MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domnsym Structured version   Unicode version

Theorem domnsym 7225
Description: Theorem 22(i) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 10-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
domnsym  |-  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  ~<  A )

Proof of Theorem domnsym
StepHypRef Expression
1 brdom2 7129 . 2  |-  ( A  ~<_  B  <->  ( A  ~<  B  \/  A  ~~  B
) )
2 sdomnsym 7224 . . 3  |-  ( A 
~<  B  ->  -.  B  ~<  A )
3 sdomnen 7128 . . . 4  |-  ( B 
~<  A  ->  -.  B  ~~  A )
4 ensym 7148 . . . 4  |-  ( A 
~~  B  ->  B  ~~  A )
53, 4nsyl3 113 . . 3  |-  ( A 
~~  B  ->  -.  B  ~<  A )
62, 5jaoi 369 . 2  |-  ( ( A  ~<  B  \/  A  ~~  B )  ->  -.  B  ~<  A )
71, 6sylbi 188 1  |-  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  ~<  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358   class class class wbr 4204    ~~ cen 7098    ~<_ cdom 7099    ~< csdm 7100
This theorem is referenced by:  sdom0  7231  sdomdomtr  7232  domsdomtr  7234  sdomdif  7247  onsdominel  7248  nndomo  7292  sdom1  7300  fofinf1o  7379  carddom2  7856  fidomtri  7872  fidomtri2  7873  infxpenlem  7887  alephordi  7947  infdif  8081  infdif2  8082  cfslbn  8139  cfslb2n  8140  fincssdom  8195  fin45  8264  domtriom  8315  alephval2  8439  alephreg  8449  pwcfsdom  8450  cfpwsdom  8451  pwfseqlem3  8527  gchhar  8538  gchpwdom  8541  gchaleph  8542  hargch  8544  winainflem  8560  rankcf  8644  tskcard  8648  vdwlem12  13352  odinf  15191  rectbntr0  18855  erdszelem10  24878  finminlem  26312  fphpd  26868
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104
  Copyright terms: Public domain W3C validator