MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domtriom Unicode version

Theorem domtriom 8085
Description: Trichotomy of equinumerosity for  om, proven using CC. Equivalently, all Dedekind-finite sets (as in isfin4-2 7956) are finite in the usual sense and conversely. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
domtriom.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
domtriom  |-  ( om  ~<_  A  <->  -.  A  ~<  om )

Proof of Theorem domtriom
Dummy variables  b  n  y  j  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnsym 7003 . 2  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  A  ~<  om )
2 isfinite 7369 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om )
3 domtriom.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
4 eqid 2296 . . . 4  |-  { y  |  ( y  C_  A  /\  y  ~~  ~P n ) }  =  { y  |  ( y  C_  A  /\  y  ~~  ~P n ) }
5 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
b `  m )  =  ( b `  n ) )
6 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  (
b `  j )  =  ( b `  k ) )
76cbviunv 3957 . . . . . . 7  |-  U_ j  e.  m  ( b `  j )  =  U_ k  e.  m  (
b `  k )
8 iuneq1 3934 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  U_ k  e.  m  ( b `  k )  =  U_ k  e.  n  (
b `  k )
)
97, 8syl5eq 2340 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  U_ j  e.  m  ( b `  j )  =  U_ k  e.  n  (
b `  k )
)
105, 9difeq12d 3308 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
( b `  m
)  \  U_ j  e.  m  ( b `  j ) )  =  ( ( b `  n )  \  U_ k  e.  n  (
b `  k )
) )
1110cbvmptv 4127 . . . 4  |-  ( m  e.  om  |->  ( ( b `  m ) 
\  U_ j  e.  m  ( b `  j
) ) )  =  ( n  e.  om  |->  ( ( b `  n )  \  U_ k  e.  n  (
b `  k )
) )
123, 4, 11domtriomlem 8084 . . 3  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  om  ~<_  A )
132, 12sylnbir 298 . 2  |-  ( -.  A  ~<  om  ->  om  ~<_  A )
141, 13impbii 180 1  |-  ( om  ~<_  A  <->  -.  A  ~<  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1696   {cab 2282   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   U_ciun 3921   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   omcom 4672   ` cfv 5271    ~~ cen 6876    ~<_ cdom 6877    ~< csdm 6878   Fincfn 6879
This theorem is referenced by:  fin41  8086  dominf  8087
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-cda 7810
  Copyright terms: Public domain W3C validator