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Theorem domtriomlem 8084
Description: Lemma for domtriom 8085. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
domtriomlem.1  |-  A  e. 
_V
domtriomlem.2  |-  B  =  { y  |  ( y  C_  A  /\  y  ~~  ~P n ) }
domtriomlem.3  |-  C  =  ( n  e.  om  |->  ( ( b `  n )  \  U_ k  e.  n  (
b `  k )
) )
Assertion
Ref Expression
domtriomlem  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  om  ~<_  A )
Distinct variable groups:    A, b, n, y    B, b    C, k, n    k, b    y,
b
Allowed substitution hints:    A( k)    B( y, k, n)    C( y,
b)

Proof of Theorem domtriomlem
Dummy variables  c  m  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domtriomlem.2 . . . . 5  |-  B  =  { y  |  ( y  C_  A  /\  y  ~~  ~P n ) }
2 domtriomlem.1 . . . . . . 7  |-  A  e. 
_V
32pwex 4209 . . . . . 6  |-  ~P A  e.  _V
4 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  A  /\  y  ~~  ~P n )  ->  y  C_  A
)
54ss2abi 3258 . . . . . . 7  |-  { y  |  ( y  C_  A  /\  y  ~~  ~P n ) }  C_  { y  |  y  C_  A }
6 df-pw 3640 . . . . . . 7  |-  ~P A  =  { y  |  y 
C_  A }
75, 6sseqtr4i 3224 . . . . . 6  |-  { y  |  ( y  C_  A  /\  y  ~~  ~P n ) }  C_  ~P A
83, 7ssexi 4175 . . . . 5  |-  { y  |  ( y  C_  A  /\  y  ~~  ~P n ) }  e.  _V
91, 8eqeltri 2366 . . . 4  |-  B  e. 
_V
10 omex 7360 . . . . 5  |-  om  e.  _V
1110enref 6910 . . . 4  |-  om  ~~  om
129, 11axcc3 8080 . . 3  |-  E. b
( b  Fn  om  /\ 
A. n  e.  om  ( B  =/=  (/)  ->  (
b `  n )  e.  B ) )
13 nfv 1609 . . . . . . . 8  |-  F/ n  -.  A  e.  Fin
14 nfra1 2606 . . . . . . . 8  |-  F/ n A. n  e.  om  ( B  =/=  (/)  ->  (
b `  n )  e.  B )
1513, 14nfan 1783 . . . . . . 7  |-  F/ n
( -.  A  e. 
Fin  /\  A. n  e.  om  ( B  =/=  (/)  ->  ( b `  n )  e.  B
) )
16 nnfi 7069 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  om  ->  n  e.  Fin )
17 pwfi 7167 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  Fin  <->  ~P n  e.  Fin )
1816, 17sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  om  ->  ~P n  e.  Fin )
19 ficardom 7610 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ~P n  e.  Fin  ->  (
card `  ~P n
)  e.  om )
20 isinf 7092 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  A. m  e.  om  E. y ( y  C_  A  /\  y  ~~  m
) )
21 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  ( card `  ~P n )  ->  (
y  ~~  m  <->  y  ~~  ( card `  ~P n
) ) )
2221anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  ( card `  ~P n )  ->  (
( y  C_  A  /\  y  ~~  m )  <-> 
( y  C_  A  /\  y  ~~  ( card `  ~P n ) ) ) )
2322exbidv 1616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( card `  ~P n )  ->  ( E. y ( y  C_  A  /\  y  ~~  m
)  <->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  ( card `  ~P n ) ) ) )
2423rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
card `  ~P n
)  e.  om  ->  ( A. m  e.  om  E. y ( y  C_  A  /\  y  ~~  m
)  ->  E. y
( y  C_  A  /\  y  ~~  ( card `  ~P n ) ) ) )
2520, 24syl5 28 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
card `  ~P n
)  e.  om  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  ( card `  ~P n ) ) ) )
2618, 19, 253syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  om  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  ( card `  ~P n ) ) ) )
27 finnum 7597 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ~P n  e.  Fin  ->  ~P n  e.  dom  card )
28 cardid2 7602 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ~P n  e.  dom  card  -> 
( card `  ~P n
)  ~~  ~P n
)
2918, 27, 283syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  om  ->  ( card `  ~P n ) 
~~  ~P n )
30 entr 6929 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  ~~  ( card `  ~P n )  /\  ( card `  ~P n
)  ~~  ~P n
)  ->  y  ~~  ~P n )
3130expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
