MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domnsym Unicode version

Theorem domnsym 6987
Description: Theorem 22(i) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 10-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
domnsym  |-  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  ~<  A )

Proof of Theorem domnsym
StepHypRef Expression
1 brdom2 6891 . 2  |-  ( A  ~<_  B  <->  ( A  ~<  B  \/  A  ~~  B
) )
2 sdomnsym 6986 . . 3  |-  ( A 
~<  B  ->  -.  B  ~<  A )
3 sdomnen 6890 . . . 4  |-  ( B 
~<  A  ->  -.  B  ~~  A )
4 ensym 6910 . . . 4  |-  ( A 
~~  B  ->  B  ~~  A )
53, 4nsyl3 111 . . 3  |-  ( A 
~~  B  ->  -.  B  ~<  A )
62, 5jaoi 368 . 2  |-  ( ( A  ~<  B  \/  A  ~~  B )  ->  -.  B  ~<  A )
71, 6sylbi 187 1  |-  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  ~<  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357   class class class wbr 4023    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861    ~< csdm 6862
This theorem is referenced by:  sdom0  6993  sdomdomtr  6994  domsdomtr  6996  sdomdif  7009  onsdominel  7010  nndomo  7054  sdom1  7062  fofinf1o  7137  carddom2  7610  fidomtri  7626  fidomtri2  7627  infxpenlem  7641  alephordi  7701  infdif  7835  infdif2  7836  cfslbn  7893  cfslb2n  7894  fincssdom  7949  fin45  8018  domtriom  8069  alephval2  8194  alephreg  8204  pwcfsdom  8205  cfpwsdom  8206  pwfseqlem3  8282  gchhar  8293  gchpwdom  8296  gchaleph  8297  hargch  8299  winainflem  8315  rankcf  8399  tskcard  8403  vdwlem12  13039  odinf  14876  rectbntr0  18337  erdszelem10  23731  finminlem  26231  fphpd  26899
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866
  Copyright terms: Public domain W3C validator