MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domtriom Structured version   Unicode version

Theorem domtriom 8315
Description: Trichotomy of equinumerosity for  om, proven using CC. Equivalently, all Dedekind-finite sets (as in isfin4-2 8186) are finite in the usual sense and conversely. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
domtriom.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
domtriom  |-  ( om  ~<_  A  <->  -.  A  ~<  om )

Proof of Theorem domtriom
Dummy variables  b  n  y  j  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnsym 7225 . 2  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  A  ~<  om )
2 isfinite 7599 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om )
3 domtriom.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
4 eqid 2435 . . . 4  |-  { y  |  ( y  C_  A  /\  y  ~~  ~P n ) }  =  { y  |  ( y  C_  A  /\  y  ~~  ~P n ) }
5 fveq2 5720 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
b `  m )  =  ( b `  n ) )
6 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  (
b `  j )  =  ( b `  k ) )
76cbviunv 4122 . . . . . . 7  |-  U_ j  e.  m  ( b `  j )  =  U_ k  e.  m  (
b `  k )
8 iuneq1 4098 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  U_ k  e.  m  ( b `  k )  =  U_ k  e.  n  (
b `  k )
)
97, 8syl5eq 2479 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  U_ j  e.  m  ( b `  j )  =  U_ k  e.  n  (
b `  k )
)
105, 9difeq12d 3458 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
( b `  m
)  \  U_ j  e.  m  ( b `  j ) )  =  ( ( b `  n )  \  U_ k  e.  n  (
b `  k )
) )
1110cbvmptv 4292 . . . 4  |-  ( m  e.  om  |->  ( ( b `  m ) 
\  U_ j  e.  m  ( b `  j
) ) )  =  ( n  e.  om  |->  ( ( b `  n )  \  U_ k  e.  n  (
b `  k )
) )
123, 4, 11domtriomlem 8314 . . 3  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  om  ~<_  A )
132, 12sylnbir 299 . 2  |-  ( -.  A  ~<  om  ->  om  ~<_  A )
141, 13impbii 181 1  |-  ( om  ~<_  A  <->  -.  A  ~<  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   {cab 2421   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791   U_ciun 4085   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   omcom 4837   ` cfv 5446    ~~ cen 7098    ~<_ cdom 7099    ~< csdm 7100   Fincfn 7101
This theorem is referenced by:  fin41  8316  dominf  8317
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cc 8307
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7818  df-cda 8040
  Copyright terms: Public domain W3C validator