card `  ~P n
)  ~~  ~P n  ->  ( y  ~~  ( card `  ~P n )  ->  y  ~~  ~P n ) )
3229, 31syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  om  ->  (
y  ~~  ( card `  ~P n )  -> 
y  ~~  ~P n
) )
3332anim2d 548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  om  ->  (
( y  C_  A  /\  y  ~~  ( card `  ~P n ) )  ->  ( y  C_  A  /\  y  ~~  ~P n ) ) )
3433eximdv 1612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  om  ->  ( E. y ( y  C_  A  /\  y  ~~  ( card `  ~P n ) )  ->  E. y
( y  C_  A  /\  y  ~~  ~P n
) ) )
3526, 34syld 40 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  om  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  ~P n ) ) )
361neeq1i 2469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =/=  (/)  <->  { y  |  ( y  C_  A  /\  y  ~~  ~P n ) }  =/=  (/) )
37 abn0 3486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { y  |  ( y 
C_  A  /\  y  ~~  ~P n ) }  =/=  (/)  <->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  ~P n ) )
3836, 37bitri 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =/=  (/)  <->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  ~P n ) )
3935, 38syl6ibr 218 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  om  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  B  =/=  (/) ) )
4039com12 27 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( n  e.  om  ->  B  =/=  (/) ) )
4140adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  om  ( B  =/=  (/)  ->  (
b `  n )  e.  B ) )  -> 
( n  e.  om  ->  B  =/=  (/) ) )
42 rsp 2616 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  om  ( B  =/=  (/)  ->  ( b `  n )  e.  B
)  ->  ( n  e.  om  ->  ( B  =/=  (/)  ->  ( b `  n )  e.  B
) ) )
4342adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  om  ( B  =/=  (/)  ->  (
b `  n )  e.  B ) )  -> 
( n  e.  om  ->  ( B  =/=  (/)  ->  (
b `  n )  e.  B ) ) )
4441, 43mpdd 36 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  om  ( B  =/=  (/)  ->  (
b `  n )  e.  B ) )  -> 
( n  e.  om  ->  ( b `  n
)  e.  B ) )
4515, 44ralrimi 2637 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  om  ( B  =/=  (/)  ->  (
b `  n )  e.  B ) )  ->  A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B )
46453adant2 974 . . . . 5  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  b  Fn  om  /\  A. n  e.  om  ( B  =/=  (/)  ->  ( b `  n )  e.  B
) )  ->  A. n  e.  om  ( b `  n )  e.  B
)
47463expib 1154 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( ( b  Fn  om  /\ 
A. n  e.  om  ( B  =/=  (/)  ->  (
b `  n )  e.  B ) )  ->  A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B ) )
4847eximdv 1612 . . 3  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( E. b ( b  Fn  om  /\  A. n  e.  om  ( B  =/=  (/)  ->  ( b `  n )  e.  B
) )  ->  E. b A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B ) )
4912, 48mpi 16 . 2  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. b A. n  e. 
om  ( b `  n )  e.  B
)
50 axcc2 8079 . . . . 5  |-  E. c
( c  Fn  om  /\ 
A. n  e.  om  ( ( C `  n )  =/=  (/)  ->  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) ) )
51 simp2 956 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B  /\  c  Fn  om  /\  A. n  e.  om  (
( C `  n
)  =/=  (/)  ->  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) ) )  -> 
c  Fn  om )
52 nfra1 2606 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B
53 nfra1 2606 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n A. n  e.  om  ( ( C `  n )  =/=  (/)  ->  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) )
5452, 53nfan 1783 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n
( A. n  e. 
om  ( b `  n )  e.  B  /\  A. n  e.  om  ( ( C `  n )  =/=  (/)  ->  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) ) )
55 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b `
 n )  e. 
