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Theorem domrngref 25060
Description: Domain and range of a reflexive relation are equal. (Contributed by FL, 6-Oct-2008.)
Assertion
Ref Expression
domrngref  |-  ( ( Rel  R  /\  A. x  e.  U. U. R x R x )  ->  dom  R  =  ran  R
)
Distinct variable group:    x, R

Proof of Theorem domrngref
StepHypRef Expression
1 df-ral 2548 . . . 4  |-  ( A. x  e.  U. U. R x R x  <->  A. x
( x  e.  U. U. R  ->  x R x ) )
2 relfld 5198 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel 
R  ->  U. U. R  =  ( dom  R  u.  ran  R ) )
32eqcomd 2288 . . . . . . . . 9  |-  ( Rel 
R  ->  ( dom  R  u.  ran  R )  =  U. U. R
)
43eleq2d 2350 . . . . . . . 8  |-  ( Rel 
R  ->  ( x  e.  ( dom  R  u.  ran  R )  <->  x  e.  U.
U. R ) )
54biimpd 198 . . . . . . 7  |-  ( Rel 
R  ->  ( x  e.  ( dom  R  u.  ran  R )  ->  x  e.  U. U. R ) )
65imim1d 69 . . . . . 6  |-  ( Rel 
R  ->  ( (
x  e.  U. U. R  ->  x R x )  ->  ( x  e.  ( dom  R  u.  ran  R )  ->  x R x ) ) )
7 elun 3316 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( dom  R  u.  ran  R )  <->  ( x  e.  dom  R  \/  x  e.  ran  R ) )
87imbi1i 315 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( dom 
R  u.  ran  R
)  ->  x R x )  <->  ( (
x  e.  dom  R  \/  x  e.  ran  R )  ->  x R x ) )
9 jaob 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  dom  R  \/  x  e.  ran  R )  ->  x R x )  <->  ( (
x  e.  dom  R  ->  x R x )  /\  ( x  e. 
ran  R  ->  x R x ) ) )
10 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
1110, 10brelrn 4909 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x R x  ->  x  e.  ran  R )
1211imim2i 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  dom  R  ->  x R x )  ->  ( x  e. 
dom  R  ->  x  e. 
ran  R ) )
1312adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  dom  R  ->  x R x )  /\  ( x  e.  ran  R  ->  x R x ) )  ->  ( x  e. 
dom  R  ->  x  e. 
ran  R ) )
1410, 10breldm 4883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x R x  ->  x  e.  dom  R )
1514imim2i 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ran  R  ->  x R x )  ->  ( x  e. 
ran  R  ->  x  e. 
dom  R ) )
1615adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  dom  R  ->  x R x )  /\  ( x  e.  ran  R  ->  x R x ) )  ->  ( x  e. 
ran  R  ->  x  e. 
dom  R ) )
1713, 16impbid 183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  dom  R  ->  x R x )  /\  ( x  e.  ran  R  ->  x R x ) )  ->  ( x  e. 
dom  R  <->  x  e.  ran  R ) )
189, 17sylbi 187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  dom  R  \/  x  e.  ran  R )  ->  x R x )  ->  (
x  e.  dom  R  <->  x  e.  ran  R ) )
198, 18sylbi 187 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( dom 
R  u.  ran  R
)  ->  x R x )  ->  (
x  e.  dom  R  <->  x  e.  ran  R ) )
206, 19syl6 29 . . . . 5  |-  ( Rel 
R  ->  ( (
x  e.  U. U. R  ->  x R x )  ->  ( x  e.  dom  R  <->  x  e.  ran  R ) ) )
2120alimdv 1607 . . . 4  |-  ( Rel 
R  ->  ( A. x ( x  e. 
U. U. R  ->  x R x )  ->  A. x ( x  e. 
dom  R  <->  x  e.  ran  R ) ) )
221, 21syl5bi 208 . . 3  |-  ( Rel 
R  ->  ( A. x  e.  U. U. R x R x  ->  A. x
( x  e.  dom  R  <-> 
x  e.  ran  R
) ) )
2322imp 418 . 2  |-  ( ( Rel  R  /\  A. x  e.  U. U. R x R x )  ->  A. x ( x  e. 
dom  R  <->  x  e.  ran  R ) )
24 dfcleq 2277 . 2  |-  ( dom 
R  =  ran  R  <->  A. x ( x  e. 
dom  R  <->  x  e.  ran  R ) )
2523, 24sylibr 203 1  |-  ( ( Rel  R  /\  A. x  e.  U. U. R x R x )  ->  dom  R  =  ran  R
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    u. cun 3150   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   ran crn 4690   Rel wrel 4694
This theorem is referenced by:  domfldref  25061  preoran2  25230  dfps2  25289
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-dm 4699  df-rn 4700
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