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Theorem domintrefc 25228
Description: The domain of the intersection of a family of reflexive classes is the intersection of the domains. (Contributed by FL, 15-Oct-2012.)
Assertion
Ref Expression
domintrefc  |-  ( A. i  e.  A  A. x  e.  dom  R  x R x  ->  dom  |^|_ i  e.  A  R  =  |^|_ i  e.  A  dom  R )
Distinct variable group:    x, R
Allowed substitution hints:    A( x, i)    R( i)

Proof of Theorem domintrefc
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmiin 4938 . . 3  |-  dom  |^|_ i  e.  A  R  C_  |^|_ i  e.  A  dom  R
21a1i 10 . 2  |-  ( A. i  e.  A  A. x  e.  dom  R  x R x  ->  dom  |^|_ i  e.  A  R  C_ 
|^|_ i  e.  A  dom  R )
3 vex 2804 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
4 eliin 3926 . . . . . 6  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  |^|_ i  e.  A  dom  R  <->  A. i  e.  A  y  e.  dom  R ) )
53, 4ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( y  e.  |^|_ i  e.  A  dom  R  <->  A. i  e.  A  y  e.  dom  R )
6 r19.26 2688 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  A  (
y  e.  dom  R  /\  A. x  e.  dom  R  x R x )  <-> 
( A. i  e.  A  y  e.  dom  R  /\  A. i  e.  A  A. x  e. 
dom  R  x R x ) )
7 id 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
87, 7breq12d 4052 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x R x  <->  y R
y ) )
98rspcva 2895 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  dom  R  /\  A. x  e.  dom  R  x R x )  ->  y R y )
109ralimi 2631 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  A  (
y  e.  dom  R  /\  A. x  e.  dom  R  x R x )  ->  A. i  e.  A  y R y )
11 df-br 4040 . . . . . . . . . 10  |-  ( y R y  <->  <. y ,  y >.  e.  R
)
1211ralbii 2580 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  A  y R y  <->  A. i  e.  A  <. y ,  y >.  e.  R
)
13 opex 4253 . . . . . . . . . . 11  |-  <. y ,  y >.  e.  _V
14 eliin 3926 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
y ,  y >.  e.  _V  ->  ( <. y ,  y >.  e.  |^|_ i  e.  A  R  <->  A. i  e.  A  <. y ,  y >.  e.  R
) )
1514bicomd 192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
y ,  y >.  e.  _V  ->  ( A. i  e.  A  <. y ,  y >.  e.  R  <->  <.
y ,  y >.  e.  |^|_ i  e.  A  R ) )
1613, 15ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. i  e.  A  <. y ,  y >.  e.  R  <->  <.
y ,  y >.  e.  |^|_ i  e.  A  R )
173, 3opeldm 4898 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
y ,  y >.  e.  |^|_ i  e.  A  R  ->  y  e.  dom  |^|_ i  e.  A  R
)
1816, 17sylbi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  A  <. y ,  y >.  e.  R  ->  y  e.  dom  |^|_ i  e.  A  R )
1912, 18sylbi 187 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  A  y R y  ->  y  e.  dom  |^|_ i  e.  A  R )
2010, 19syl 15 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  A  (
y  e.  dom  R  /\  A. x  e.  dom  R  x R x )  ->  y  e.  dom  |^|_ i  e.  A  R
)
216, 20sylbir 204 . . . . . 6  |-  ( ( A. i  e.  A  y  e.  dom  R  /\  A. i  e.  A  A. x  e.  dom  R  x R x )  -> 
y  e.  dom  |^|_ i  e.  A  R )
2221ex 423 . . . . 5  |-  ( A. i  e.  A  y  e.  dom  R  ->  ( A. i  e.  A  A. x  e.  dom  R  x R x  -> 
y  e.  dom  |^|_ i  e.  A  R )
)
235, 22sylbi 187 . . . 4  |-  ( y  e.  |^|_ i  e.  A  dom  R  ->  ( A. i  e.  A  A. x  e.  dom  R  x R x  ->  y  e.  dom  |^|_ i  e.  A  R ) )
2423com12 27 . . 3  |-  ( A. i  e.  A  A. x  e.  dom  R  x R x  ->  (
y  e.  |^|_ i  e.  A  dom  R  -> 
y  e.  dom  |^|_ i  e.  A  R )
)
2524ssrdv 3198 . 2  |-  ( A. i  e.  A  A. x  e.  dom  R  x R x  ->  |^|_ i  e.  A  dom  R  C_  dom  |^|_ i  e.  A  R )
262, 25eqssd 3209 1  |-  ( A. i  e.  A  A. x  e.  dom  R  x R x  ->  dom  |^|_ i  e.  A  R  =  |^|_ i  e.  A  dom  R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   <.cop 3656   |^|_ciin 3922   class class class wbr 4039   dom cdm 4705
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-iin 3924  df-br 4040  df-dm 4715
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