_V
56 sseq1 3212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( b `  n )  ->  (
y  C_  A  <->  ( b `  n )  C_  A
) )
57 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( b `  n )  ->  (
y  ~~  ~P n  <->  ( b `  n ) 
~~  ~P n ) )
5856, 57anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( b `  n )  ->  (
( y  C_  A  /\  y  ~~  ~P n
)  <->  ( ( b `
 n )  C_  A  /\  ( b `  n )  ~~  ~P n ) ) )
5955, 58, 1elab2 2930 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b `  n )  e.  B  <->  ( (
b `  n )  C_  A  /\  ( b `
 n )  ~~  ~P n ) )
6059simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b `  n )  e.  B  ->  (
b `  n )  ~~  ~P n )
6160ralimi 2631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  om  (
b `  n )  e.  B  ->  A. n  e.  om  ( b `  n )  ~~  ~P n )
62 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  k  ->  (
b `  n )  =  ( b `  k ) )
63 pweq 3641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  k  ->  ~P n  =  ~P k
)
6462, 63breq12d 4052 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  (
( b `  n
)  ~~  ~P n  <->  ( b `  k ) 
~~  ~P k ) )
6564cbvralv 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. n  e.  om  (
b `  n )  ~~  ~P n  <->  A. k  e.  om  ( b `  k )  ~~  ~P k )
66 peano2 4692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  om  ->  suc  n  e.  om )
67 omelon 7363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  om  e.  On
6867onelssi 4517 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( suc  n  e.  om  ->  suc  n  C_  om )
69 ssralv 3250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( suc  n  C_  om  ->  ( A. k  e.  om  ( b `  k
)  ~~  ~P k  ->  A. k  e.  suc  n ( b `  k )  ~~  ~P k ) )
7066, 68, 693syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  om  ->  ( A. k  e.  om  ( b `  k
)  ~~  ~P k  ->  A. k  e.  suc  n ( b `  k )  ~~  ~P k ) )
71 pwsdompw 7846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. k  e.  suc  n
( b `  k
)  ~~  ~P k
)  ->  U_ k  e.  n  ( b `  k )  ~<  (
b `  n )
)
7271ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  om  ->  ( A. k  e.  suc  n ( b `  k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  n  ( b `  k
)  ~<  ( b `  n ) ) )
7370, 72syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  om  ->  ( A. k  e.  om  ( b `  k
)  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  n  ( b `  k
)  ~<  ( b `  n ) ) )
74 sdomdif 7025 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U_ k  e.  n  (
b `  k )  ~<  ( b `  n
)  ->  ( (
b `  n )  \  U_ k  e.  n  ( b `  k
) )  =/=  (/) )
7573, 74syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  om  ->  ( A. k  e.  om  ( b `  k
)  ~~  ~P k  ->  ( ( b `  n )  \  U_ k  e.  n  (
b `  k )
)  =/=  (/) ) )
7665, 75syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  om  ->  ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  ~~  ~P n  ->  ( ( b `  n )  \  U_ k  e.  n  (
b `  k )
)  =/=  (/) ) )
77 difss 3316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b `  n ) 
\  U_ k  e.  n  ( b `  k
) )  C_  (
b `  n )
7855, 77ssexi 4175 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b `  n ) 
\  U_ k  e.  n  ( b `  k
) )  e.  _V
79 domtriomlem.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  C  =  ( n  e.  om  |->  ( ( b `  n )  \  U_ k  e.  n  (
b `  k )
) )
8079fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( ( b `  n )  \  U_ k  e.  n  (
b `  k )
)  e.  _V )  ->  ( C `  n
)  =  ( ( b `  n ) 
\  U_ k  e.  n  ( b `  k
) ) )
8178, 80mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  om  ->  ( C `  n )  =  ( ( b `
 n )  \  U_ k  e.  n  ( b `  k
) ) )
8281neeq1d 2472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  om  ->  (
( C `  n
)  =/=  (/)  <->  ( (
b `  n )  \  U_ k  e.  n  ( b `  k
) )  =/=  (/) ) )
8376, 82sylibrd 225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  om  ->  ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  ~~  ~P n  ->  ( C `  n
)  =/=  (/) ) )
8461, 83syl5com 26 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. n  e.  om  (
b `  n )  e.  B  ->  ( n  e.  om  ->  ( C `  n )  =/=  (/) ) )
8584adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B  /\  A. n  e.  om  (
( C `  n
)  =/=  (/)  ->  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) ) )  -> 
( n  e.  om  ->  ( C `  n
)  =/=  (/) ) )
