MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domtriom Unicode version

Theorem domtriom 8069
Description: Trichotomy of equinumerosity for  om, proven using CC. Equivalently, all Dedekind-finite sets (as in isfin4-2 7940) are finite in the usual sense and conversely. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
domtriom.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
domtriom  |-  ( om  ~<_  A  <->  -.  A  ~<  om )

Proof of Theorem domtriom
Dummy variables  b  n  y  j  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnsym 6987 . 2  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  A  ~<  om )
2 isfinite 7353 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om )
3 domtriom.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
4 eqid 2283 . . . 4  |-  { y  |  ( y  C_  A  /\  y  ~~  ~P n ) }  =  { y  |  ( y  C_  A  /\  y  ~~  ~P n ) }
5 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
b `  m )  =  ( b `  n ) )
6 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  (
b `  j )  =  ( b `  k ) )
76cbviunv 3941 . . . . . . 7  |-  U_ j  e.  m  ( b `  j )  =  U_ k  e.  m  (
b `  k )
8 iuneq1 3918 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  U_ k  e.  m  ( b `  k )  =  U_ k  e.  n  (
b `  k )
)
97, 8syl5eq 2327 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  U_ j  e.  m  ( b `  j )  =  U_ k  e.  n  (
b `  k )
)
105, 9difeq12d 3295 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
( b `  m
)  \  U_ j  e.  m  ( b `  j ) )  =  ( ( b `  n )  \  U_ k  e.  n  (
b `  k )
) )
1110cbvmptv 4111 . . . 4  |-  ( m  e.  om  |->  ( ( b `  m ) 
\  U_ j  e.  m  ( b `  j
) ) )  =  ( n  e.  om  |->  ( ( b `  n )  \  U_ k  e.  n  (
b `  k )
) )
123, 4, 11domtriomlem 8068 . . 3  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  om  ~<_  A )
132, 12sylnbir 298 . 2  |-  ( -.  A  ~<  om  ->  om  ~<_  A )
141, 13impbii 180 1  |-  ( om  ~<_  A  <->  -.  A  ~<  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684   {cab 2269   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U_ciun 3905   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   omcom 4656   ` cfv 5255    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861    ~< csdm 6862   Fincfn 6863
This theorem is referenced by:  fin41  8070  dominf  8071
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-cda 7794
  Copyright terms: Public domain W3C validator