MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domnsym Unicode version

Theorem domnsym 7003
Description: Theorem 22(i) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 10-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
domnsym  |-  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  ~<  A )

Proof of Theorem domnsym
StepHypRef Expression
1 brdom2 6907 . 2  |-  ( A  ~<_  B  <->  ( A  ~<  B  \/  A  ~~  B
) )
2 sdomnsym 7002 . . 3  |-  ( A 
~<  B  ->  -.  B  ~<  A )
3 sdomnen 6906 . . . 4  |-  ( B 
~<  A  ->  -.  B  ~~  A )
4 ensym 6926 . . . 4  |-  ( A 
~~  B  ->  B  ~~  A )
53, 4nsyl3 111 . . 3  |-  ( A 
~~  B  ->  -.  B  ~<  A )
62, 5jaoi 368 . 2  |-  ( ( A  ~<  B  \/  A  ~~  B )  ->  -.  B  ~<  A )
71, 6sylbi 187 1  |-  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  ~<  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357   class class class wbr 4039    ~~ cen 6876    ~<_ cdom 6877    ~< csdm 6878
This theorem is referenced by:  sdom0  7009  sdomdomtr  7010  domsdomtr  7012  sdomdif  7025  onsdominel  7026  nndomo  7070  sdom1  7078  fofinf1o  7153  carddom2  7626  fidomtri  7642  fidomtri2  7643  infxpenlem  7657  alephordi  7717  infdif  7851  infdif2  7852  cfslbn  7909  cfslb2n  7910  fincssdom  7965  fin45  8034  domtriom  8085  alephval2  8210  alephreg  8220  pwcfsdom  8221  cfpwsdom  8222  pwfseqlem3  8298  gchhar  8309  gchpwdom  8312  gchaleph  8313  hargch  8315  winainflem  8331  rankcf  8415  tskcard  8419  vdwlem12  13055  odinf  14892  rectbntr0  18353  erdszelem10  23746  finminlem  26334  fphpd  27002
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882
  Copyright terms: Public domain W3C validator