86 rsp 2616 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. n  e.  om  (
( C `  n
)  =/=  (/)  ->  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) )  ->  (
n  e.  om  ->  ( ( C `  n
)  =/=  (/)  ->  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) ) ) )
8786adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B  /\  A. n  e.  om  (
( C `  n
)  =/=  (/)  ->  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) ) )  -> 
( n  e.  om  ->  ( ( C `  n )  =/=  (/)  ->  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) ) ) )
8885, 87mpdd 36 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B  /\  A. n  e.  om  (
( C `  n
)  =/=  (/)  ->  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) ) )  -> 
( n  e.  om  ->  ( c `  n
)  e.  ( C `
 n ) ) )
8954, 88ralrimi 2637 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B  /\  A. n  e.  om  (
( C `  n
)  =/=  (/)  ->  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) ) )  ->  A. n  e.  om  ( c `  n
)  e.  ( C `
 n ) )
90893adant2 974 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B  /\  c  Fn  om  /\  A. n  e.  om  (
( C `  n
)  =/=  (/)  ->  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) ) )  ->  A. n  e.  om  ( c `  n
)  e.  ( C `
 n ) )
9151, 90jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B  /\  c  Fn  om  /\  A. n  e.  om  (
( C `  n
)  =/=  (/)  ->  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) ) )  -> 
( c  Fn  om  /\ 
A. n  e.  om  ( c `  n
)  e.  ( C `
 n ) ) )
92913expib 1154 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  om  (
b `  n )  e.  B  ->  ( ( c  Fn  om  /\  A. n  e.  om  (
( C `  n
)  =/=  (/)  ->  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) ) )  -> 
( c  Fn  om  /\ 
A. n  e.  om  ( c `  n
)  e.  ( C `
 n ) ) ) )
9392eximdv 1612 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  om  (
b `  n )  e.  B  ->  ( E. c ( c  Fn 
om  /\  A. n  e.  om  ( ( C `
 n )  =/=  (/)  ->  ( c `  n )  e.  ( C `  n ) ) )  ->  E. c
( c  Fn  om  /\ 
A. n  e.  om  ( c `  n
)  e.  ( C `
 n ) ) ) )
9450, 93mpi 16 . . . 4  |-  ( A. n  e.  om  (
b `  n )  e.  B  ->  E. c
( c  Fn  om  /\ 
A. n  e.  om  ( c `  n
)  e.  ( C `
 n ) ) )
95 simp2 956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B  /\  c  Fn  om  /\  A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) )  ->  c  Fn  om )
96 nfra1 2606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n A. n  e.  om  ( c `  n
)  e.  ( C `
 n )
9752, 96nfan 1783 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ n
( A. n  e. 
om  ( b `  n )  e.  B  /\  A. n  e.  om  ( c `  n
)  e.  ( C `
 n ) )
98 rsp 2616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( C `  n
)  ->  ( n  e.  om  ->  ( c `  n )  e.  ( C `  n ) ) )
9998com12 27 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  om  ->  ( A. n  e.  om  ( c `  n
)  e.  ( C `
 n )  -> 
( c `  n
)  e.  ( C `
 n ) ) )
100 rsp 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. n  e.  om  (
b `  n )  e.  B  ->  ( n  e.  om  ->  (
b `  n )  e.  B ) )
101100com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  om  ->  ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B  -> 
( b `  n
)  e.  B ) )
10281eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  om  ->  (
( c `  n
)  e.  ( C `
 n )  <->  ( c `  n )  e.  ( ( b `  n
)  \  U_ k  e.  n  ( b `  k ) ) ) )
103 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( c `  n )  e.  ( ( b `
 n )  \  U_ k  e.  n  ( b `  k
) )  ->  (
c `  n )  e.  ( b `  n
) )
104102, 103syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  om  ->  (
( c `  n
)  e.  ( C `
 n )  -> 
( c `  n
)  e.  ( b `
 n ) ) )
10559simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( b `  n )  e.  B  ->  (
b `  n )  C_  A )
106105sseld 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( b `  n )  e.  B  ->  (
( c `  n
)  e.  ( b `
 n )  -> 
( c `  n
)  e.  A ) )
107104, 106syl9 66 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  om  ->  (
( b `  n
)  e.  B  -> 
( ( c `  n )  e.  ( C `  n )  ->  ( c `  n )  e.  A
) ) )
108101, 107syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  om  ->  ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B  -> 
( ( c `  n )  e.  ( C `  n )  ->  ( c `  n )  e.  A
) ) )
109108com23 72 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  om  ->  (
( c `  n
)  e.  ( C `
 n )  -> 
( A. n  e. 
