MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domtriom Unicode version

Theorem domtriom 8256
Description: Trichotomy of equinumerosity for  om, proven using CC. Equivalently, all Dedekind-finite sets (as in isfin4-2 8127) are finite in the usual sense and conversely. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
domtriom.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
domtriom  |-  ( om  ~<_  A  <->  -.  A  ~<  om )

Proof of Theorem domtriom
Dummy variables  b  n  y  j  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnsym 7169 . 2  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  A  ~<  om )
2 isfinite 7540 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om )
3 domtriom.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
4 eqid 2387 . . . 4  |-  { y  |  ( y  C_  A  /\  y  ~~  ~P n ) }  =  { y  |  ( y  C_  A  /\  y  ~~  ~P n ) }
5 fveq2 5668 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
b `  m )  =  ( b `  n ) )
6 fveq2 5668 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  (
b `  j )  =  ( b `  k ) )
76cbviunv 4071 . . . . . . 7  |-  U_ j  e.  m  ( b `  j )  =  U_ k  e.  m  (
b `  k )
8 iuneq1 4048 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  U_ k  e.  m  ( b `  k )  =  U_ k  e.  n  (
b `  k )
)
97, 8syl5eq 2431 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  U_ j  e.  m  ( b `  j )  =  U_ k  e.  n  (
b `  k )
)
105, 9difeq12d 3409 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
( b `  m
)  \  U_ j  e.  m  ( b `  j ) )  =  ( ( b `  n )  \  U_ k  e.  n  (
b `  k )
) )
1110cbvmptv 4241 . . . 4  |-  ( m  e.  om  |->  ( ( b `  m ) 
\  U_ j  e.  m  ( b `  j
) ) )  =  ( n  e.  om  |->  ( ( b `  n )  \  U_ k  e.  n  (
b `  k )
) )
123, 4, 11domtriomlem 8255 . . 3  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  om  ~<_  A )
132, 12sylnbir 299 . 2  |-  ( -.  A  ~<  om  ->  om  ~<_  A )
141, 13impbii 181 1  |-  ( om  ~<_  A  <->  -.  A  ~<  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1717   {cab 2373   _Vcvv 2899    \ cdif 3260    C_ wss 3263   ~Pcpw 3742   U_ciun 4035   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   omcom 4785   ` cfv 5394    ~~ cen 7042    ~<_ cdom 7043    ~< csdm 7044   Fincfn 7045
This theorem is referenced by:  fin41  8257  dominf  8258
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cc 8248
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-card 7759  df-cda 7981
  Copyright terms: Public domain W3C validator