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Theorem domncnt 25385
Description: Domain of the intersection of the inclusion with a square cross product. (Contributed by FL, 6-Sep-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
domncnt.1  |-  C  =  { <. x ,  y
>.  |  x  C_  y }
Assertion
Ref Expression
domncnt  |-  dom  ( C  i^i  ( A  X.  A ) )  =  A
Distinct variable group:    x, A, y
Allowed substitution hints:    C( x, y)

Proof of Theorem domncnt
StepHypRef Expression
1 domncnt.1 . . . 4  |-  C  =  { <. x ,  y
>.  |  x  C_  y }
2 df-xp 4711 . . . 4  |-  ( A  X.  A )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) }
31, 2ineq12i 3381 . . 3  |-  ( C  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( { <. x ,  y >.  |  x 
C_  y }  i^i  {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) } )
43dmeqi 4896 . 2  |-  dom  ( C  i^i  ( A  X.  A ) )  =  dom  ( { <. x ,  y >.  |  x 
C_  y }  i^i  {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) } )
5 inopab 4832 . . . . 5  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  x  C_  y }  i^i  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) } )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  C_  y  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) ) }
6 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  y  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  x  e.  A )
7 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  y  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  y  e.  A )
8 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  y  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  x  C_  y )
96, 7, 8jca32 521 . . . . . . 7  |-  ( ( x  C_  y  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
x  e.  A  /\  ( y  e.  A  /\  x  C_  y ) ) )
10 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( y  e.  A  /\  x  C_  y ) )  ->  x  C_  y
)
11 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( y  e.  A  /\  x  C_  y ) )  ->  x  e.  A )
12 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( y  e.  A  /\  x  C_  y ) )  ->  y  e.  A )
1310, 11, 12jca32 521 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( y  e.  A  /\  x  C_  y ) )  ->  ( x  C_  y  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) ) )
149, 13impbii 180 . . . . . 6  |-  ( ( x  C_  y  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
y  e.  A  /\  x  C_  y ) ) )
1514opabbii 4099 . . . . 5  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  C_  y  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) ) }  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  (
y  e.  A  /\  x  C_  y ) ) }
165, 15eqtri 2316 . . . 4  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  x  C_  y }  i^i  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) } )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ( y  e.  A  /\  x  C_  y ) ) }
1716dmeqi 4896 . . 3  |-  dom  ( { <. x ,  y
>.  |  x  C_  y }  i^i  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) } )  =  dom  {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ( y  e.  A  /\  x  C_  y ) ) }
18 ssid 3210 . . . . . . 7  |-  x  C_  x
19 sseq2 3213 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
x  C_  y  <->  x  C_  x
) )
2019rspcev 2897 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  C_  x )  ->  E. y  e.  A  x  C_  y )
2118, 20mpan2 652 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  E. y  e.  A  x  C_  y
)
22 df-rex 2562 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  A  x 
C_  y  <->  E. y
( y  e.  A  /\  x  C_  y ) )
2321, 22sylib 188 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  E. y
( y  e.  A  /\  x  C_  y ) )
2423rgen 2621 . . . 4  |-  A. x  e.  A  E. y
( y  e.  A  /\  x  C_  y )
25 dmopab3 4907 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  E. y ( y  e.  A  /\  x  C_  y )  <->  dom  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ( y  e.  A  /\  x  C_  y ) ) }  =  A )
2624, 25mpbi 199 . . 3  |-  dom  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ( y  e.  A  /\  x  C_  y ) ) }  =  A
2717, 26eqtri 2316 . 2  |-  dom  ( { <. x ,  y
>.  |  x  C_  y }  i^i  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) } )  =  A
284, 27eqtri 2316 1  |-  dom  ( C  i^i  ( A  X.  A ) )  =  A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164    C_ wss 3165   {copab 4092    X. cxp 4703   dom cdm 4705
This theorem is referenced by:  toplat  25393
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040  df-opab 4094  df-xp 4711  df-rel 4712  df-dm 4715
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