om  ( b `  n )  e.  B  ->  ( c `  n
)  e.  A ) ) )
11099, 109syld 40 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  om  ->  ( A. n  e.  om  ( c `  n
)  e.  ( C `
 n )  -> 
( A. n  e. 
om  ( b `  n )  e.  B  ->  ( c `  n
)  e.  A ) ) )
111110com13 74 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  om  (
b `  n )  e.  B  ->  ( A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( C `  n
)  ->  ( n  e.  om  ->  ( c `  n )  e.  A
) ) )
112111imp 418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B  /\  A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) )  ->  (
n  e.  om  ->  ( c `  n )  e.  A ) )
11397, 112ralrimi 2637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B  /\  A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) )  ->  A. n  e.  om  ( c `  n )  e.  A
)
1141133adant2 974 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B  /\  c  Fn  om  /\  A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) )  ->  A. n  e.  om  ( c `  n )  e.  A
)
115 ffnfv 5701 . . . . . . . . . 10  |-  ( c : om --> A  <->  ( c  Fn  om  /\  A. n  e.  om  ( c `  n )  e.  A
) )
11695, 114, 115sylanbrc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B  /\  c  Fn  om  /\  A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) )  ->  c : om --> A )
117 nfv 1609 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ n  k  e.  om
118 nnord 4680 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  om  ->  Ord  k )
119 nnord 4680 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  om  ->  Ord  n )
120 ordtri3or 4440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Ord  k  /\  Ord  n )  ->  (
k  e.  n  \/  k  =  n  \/  n  e.  k ) )
121118, 119, 120syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  om  /\  n  e.  om )  ->  ( k  e.  n  \/  k  =  n  \/  n  e.  k
) )
12298, 102mpbidi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( C `  n
)  ->  ( n  e.  om  ->  ( c `  n )  e.  ( ( b `  n
)  \  U_ k  e.  n  ( b `  k ) ) ) )
12396, 122ralrimi 2637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( C `  n
)  ->  A. n  e.  om  ( c `  n )  e.  ( ( b `  n
)  \  U_ k  e.  n  ( b `  k ) ) )
124 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( n  =  k  ->  (
c `  n )  =  ( c `  k ) )
125 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( k  =  j  ->  (
b `  k )  =  ( b `  j ) )
126125cbviunv 3957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  U_ k  e.  n  ( b `  k )  =  U_ j  e.  n  (
b `  j )
127 iuneq1 3934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( n  =  k  ->  U_ j  e.  n  ( b `  j )  =  U_ j  e.  k  (
b `  j )
)
128126, 127syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( n  =  k  ->  U_ k  e.  n  ( b `  k )  =  U_ j  e.  k  (
b `  j )
)
12962, 128difeq12d 3308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( n  =  k  ->  (
( b `  n
)  \  U_ k  e.  n  ( b `  k ) )  =  ( ( b `  k )  \  U_ j  e.  k  (
b `  j )
) )
130124, 129eleq12d 2364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( n  =  k  ->  (
( c `  n
)  e.  ( ( b `  n ) 
\  U_ k  e.  n  ( b `  k
) )  <->  ( c `  k )  e.  ( ( b `  k
)  \  U_ j  e.  k  ( b `  j ) ) ) )
131130rspccv 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( ( b `  n )  \  U_ k  e.  n  (
b `  k )
)  ->  ( k  e.  om  ->  ( c `  k )  e.  ( ( b `  k
)  \  U_ j  e.  k  ( b `  j ) ) ) )
132123, 131syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( C `  n
)  ->  ( k  e.  om  ->  ( c `  k )  e.  ( ( b `  k
)  \  U_ j  e.  k  ( b `  j ) ) ) )
133132com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( k  e.  om  ->  ( A. n  e.  om  ( c `  n
)  e.  ( C `
 n )  -> 
( c `  k
)  e.  ( ( b `  k ) 
\  U_ j  e.  k  ( b `  j
) ) ) )
1341333ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  (
c `  k )  =  ( c `  n ) )  -> 
( A. n  e. 
