  ( om  ~<_  x  <->  -.  x  ~<  om ) )
2521, 12, 24mp2an 653 . . . 4  |-  ( om  ~<_  x  <->  -.  x  ~<  om )
2620, 23, 253imtr4i 257 . . 3  |-  ( om  ~<_  ~P x  ->  om  ~<_  x )
2711, 14, 263syl 18 . 2  |-  ( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )  ->  om 
~<_  x )
281, 8, 27vtocl 2851 1  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  C_ 
U. A )  ->  om 
~<_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   {crab 2560   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   omcom 4672    |` cres 4707   -1-1->wf1 5268   reccrdg 6438    ~<_ cdom 6877    ~< csdm 6878   Fincfn 6879
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-reg 7322  ax-inf2 7358  ax-ac2 8105
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-ac 7759
  Copyright terms: Public domain W3C validator