MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domnsym Unicode version

Theorem domnsym 7171
Description: Theorem 22(i) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 10-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
domnsym  |-  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  ~<  A )

Proof of Theorem domnsym
StepHypRef Expression
1 brdom2 7075 . 2  |-  ( A  ~<_  B  <->  ( A  ~<  B  \/  A  ~~  B
) )
2 sdomnsym 7170 . . 3  |-  ( A 
~<  B  ->  -.  B  ~<  A )
3 sdomnen 7074 . . . 4  |-  ( B 
~<  A  ->  -.  B  ~~  A )
4 ensym 7094 . . . 4  |-  ( A 
~~  B  ->  B  ~~  A )
53, 4nsyl3 113 . . 3  |-  ( A 
~~  B  ->  -.  B  ~<  A )
62, 5jaoi 369 . 2  |-  ( ( A  ~<  B  \/  A  ~~  B )  ->  -.  B  ~<  A )
71, 6sylbi 188 1  |-  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  ~<  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358   class class class wbr 4155    ~~ cen 7044    ~<_ cdom 7045    ~< csdm 7046
This theorem is referenced by:  sdom0  7177  sdomdomtr  7178  domsdomtr  7180  sdomdif  7193  onsdominel  7194  nndomo  7238  sdom1  7246  fofinf1o  7325  carddom2  7799  fidomtri  7815  fidomtri2  7816  infxpenlem  7830  alephordi  7890  infdif  8024  infdif2  8025  cfslbn  8082  cfslb2n  8083  fincssdom  8138  fin45  8207  domtriom  8258  alephval2  8382  alephreg  8392  pwcfsdom  8393  cfpwsdom  8394  pwfseqlem3  8470  gchhar  8481  gchpwdom  8484  gchaleph  8485  hargch  8487  winainflem  8503  rankcf  8587  tskcard  8591  vdwlem12  13289  odinf  15128  rectbntr0  18736  erdszelem10  24667  finminlem  26014  fphpd  26570
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-opab 4210  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050
  Copyright terms: Public domain W3C validator