om  ( c `  n )  e.  ( C `  n )  ->  ( c `  k )  e.  ( ( b `  k
)  \  U_ j  e.  k  ( b `  j ) ) ) )
135 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( c `  k )  e.  ( ( b `
 k )  \  U_ j  e.  k 
( b `  j
) )  ->  (
c `  k )  e.  ( b `  k
) )
136 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( c `  k )  =  ( c `  n )  ->  (
( c `  k
)  e.  ( b `
 k )  <->  ( c `  n )  e.  ( b `  k ) ) )
137135, 136syl5ib 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( c `  k )  =  ( c `  n )  ->  (
( c `  k
)  e.  ( ( b `  k ) 
\  U_ j  e.  k  ( b `  j
) )  ->  (
c `  n )  e.  ( b `  k
) ) )
1381373ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  (
c `  k )  =  ( c `  n ) )  -> 
( ( c `  k )  e.  ( ( b `  k
)  \  U_ j  e.  k  ( b `  j ) )  -> 
( c `  n
)  e.  ( b `
 k ) ) )
139134, 138syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  (
c `  k )  =  ( c `  n ) )  -> 
( A. n  e. 
om  ( c `  n )  e.  ( C `  n )  ->  ( c `  n )  e.  ( b `  k ) ) )
140139imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  ( c `  k
)  =  ( c `
 n ) )  /\  A. n  e. 
om  ( c `  n )  e.  ( C `  n ) )  ->  ( c `  n )  e.  ( b `  k ) )
141 ssiun2 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  n  ->  (
b `  k )  C_ 
U_ k  e.  n  ( b `  k
) )
142141sseld 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  n  ->  (
( c `  n
)  e.  ( b `
 k )  -> 
( c `  n
)  e.  U_ k  e.  n  ( b `  k ) ) )
143140, 142syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  n  ->  (
( ( k  e. 
om  /\  n  e.  om 
/\  ( c `  k )  =  ( c `  n ) )  /\  A. n  e.  om  ( c `  n )  e.  ( C `  n ) )  ->  ( c `  n )  e.  U_ k  e.  n  (
b `  k )
) )
1441433impib 1149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  n  /\  ( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  ( c `  k
)  =  ( c `
 n ) )  /\  A. n  e. 
om  ( c `  n )  e.  ( C `  n ) )  ->  ( c `  n )  e.  U_ k  e.  n  (
b `  k )
)
145122com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  om  ->  ( A. n  e.  om  ( c `  n
)  e.  ( C `
 n )  -> 
( c `  n
)  e.  ( ( b `  n ) 
\  U_ k  e.  n  ( b `  k
) ) ) )
1461453ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  (
c `  k )  =  ( c `  n ) )  -> 
( A. n  e. 
om  ( c `  n )  e.  ( C `  n )  ->  ( c `  n )  e.  ( ( b `  n
)  \  U_ k  e.  n  ( b `  k ) ) ) )
147146imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  ( c `  k
)  =  ( c `
 n ) )  /\  A. n  e. 
om  ( c `  n )  e.  ( C `  n ) )  ->  ( c `  n )  e.  ( ( b `  n
)  \  U_ k  e.  n  ( b `  k ) ) )
148 eldifn 3312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( c `  n )  e.  ( ( b `
 n )  \  U_ k  e.  n  ( b `  k
) )  ->  -.  ( c `  n
)  e.  U_ k  e.  n  ( b `  k ) )
149147, 148syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  ( c `  k
)  =  ( c `
 n ) )  /\  A. n  e. 
om  ( c `  n )  e.  ( C `  n ) )  ->  -.  (
c `  n )  e.  U_ k  e.  n  ( b `  k
) )
1501493adant1 973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  n  /\  ( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  ( c `  k
)  =  ( c `
 n ) )  /\  A. n  e. 
om  ( c `  n )  e.  ( C `  n ) )  ->  -.  (
c `  n )  e.  U_ k  e.  n  ( b `  k
) )
151144, 150pm2.65i 165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  -.  (
k  e.  n  /\  ( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  ( c `  k
)  =  ( c `
 n ) )  /\  A. n  e. 
om  ( c `  n )  e.  ( C `  n ) )
152151pm2.21i 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  n  /\  ( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  ( c `  k
)  =  ( c `
 n ) )  /\  A. n  e. 
