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Theorem domintrefc 25125
Description: The domain of the intersection of a family of reflexive classes is the intersection of the domains. (Contributed by FL, 15-Oct-2012.)
Assertion
Ref Expression
domintrefc  |-  ( A. i  e.  A  A. x  e.  dom  R  x R x  ->  dom  |^|_ i  e.  A  R  =  |^|_ i  e.  A  dom  R )
Distinct variable group:    x, R
Allowed substitution hints:    A( x, i)    R( i)

Proof of Theorem domintrefc
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmiin 4922 . . 3  |-  dom  |^|_ i  e.  A  R  C_  |^|_ i  e.  A  dom  R
21a1i 10 . 2  |-  ( A. i  e.  A  A. x  e.  dom  R  x R x  ->  dom  |^|_ i  e.  A  R  C_ 
|^|_ i  e.  A  dom  R )
3 vex 2791 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
4 eliin 3910 . . . . . 6  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  |^|_ i  e.  A  dom  R  <->  A. i  e.  A  y  e.  dom  R ) )
53, 4ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( y  e.  |^|_ i  e.  A  dom  R  <->  A. i  e.  A  y  e.  dom  R )
6 r19.26 2675 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  A  (
y  e.  dom  R  /\  A. x  e.  dom  R  x R x )  <-> 
( A. i  e.  A  y  e.  dom  R  /\  A. i  e.  A  A. x  e. 
dom  R  x R x ) )
7 id 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
87, 7breq12d 4036 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x R x  <->  y R
y ) )
98rspcva 2882 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  dom  R  /\  A. x  e.  dom  R  x R x )  ->  y R y )
109ralimi 2618 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  A  (
y  e.  dom  R  /\  A. x  e.  dom  R  x R x )  ->  A. i  e.  A  y R y )
11 df-br 4024 . . . . . . . . . 10  |-  ( y R y  <->  <. y ,  y >.  e.  R
)
1211ralbii 2567 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  A  y R y  <->  A. i  e.  A  <. y ,  y >.  e.  R
)
13 opex 4237 . . . . . . . . . . 11  |-  <. y ,  y >.  e.  _V
14 eliin 3910 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
y ,  y >.  e.  _V  ->  ( <. y ,  y >.  e.  |^|_ i  e.  A  R  <->  A. i  e.  A  <. y ,  y >.  e.  R
) )
1514bicomd 192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
y ,  y >.  e.  _V  ->  ( A. i  e.  A  <. y ,  y >.  e.  R  <->  <.
y ,  y >.  e.  |^|_ i  e.  A  R ) )
1613, 15ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. i  e.  A  <. y ,  y >.  e.  R  <->  <.
y ,  y >.  e.  |^|_ i  e.  A  R )
173, 3opeldm 4882 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
y ,  y >.  e.  |^|_ i  e.  A  R  ->  y  e.  dom  |^|_ i  e.  A  R
)
1816, 17sylbi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  A  <. y ,  y >.  e.  R  ->  y  e.  dom  |^|_ i  e.  A  R )
1912, 18sylbi 187 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  A  y R y  ->  y  e.  dom  |^|_ i  e.  A  R )
2010, 19syl 15 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  A  (
y  e.  dom  R  /\  A. x  e.  dom  R  x R x )  ->  y  e.  dom  |^|_ i  e.  A  R
)
216, 20sylbir 204 . . . . . 6  |-  ( ( A. i  e.  A  y  e.  dom  R  /\  A. i  e.  A  A. x  e.  dom  R  x R x )  -> 
y  e.  dom  |^|_ i  e.  A  R )
2221ex 423 . . . . 5  |-  ( A. i  e.  A  y  e.  dom  R  ->  ( A. i  e.  A  A. x  e.  dom  R  x R x  -> 
y  e.  dom  |^|_ i  e.  A  R )
)
235, 22sylbi 187 . . . 4  |-  ( y  e.  |^|_ i  e.  A  dom  R  ->  ( A. i  e.  A  A. x  e.  dom  R  x R x  ->  y  e.  dom  |^|_ i  e.  A  R ) )
2423com12 27 . . 3  |-  ( A. i  e.  A  A. x  e.  dom  R  x R x  ->  (
y  e.  |^|_ i  e.  A  dom  R  -> 
y  e.  dom  |^|_ i  e.  A  R )
)
2524ssrdv 3185 . 2  |-  ( A. i  e.  A  A. x  e.  dom  R  x R x  ->  |^|_ i  e.  A  dom  R  C_  dom  |^|_ i  e.  A  R )
262, 25eqssd 3196 1  |-  ( A. i  e.  A  A. x  e.  dom  R  x R x  ->  dom  |^|_ i  e.  A  R  =  |^|_ i  e.  A  dom  R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   <.cop 3643   |^|_ciin 3906   class class class wbr 4023   dom cdm 4689
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-iin 3908  df-br 4024  df-dm 4699
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