MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domtr Unicode version

Theorem domtr 6914
Description: Transitivity of dominance relation. Theorem 17 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 4-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
domtr  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  B  ~<_  C )  ->  A  ~<_  C )

Proof of Theorem domtr
Dummy variables  x  y  z  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 6869 . 2  |-  Rel  ~<_
2 vex 2791 . . . 4  |-  y  e. 
_V
32brdom 6874 . . 3  |-  ( x  ~<_  y  <->  E. g  g : x -1-1-> y )
4 vex 2791 . . . 4  |-  z  e. 
_V
54brdom 6874 . . 3  |-  ( y  ~<_  z  <->  E. f  f : y -1-1-> z )
6 eeanv 1854 . . . 4  |-  ( E. g E. f ( g : x -1-1-> y  /\  f : y
-1-1-> z )  <->  ( E. g  g : x
-1-1-> y  /\  E. f 
f : y -1-1-> z ) )
7 f1co 5446 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : y -1-1-> z  /\  g : x
-1-1-> y )  ->  (
f  o.  g ) : x -1-1-> z )
87ancoms 439 . . . . . . 7  |-  ( ( g : x -1-1-> y  /\  f : y
-1-1-> z )  ->  (
f  o.  g ) : x -1-1-> z )
9 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  f  e. 
_V
10 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  g  e. 
_V
119, 10coex 5216 . . . . . . . 8  |-  ( f  o.  g )  e. 
_V
12 f1eq1 5432 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  ( f  o.  g )  ->  (
h : x -1-1-> z  <-> 
( f  o.  g
) : x -1-1-> z ) )
1311, 12spcev 2875 . . . . . . 7  |-  ( ( f  o.  g ) : x -1-1-> z  ->  E. h  h :
x -1-1-> z )
148, 13syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( g : x -1-1-> y  /\  f : y
-1-1-> z )  ->  E. h  h : x -1-1-> z )
154brdom 6874 . . . . . 6  |-  ( x  ~<_  z  <->  E. h  h : x -1-1-> z )
1614, 15sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( g : x -1-1-> y  /\  f : y
-1-1-> z )  ->  x  ~<_  z )
1716exlimivv 1667 . . . 4  |-  ( E. g E. f ( g : x -1-1-> y  /\  f : y
-1-1-> z )  ->  x  ~<_  z )
186, 17sylbir 204 . . 3  |-  ( ( E. g  g : x -1-1-> y  /\  E. f  f : y
-1-1-> z )  ->  x  ~<_  z )
193, 5, 18syl2anb 465 . 2  |-  ( ( x  ~<_  y  /\  y  ~<_  z )  ->  x  ~<_  z )
201, 19vtoclr 4733 1  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  B  ~<_  C )  ->  A  ~<_  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1528   class class class wbr 4023    o. ccom 4693   -1-1->wf1 5252    ~<_ cdom 6861
This theorem is referenced by:  endomtr  6919  domentr  6920  undom  6950  sdomdomtr  6994  domsdomtr  6996  xpen  7024  unxpdom2  7071  sucxpdom  7072  fidomdm  7138  hartogs  7259  harword  7279  unxpwdom  7303  harcard  7611  infxpenlem  7641  indcardi  7668  fodomfi2  7687  infpwfien  7689  inffien  7690  cdadom3  7814  cdainf  7818  infcda1  7819  cdalepw  7822  unctb  7831  infcdaabs  7832  infcda  7834  infdif  7835  infdif2  7836  infxp  7841  infmap2  7844  fictb  7871  cfslb2n  7894  isfin32i  7991  fin1a2lem12  8037  hsmexlem1  8052  brdom3  8153  brdom5  8154  brdom4  8155  imadomg  8159  iundomg  8163  uniimadom  8166  ondomon  8185  unirnfdomd  8189  alephval2  8194  iunctb  8196  alephexp1  8201  alephreg  8204  cfpwsdom  8206  gchdomtri  8251  canthnum  8271  canthp1lem1  8274  canthp1  8276  pwfseqlem5  8285  pwxpndom2  8287  pwxpndom  8288  pwcdandom  8289  gchcdaidm  8290  gchxpidm  8291  gchaclem  8292  gchhar  8293  gchpwdom  8296  inar1  8397  rankcf  8399  grudomon  8439  grothac  8452  rpnnen  12505  cctop  16743  1stcfb  17171  2ndcredom  17176  2ndc1stc  17177  1stcrestlem  17178  2ndcctbss  17181  2ndcdisj2  17183  2ndcomap  17184  2ndcsep  17185  dis2ndc  17186  hauspwdom  17227  tx1stc  17344  tx2ndc  17345  met2ndci  18068  opnreen  18336  rectbntr0  18337  uniiccdif  18933  dyadmbl  18955  opnmblALT  18958  mbfimaopnlem  19010  abrexdomjm  23165  ssct  23337  xpct  23338  fnct  23341  dmct  23342  cnvct  23343  mptct  23345  mptctf  23348  sigaclci  23493  abrexdom  26405  heiborlem3  26537  ttac  27129  idomsubgmo  27514
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-dom 6865
  Copyright terms: Public domain W3C validator