om  ( c `  n )  e.  ( C `  n ) )  ->  k  =  n )
1531523exp 1150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  n  ->  (
( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  ( c `  k
)  =  ( c `
 n ) )  ->  ( A. n  e.  om  ( c `  n )  e.  ( C `  n )  ->  k  =  n ) ) )
154 ax-1 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  n  ->  ( A. n  e.  om  ( c `  n
)  e.  ( C `
 n )  -> 
k  =  n ) )
155154a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  n  ->  (
( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  ( c `  k
)  =  ( c `
 n ) )  ->  ( A. n  e.  om  ( c `  n )  e.  ( C `  n )  ->  k  =  n ) ) )
156 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( j  =  n  ->  (
b `  j )  =  ( b `  n ) )
157156ssiun2s 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  k  ->  (
b `  n )  C_ 
U_ j  e.  k  ( b `  j
) )
158157sseld 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  k  ->  (
( c `  n
)  e.  ( b `
 n )  -> 
( c `  n
)  e.  U_ j  e.  k  ( b `  j ) ) )
159103, 158syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  k  ->  (
( c `  n
)  e.  ( ( b `  n ) 
\  U_ k  e.  n  ( b `  k
) )  ->  (
c `  n )  e.  U_ j  e.  k  ( b `  j
) ) )
160147, 159syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  k  ->  (
( ( k  e. 
om  /\  n  e.  om 
/\  ( c `  k )  =  ( c `  n ) )  /\  A. n  e.  om  ( c `  n )  e.  ( C `  n ) )  ->  ( c `  n )  e.  U_ j  e.  k  (
b `  j )
) )
1611603impib 1149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  k  /\  ( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  ( c `  k
)  =  ( c `
 n ) )  /\  A. n  e. 
om  ( c `  n )  e.  ( C `  n ) )  ->  ( c `  n )  e.  U_ j  e.  k  (
b `  j )
)
162 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( c `  k )  =  ( c `  n )  ->  (
( c `  k
)  e.  ( ( b `  k ) 
\  U_ j  e.  k  ( b `  j
) )  <->  ( c `  n )  e.  ( ( b `  k
)  \  U_ j  e.  k  ( b `  j ) ) ) )
163 eldifn 3312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( c `  n )  e.  ( ( b `
 k )  \  U_ j  e.  k 
( b `  j
) )  ->  -.  ( c `  n
)  e.  U_ j  e.  k  ( b `  j ) )
164162, 163syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( c `  k )  =  ( c `  n )  ->  (
( c `  k
)  e.  ( ( b `  k ) 
\  U_ j  e.  k  ( b `  j
) )  ->  -.  ( c `  n
)  e.  U_ j  e.  k  ( b `  j ) ) )
1651643ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  (
c `  k )  =  ( c `  n ) )  -> 
( ( c `  k )  e.  ( ( b `  k
)  \  U_ j  e.  k  ( b `  j ) )  ->  -.  ( c `  n
)  e.  U_ j  e.  k  ( b `  j ) ) )
166134, 165syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  (
c `  k )  =  ( c `  n ) )  -> 
( A. n  e. 
om  ( c `  n )  e.  ( C `  n )  ->  -.  ( c `  n )  e.  U_ j  e.  k  (
b `  j )
) )
167166a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  k  ->  (
( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  ( c `  k
)  =  ( c `
 n ) )  ->  ( A. n  e.  om  ( c `  n )  e.  ( C `  n )  ->  -.  ( c `  n )  e.  U_ j  e.  k  (
b `  j )
) ) )
1681673imp 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  k  /\  ( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  ( c `  k
)  =  ( c `
 n ) )  /\  A. n  e. 
om  ( c `  n )  e.  ( C `  n ) )  ->  -.  (
c `  n )  e.  U_ j  e.  k  ( b `  j
) )
169161, 168pm2.65i 165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  -.  (
n  e.  k  /\  ( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  ( c `  k
)  =  ( c `
 n ) )  /\  A. n  e. 
om  ( c `  n )  e.  ( C `  n ) )
170169pm2.21i 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  k  /\  ( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  ( c `  k
)  =  ( c `
 n ) )  /\  A. n  e. 
om  ( c `  n )  e.  ( C `  n ) )  ->  k  =  n )
1711703exp 1150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  k  ->  (
( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  ( c `  k
)  =  ( c `
 n ) )  ->  ( A. n  e.  om  ( c `  n )  e.  ( C `  n )  ->  k  =  n ) ) )
172153, 155, 1713jaoi 1245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  n  \/  k  =  n  \/  n  e.  k )  ->  ( ( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  ( c `
 k )  =  ( c `  n
) )  ->  ( A. n  e.  om  ( c `  n
)  e.  ( C `
 n )  -> 
k  =  n ) ) )
173172com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  om  /\  n  e.  om  /\  (
c `  k )  =  ( c `  n ) )  -> 
( ( k  e.  n  \/  k  =  n  \/  n  e.  k )  ->  ( A. n  e.  om  ( c `  n
)  e.  ( C `
 n )  -> 
k  =  n ) ) )
1741733expia 1153 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  om  /\  n  e.  om )  ->  ( ( c `  k )  =  ( c `  n )  ->  ( ( k  e.  n  \/  k  =  n  \/  n  e.  k )  ->  ( A. n  e.  om  ( c `  n
)  e.  ( C `
 n )  -> 
k  =  n ) ) ) )
175121, 174mpid 37 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  om  /\  n  e.  om )  ->  ( ( c `  k )  =  ( c `  n )  ->  ( A. n  e.  om  ( c `  n )  e.  ( C `  n )  ->  k  =  n ) ) )
176175com3r 73 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( C `  n
)  ->  ( (
k  e.  om  /\  n  e.  om )  ->  ( ( c `  k )  =  ( c `  n )  ->  k  =  n ) ) )
177176exp3a 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( C `  n
)  ->  ( k  e.  om  ->  ( n  e.  om  ->  ( (
c `  k )  =  ( c `  n )  ->  k  =  n ) ) ) )
17896, 117, 177ralrimd 2644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( C `  n
)  ->  ( k  e.  om  ->  A. n  e.  om  ( ( c `
 k )  =  ( c `  n
)  ->  k  =  n ) ) )
179178ralrimiv 2638 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( C `  n
)  ->  A. k  e.  om  A. n  e. 
om  ( ( c `
 k )  =  ( c `  n
)  ->  k  =  n ) )
1801793ad2ant3 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B  /\  c  Fn  om  /\  A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) )  ->  A. k  e.  om  A. n  e. 
om  ( ( c `
 k )  =  ( c `  n
)  ->  k  =  n ) )
181 dff13 5799 . . . . . . . . 9  |-  ( c : om -1-1-> A  <->  ( c : om --> A  /\  A. k  e.  om  A. n  e.  om  ( ( c `
 k )  =  ( c `  n
)  ->  k  =  n ) ) )
182116, 180, 181sylanbrc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B  /\  c  Fn  om  /\  A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) )  ->  c : om -1-1-> A )
183 19.8a 1730 . . . . . . . 8  |-  ( c : om -1-1-> A  ->  E. c  c : om
-1-1-> A )
184182, 183syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B  /\  c  Fn  om  /\  A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) )  ->  E. c 
c : om -1-1-> A
)
1852brdom 6890 . . . . . . 7  |-  ( om  ~<_  A  <->  E. c  c : om -1-1-> A )
186184, 185sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  om  ( b `  n
)  e.  B  /\  c  Fn  om  /\  A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) )  ->  om  ~<_  A )
1871863expib 1154 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  om  (
b `  n )  e.  B  ->  ( ( c  Fn  om  /\  A. n  e.  om  (
c `  n )  e.  ( C `  n
) )  ->  om  ~<_  A ) )
188187exlimdv 1626 . . . 4  |-  ( A. n  e.  om  (
b `  n )  e.  B  ->  ( E. c ( c  Fn 
om  /\  A. n  e.  om  ( c `  n )  e.  ( C `  n ) )  ->  om  ~<_  A ) )
18994, 188mpd 14 . . 3  |-  ( A. n  e.  om  (
b `  n )  e.  B  ->  om  ~<_  A )
190189exlimiv 1624 . 2  |-  ( E. b A. n  e. 
om  ( b `  n )  e.  B  ->  om  ~<_  A )
19149, 190syl 15 1  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  om  ~<_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    \/ w3o 933    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282    =/= wne 2459   A.wral 2556   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   U_ciun 3921   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   Ord word 4407   suc csuc 4410   omcom 4672   dom cdm 4705    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   ` cfv 5271    ~~ cen 6876    ~<_ cdom 6877    ~< csdm 6878   Fincfn 6879   cardccrd 7584
This theorem is referenced by:  domtriom  8085
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-cda 7810
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